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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMIA ESTADISTICA INFERENCIAL PRACTICA CALIFICADA 1 Problema 1 (7 puntos) a) Un dado cargado de modo que la probabilidad de cualquier cara es proporcional a la inversa del doble del de dicha cara. Con esta halle la de p...

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMIA ESTADISTICA INFERENCIAL PRACTICA CALIFICADA 1 Problema 1 (7 puntos) a) Un dado está cargado de modo que la probabilidad de cualquier cara es proporcional a la inversa del doble del número de dicha cara. Con esta información, halle la asignación de probabilidades en el espacio muestral S asociado el experimento de lanzar el dado y observar el número que resulta. ¿Qué es más probable: que resulte un número par o un número impar? (2 puntos) b) Un banco tiene sucursales en los países A, B y C. Las probabilidades de que hayan crisis bancaria en estos países son 0.1, 0.4 y 0.8 respectivamente y al momento las economías funcionan independientemente. Halle la probabilidad de que: El banco tenga problemas en los tres países; El banco tenga problemas en al menos un país; El banco haya tenido problemas en el país donde menos lo esperaba dado que tuvo problemas de crisis bancaria en el exterior. (3 puntos) c) Un distribuidor compra un stock de S unidades de un bien al precio unitario de 3 soles para revenderlo luego a 5 soles la unidad. Pasada la época de ventas, si hay producto sobrante, este se desecha. La cantidad de producto que le pueden demandar al distribuidor es una v.a. continua X con función de densidad ( ) . Halle el stock óptimo S que maximiza la utilidad esperada de comerciante. (2 puntos)

Solución: a) y por dato ( ) Evento ( )

,

o en una tabla: Total es la “distribución de probabilidades en S” y ( )

luego ( )

y por complemento (

un número impar.

)

, entonces lo más probable es que se resulte

b) Sean A, B y C los eventos que indican los países en los que ocurre crisis bancaria, entonces estos estos eventos son independientes y sus probabilidades son las mencionadas en el enunciado. Definamos ahora los eventos: D = “El banco tiene problemas en los tres países” y E = “El banco tiene problemas en al menos un país” , en ) ()()() este contexto y como hay independencia ( ) ( ; () ( ), pero es más sencillo usar complemento pues y ) ( )( )( ) de modo por la independencia ( ) ( que ( ) Finalmente se pregunta por ( )

( )

( )()

()

()

c) Sea la utilidad, entonces:  Si durante la temporada vende sólo unidades de las que tiene a 5 soles/unidad y el sobrante ( ) se desecha o pierde, en este caso ( )  Si durante la temporada vende todo su stock y genera todo su ingreso posible, con una utilidad ( ) . Por tanto: ( ) {

El stock óptimo debe maximizar la utilidad esperada [ ( )] . Sea ( ) [ ( )] entonces: ( )() ( ) [ ( )] ∫ ( )() ∫ ( )() ∫

∫ ( ∫

)()

()

()

∫

(

()

( ))

∫

()

∫

()

() ∫ ⏟

()

1

()

∫

() ⏟

()

( ) función ∫ ( )diferenciable (de) S que ) [ ( maximizar )] ∫ ( )mediante derivación: y (podemos una ()

()

()

()

()

()

⏟

()

equivale a ( )

.

()

()

()

()

() ∫ De ( ) el stock que maximiza la utilidad esperada del comerciante. ( ( ) ( ) , entonces se trata de un máximo)

() :

()

es explícitamente

()

es

Problema 2 (4 puntos) La probabilidad p de que un trabajador se afilie a un seguro privado de salud es tal que hay el doble de probabilidad de que se afilie a que no lo haga. Un agente de este tipo de seguro, visita en un mes a n trabajadores que no tienen seguro privado de salud con el fin de lograr afiliarlos a su empresa. El resultado de cada visita es independiente de lo que ocurra en las otras. a) Halle el valor de p. Si visita a seis trabajadores que no tienen seguro privado de salud, calcule la probabilidad de que logre afiliar a más de 2/3 de los visitados. b) Si el agente visita 36 trabajadores en un mes y se le paga un bono adicional si afilia al menos 18 trabajadores ¿Cuál sería la probabilidad de que el agente reciba el bono adicional? ¿Ocurriría este evento? ( ) ; Si A = “Un trabajador se afilia al seguro privado”, si se visita trabajadores y hay independencia entre los resultados de las visitas, si definimos la v.a. # de trabajadores que logra afiliar en las n visitas, entonces se ajusta a una variable con distribución binomial ( ).

