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EJERCICIOS CAPITULO 1 1.1 Dados los vectores

y

, Encontrar:

a) Un vector unitario en la dirección de –M+2N; –M+2N ( ) |

√

| √

b) La magnitud de

|

c) | || |

| √ || √ | || |

|

√

(

|

| | √

√

√

)

√ √

√

√ √

1.2 Los vértices de un triángulo están en A (-1, 2, 5), B (-4, -2,-3) y C (1, 3, -2). a) Encontrar el perímetro del triángulo.

| | | | | |

b) Encontrar el vector unitario dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC.

|

|

C) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es igual al vector de a AC y que, por lo tanto, el vector unitario es paralelo al lado AC.

Si multiplicamos por un escalar= 7.4

EJERCICIOS 1.3 Un vector desde el origen hasta el punto A esta dado por (6,-2.-4) y un vector unitario desde el origen hasta el punto B esta dado por (2,-2,1)/3. Encontrar las coordenadas del punto B

| |

Por lo tanto tenemos que: (

)

(

| | √( (

)

(

(

) (

) (

)

)

(

(

) (

) (

)

)

)

)

√

√

Entonces tenemos: (

)

(

)

(

)

1.4 Un circulo con centro en el origen y un radio de 2 unidades está en el plano xy . Determinar el vector unitario en coordenadas cartesianas que está en el plano xy, es tangente al círculo en el punto (√ ) y está en la dirección positiva del eje y. Solución: Un vector unitario tangente a este círculo es t= vector unitario en dirección al eje y Estas componentes x y y son:

En el punto (√ √

√

),

y entonces

y

Entonces el vector unitario es

√

√

1.5 Un campo vectorial está dado por . Dados dos ( ) puntos, encontrar: a) G en P; b) un vector unitario en la dirección de G en Q; c) un vector unitario de Q a P; d) la ecuación de la superficie en la que | | Solución:

a)

b) √ c)

d) | | √

(

√

)

√

(

)

1.6 Si a es un vector unitario en una determinada dirección, B es un escalar constante y , describir la superficie ¿Cuál es la relación entre el vector unitario a y el escalar B en esta superficie?(PISTA: Considerar un ejemplo sencillo donde a= y B=1 y, posteriormente , cualquier a y B) Si a es un vector unitario entonces:

Por lo que (

|| ) (

)

Esta es la ecuación de una superficie plana, donde La relación de a con la superficie se hace evidente en el caso especial en el que Entonces tenemos

(

)

Por lo que es evidente que es un vector unitario normal a la superficie Rta.

1.7 Dado el campo vectorial en la región | |, | | y | | menor a 2, encontrar: a) las superficies en las que ; b) la región en la que ; c) la región en la que . a)

   

Si Si Si Si

entonces entonces entonces entonces



Si

entonces



Si

b)

c)

entonces

1.8.- Demostrar la ambigüedad que produce cuando se utiliza el producto cruz para encontrar el ángulo entre dos vectores y se obtiene el ángulo formado entre y B= . Se esta ambigüedad cuando se presenta el producto punto || √

|| √

|| √

|| √

|| √

|| √

|

|

]

√[ | || |

√

√

| || |

| || |

| || | √

1.9) Dado el campo vectorial

[

⁄

][

] encontrar: a) un vector unitario

en la dirección de G en P(3, 4, -2); b) el ángulo entre G y en P; c) el valor de la doble integral en el plano y=7. SOLUCION a)

[

[

⁄

⁄

][ (

)

][

]

]

b)

c) ∫ ∫

∫ ⁄∫ [ ∫

[

][

]

(

) ]

1.11 Dados los puntos a) el vector

b) el producto punto

∫ ⁄∫ [

,

y

]

encontrar:

c) la proyección escalar de

d) el ángulo entre y

sobre

| || | (

(

| | √ | | √

( 1.12

√

√

(

| || |

| || |

| || |

√ √

)

)

)

)

Demostrar que los campos vectoriales son ortogonales entre sí en cualquier punto.

|| ||

y

1.13 a) Encontrar la componente vectorial de

que es paralelo a

|| (√

)

b) encontrar la componente vectorial de perpendicular a

c) encontrar la componente vectorial de perpendicular a || | | (√ )

1.14 demostrar que los campos vectoriales

y

Son paralelos entre sí en cualquier punto. Solución: Muestra que los campos de vectores

y

Están en todas partes paralelas entre si. Usando la definición del producto cruz encontramos | (

Como

| {[ ) entonces

] [

| || |

]}

Identificar

y

y por lo tanto

Entonces los campos vectoriales son paralelos porque el ángulo que forman es cero.

1.15 Tres vectores que se extienden desde el origen están dados por Encontrar. a) Un vector unitario ortogonal a r1 y r2. |

| |

|

|

|

b) Un vector unitario perpendicular a los vectores r1-r2 y r2-r3. |

|

|

|

|

c) El área del triángulo formado por r1 y r2. |

|

|

|

|

d) El área del triángulo que forman las puntas de los vectores r1, r2, r3. |

|

|

|

|

|

EJERCICIO 1.16 El campo vectorial

, donde B es una constante se desplaza de tal forma que su origen

estará en la línea x=2, y=0. Escribir el desplazamiento de E en coordenadas cartesianas. 