Solución: a) Del enunciado

Para (

)( )

(

)

b) En este caso y ( es ( ) ( ). Como

) (

)y (

trabajadores (

)

(

) (

)

). Logrará el bono si y la probabilidad de que esto ocurra es “grande” y son ambos mayores que 5,

podemos aplicar la aproximación normal: (

)

(

)

√

)

( )

( ) ( ) ( ) ) ( : La probabilidad de que √ reciba el bono es alta (bastante arriba del punto de corte en nuestro curso que es 0.5) y pronosticamos que sí ocurrirá el evento: Sí recibirá el bono. )

2

Problema 3 (6 puntos) a) En la población de microempresarios de un distrito, la rentabilidad anual (positiva o negativa, en puntos

porcentuales) del microempresario en el 2016 resultó una v.a. X con distribución normal ( ): (1) Si y el 33% de microempresarios tuvo rentabilidad superior a 12 puntos porcentuales ¿Cuál fue la rentabilidad de los microempresarios de este distrito? (2) Si y se cree que la rentabilidad Y del 2017 será k veces (k  0) la del 2016 ¿Cuánto debe valer k para que el 52.79% de microempresarios tenga rentabilidad de 10 puntos o menos?

b) Sea v.a. continua con función de densidad ( ) y rango . (2 puntos) mínimo cuando satisface ( ) Solución: a) (1) ( ) y por dato ( ) ( ) )

(

)

es la rentabili-

(

c

0

1

0.0

0.5000

0.5040

0.5160

0.5239

0.5279

0.5319

0.1

0.5398

0.5438

0.5557

0.5636

0.5675

0.5714

0.3

0.6179

0.6217

0.6331

0.6406

0.6443

0.6480

0.4

0.6554

0.6591

0.6700

0.6772

0.6808

0.6844

0.5

0.6915

0.6950

0.7054

0.7123

0.7157

0.7190

()

()

∫

4

6

7

8

Distribución Acumulativa Normal Estándar P(Z ≤ c) c

0

1

5

6

7

0.0

0.5000

0.5040

0.5199

0.5239

0.5279

0.5

0.1

0.5398

0.5438

0.5596

0.5636

0.5675

0.

0.2

0.5793

0.5832

0.5987

0.6026

0.6064

0.6

)

] como una función de t, digamos ( ) [ ] b) Tratando a [ () ∫ ( )() () () () ∫ ∫ ( ) ∫

) se hace

Distribución Acumula tiva Normal Estándar P(Z ≤ c)

dad media. (2) ( ) donde X es Si la rentabilidad del 2016. Sabemos que es la rentabilidad en 2017 y queremos k tal que ( ) ( ) (

[. Pruebe que (

]

() ∫ ()

()

y si ( ) es máxima, entonces ( )

∫

()

()

()

()

∫

()

∫

()

()

∫

∫ () ()

.

Problema 4 (3 puntos) Dos personas entran, una detrás de otra, a un cajero automático. Cada persona puede demorar entre 0 y 5 minutos en el cajero, siendo cada tiempo aleatorio. Sea T la v.a. continua que mide el tiempo total que es usado el cajero por las dos personas. Sin más información y aplicando probabilidad geométrica: ( ) a) Halle ( ) ( ); ( ) b) Halle el rango de la v.a. T y ( ) ( ) c) Halle la función de densidad ( ). ¿Es cierto que en promedio el cajero será usado unos 5 minutos en total? Justifique.

Solución: a) Sean A y B las personas mencionadas. Si e , el experimento aleatorio consiste en observar los tiempos (x,y) y ( ) representa los posibles resultados de que puede equipararse a “Tomar un punto al azar del cuadrado de lado 5 y vértice (0,0)”. En este contexto la v.a. T es ] ] y podemos aplicar probabilidad geométrica: ( )

3

(

)

(

)

( )

, con ()

y 5

()

x+y =8  y = 8-x

()

(

x+y=2 0 1 2 35

5

x

b) El rango de T ya se identificó en a) caso de ( ): ( )

(

)

(

)

(

)

) ( ) ( ) ( )

(

(

)

)y (

( )

)

) ()

(

()

) pues

(ver gráfico). Luego ( )

] ]. Para ( )

(

( )

)

la situación es análoga al

()

Aunque no se pide en esta parte, necesitaremos luego ver el caso () , que es análogo al de ( ):

y 5

()

x+y =t  y = t-x

( )

( ) ( )

x+y=t 0

(

5

t5

() {

()

Sólo falta hallar ( ): () ∫

() {

( )

()

∫

∫

)y (

pues (

)

)

( )

Entonces: ( )

x

c) La función de densidad ( ) es ( )

(

( )

()

( )

( )( )

.

, donde ( ) depende de dónde coloquemos t: ( )

( )

([ ]

promedio el cajero es será usado en total unos 5 minutos.

. [

] )

; en efecto, en

16 de setiembre de 2017 ACG./SAMP.

4...