Para la componente X: Por lo tanto

Para la componente Y: Por lo tanto

Entonces tenemos

(

√

√

(

√ (

√ )

)(

√

)(

(

√

) )

)

Como ya obtuvimos el campo en coordenadas cartesianas ahora solo nos quedara desplazarla hasta el punto x=2, y=0;

𝑬𝒙𝒚

𝑩 𝒙 𝟐 𝒂𝒙 𝑩 𝒚 𝒂𝒚 𝒙 𝟐𝟐 𝒚𝟐

1.17 Un triángulo lo definen el punto

a)

y los vectores

y

Encontrar un vector unitario perpendicular al triángulo |

|

| √

|

b) Encontrar un vector unitario coplanar al triángulo y perpendicular a √

|

|

c) Encontrar un vector unitario coplanar al triángulo que bisecta al ángulo interior en A. √

√

EJERCICIO 1.19 a) Expresar con componentes y Variables cilíndricas el Campo   

√

𝑫

Entonces

Remplazando

𝐜𝐨𝐬

(

𝒂𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒂𝒚 𝒑 )

(

(

)

)

(

)(

)

𝑫𝒑

b) Evaluar en el punto donde cilíndricas y cartesianas

,

y

𝟏 𝒑

, expresar el resultado en componentes

En coordenadas cartesianas tenemos:

𝑫 𝟎 𝟒𝟏 𝒂𝒙 𝟎 𝟐𝟗 𝒂𝒚 𝟓𝒂𝒛 En coordenadas polares tenemos:

Remplazando

(

(

)

)

(

)

𝑫𝒑

𝟐 𝟎 𝟓 𝒂𝒑 𝟒

1.21.- Expresar en componentes cilíndricas:

a) El vector desde C(3,2,-7)hasta D(-1,-4,2) √

√

√

(

(

√ )

)

√ √

(

(

Z=Z

Z=Z

Z=--7

Z=2

b) Un vector unitario en D dirigido hacia C.

)

)

9

(

(

√

c) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.

√

)

)

1.22.) Una esfera con radio en el origen y radio , gira con respecto al eje a una velocidad angular de en dirrcion opuesta a las manecillas del reloj en la dirección positiva del eje . a) Escribir una expresión, utilizando componentes esféricas, del campo de velocidad v, que proporciona la velocidad tangencial en cualquier punto de la esfera. Tenemos que la velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular y la distancia perpendicular situada en el eje de rotación. Con la rotación que indican las manecillas del reloj se obtiene.

b) Convertirle a componentes cartesianas. Para convertir en coordenadas cartesianas tenemos que tomar en cuenta el eje de rotación; es decir, el signo.

Por tabla. )

(

Por tabla )

(

1.23.- Una superficie cerrada está formada por las superficies

a) Encontrar el volumen encerrado.

∫

∭

∫

∫

∫

∫

∫

b) Hallar el área total de la superficie encerrada. [∫

∫

[∫

[∫

|

[ |

∫

∫

∫

|

∫

∫

∫

∫

|

∫

|

∫

|

∫

|

∫ |

]

∫

]

]

]

c) Encontrar la longitud total de las doce esquinas de las superficies. [

[

[

[

]

]

]

]

d) Encontrar la longitud de la línea recta más larga que está encerrada dentro del volumen.

A(

)

B(

)

Z=3

Z=4.5

A(

)

B(

)

|

| √

|

|

Fig. 1 en:

1.24. Expresar el campo

a) Coordenadas cartesianas. Encontramos la componente x:

Entonces:

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Encontramos la componente y: √ Encontramos la componente z:

√

√

√

√

฀ √

𝑧

b) Coordenadas cilíndricas. Encontramos la componente ρ:

Donde:

√

Encontramos la componente :

Encontramos la componente ρ:

Donde:

√

EJERCICIO 1.25 Dado el punto P(r=0.8, =30°, =45°) y a) Encontrar E en P.

(

)

√

𝑬 𝟏 𝟏𝟒𝒂𝒓 𝟐 𝟑𝒂 b) Encontrar |E| en P. || √

|𝑬| 𝟐 𝟓𝟕

c) Hallar un vector unitario en la dirección de E en P.

||

𝒂𝑬 𝟎 𝟒𝟒𝒂𝒓 𝟎 𝟗𝟐𝒂

1.26 Expresar el campo vectorial uniforme F=5ax en: a) Componentes cilíndricas.

b) Componentes esféricas.

1.27 Una superficie cerrada esta definida por las superficies , y . a) Encontrar el volumen encerrado. b) hallar el área de la superficie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce orillas de la superficie; d) hallar la longitud de la lines recta mas larga que se encuentra dentro de la superficie. Desarrollo: a) laformula de volumen es

∫

∫

∫

∫

(

)

∫ ∫

∫

+

∫

)

(

∫

b) las áreas de las superficies son ∫

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

∫

,

y

∫

(

∫

∫

∫

)

c) la distancia entre dos superficies la distancia entre dos conos generados por los angulos la distancia entre dos planos radiales con angulos ∫

∫

∫

|

∫

∫

|

∫

|

∫

∫

฀

d) si hacemos

Para A ฀

Para B

|

|

| √

| √

1.28) Expresar el campo vectorial

en

|

|

a) Componentes cartesianas

√

√

√ √

Respuesta:

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

(

√ √

√

√ )

b) Componentes cilíndricas

√

La componente en (z) es la misma que la encontrada en el inciso anterior

√

√

(

)

1.29 Expresar el vector unitario ax, en componentes esféricas en el punto: a) r=2, Ө=1rad,𝟇=0.8rad ( )

b) x=3, y=2, z=-1

√

√

√

√

√

( ) c) 𝞺=2.5,𝟇=0.7rad, z=1.5 √

√

√

( )

1.30 Un campo vectorial tiene el valor en el punto . Encontrar la componente vectorial de A que: a) es perpendicular a la superficie ; b) tangente a la superficie ; c) tangente al cono . D) encontrar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono Desarrollo: a) si es perpendicular a la superficie radial

b)

la componente vectorial de A será justamente la componente

si es tangente a la superficie tanto sera:

la componente vectorial será aquella que no son normales a A por lo

c) el vector unitario normal para el cono es

por lo tanto la componente vectorial sera

d) si denotamos como b al vector unitario tenemos

+ Si

(1)

Para que un vector unitario sea perpendicular se tiene que cumplir que

(2) Remplazando (2) en (1)

(

(

)

(

(

√

)

)

)

Remplazando en (2)

( √

√

)

El vector unitario será √

√

EJERCICIOS CAPITULO 2 2.1) Cuatro cargas positivas de 10nC se ubican en el plano z=0 en las esquinas de un cuadrado de 8cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa en un punto ubicado a 8cm de distancia de las demás. Calcular la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta carga para Є= Єo. Z

Q5=10nC Q4=10nC

Q3=10nc z

Q1=10nc 8cm

8cm 8cm

√

Q2=10nC

X RQ1(4,-4,0) RQ2(4,4,0) RQ3(-4,4,0) RQ4(-4,-4,0) RQ5=

Entonces:

√

(√) √

Y

RQ5(0,0, √ )

√

Por lo tanto:

√ √

]

[

√

[

√ ] [

√

√ ]

√

√

√

√

√

2.3 Cuatro cargas puntuales de 50nC cada una se ubican en el espacio libre en los puntos Encontrar la fuerza total sobre la carga que está en el punto A. Solución: |฀|

| |

√

| |

(

(

)

(

)

(

(

√

√

)

√

√

฀

)

(

√

√

√

√

)

)

√

√

EJERCICIO 4: Ocho cargas puntuales idénticas de se ubican en las esquinas de un cubo de aristas a, con una carga en el origen y las tres cargas más cercanas en , , . Encontrar la expresión de la fuerza vectorial total sobre la carga en el punto , suponiendo que están en el espacio libre. 

De esta manera podemos ver que los puntos del cubo son los siguientes

(

)

(

(

(

)

)

√

( )

||

√

(√) ฀

)

(√)

(√)

(√)

√

√

√

√

√

√

( )

√

√

√

√

( )

[

√

√

√

฀

Simplificando la expresión tenemos: [

( )

√

√

√

]

]

Como sabemos que:

Y su magnitud seria la siguiente: || √ EJERCICIO 6: Tres cargas puntuales de están sobre el eje x en en el espacio libre. a) Encontrar E en x=5. b) Determinar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a grandes distancias. c) Determinar E en x=5 utilizando la aproximación de b) 

√

a) Encontrar E en x=5.

√

√



b) Determinar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a grandes distancias. Basándonos en el literal a) podemos darnos cuenta que si variamos la distancia también varia el radio por ende podemos utilizar la siguiente expresión:

La misma que va estar ubicada en el punto 

.

c) Determinar E en x=5 utilizando la aproximación de b)

Así mismo podemos darnos cuenta que hay una variación de un 7% aproximadamente en relación con el literal a), que es el resultado exacto. 2.7) Una carga puntual de 2μC está en el espacio libre de en A(4, 3, 5). Encontrar punto P(8, 12, 2).

[

| |

| | ]

[

En coordenadas cilíndricas se tiene que:

√

√

y

]

⁄

en el

√ Z=Z (

)

(

)

)

(

2.8. Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas esferas aisladas de radio a, una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo del eje y está sujeta a una fuerza restrictiva , donde es la constante del resorte. Las esferas sin carga tienen su centro en =0 y =d ; la última está fija. Si las esferas tienen cargas iguales y opuestas de Q coulombs, obtener la expresión para obtener en función de . Determina...