Soluções comentadas do livro Álgebra Linear e Suas Aplicações - Petronio Pulino PDF

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Soluções comentadas do livro Álgebra Linear e Suas Aplicações - Petronio Pulino...

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´ Linear e suas Solu¸c˜oes comentadas do livro “Algebra Aplica¸c˜oes - Petronio Pulino” Hugo Valad˜ao [email protected]

Universidade Estadual de Campinas 11 de Novembro de 2018

1

Aten¸c˜ ao: As resolu¸c˜oes dos exerc´ıcios deste documento, mesmo tendo sido revisadas, podem conter alguns erros. Sendo assim, ´e importante lˆe-las com olhar cr´ıtico e com aten¸c˜ao aos erros (leves ou graves) que possam surgir. Caso perceba qualquer erro (inclusive erro de digita¸c˜ao), agradeceria que me notificasse por e-mail para poder corrigir e atualizar o arquivo. Ali´as, este ´e um documento em constante constru¸c˜ao e atualiza¸c˜ao, acesse o link do Google Drive (https://goo.gl/UhPMLv) para ter acesso `a vers˜ao mais recente. Meus agradecimentos a Laryssa Abdala que revisou, corrigiu e sugeriu algumas das solu¸c˜oes deste pdf!

Hugo Valad˜ao [email protected] 11 de Agosto de 2018

Conte´ udo 1 Estruturas Alg´ ebricas

6

1.0.1

Exerc´ıcio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.0.2

Exerc´ıcio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.0.3

Exerc´ıcio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.0.4

Exerc´ıcio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.0.5

Exerc´ıcio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.0.6

Exerc´ıcio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.0.7

Exerc´ıcio 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.0.8

Exerc´ıcio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.0.9

Exerc´ıcio 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Espa¸cos Vetoriais

10

2.0.1

Exerc´ıcio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.0.2

Exerc´ıcio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.0.3

Exerc´ıcio 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.0.4

Exerc´ıcio 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.0.5 2.0.6

Exerc´ıcio 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13

2.0.7

Exerc´ıcio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.0.8

Exerc´ıcio 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.0.9

Exerc´ıcio 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.0.10 Exerc´ıcio 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.0.11 Exerc´ıcio 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.0.12 Exerc´ıcio 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.0.13 Exerc´ıcio 3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.0.14 Exerc´ıcio 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.0.15 Exerc´ıcio 3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.0.16 Exerc´ıcio 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.0.17 Exerc´ıcio 3.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.0.18 Exerc´ıcio 3.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.0.19 Exerc´ıcio 3.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2

´ CONTE UDO

3

2.0.20 Exerc´ıcio 3.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.0.21 Exerc´ıcio 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.0.22 Exerc´ıcio 3.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.0.23 Exerc´ıcio 3.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.0.24 Exerc´ıcio 3.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.0.25 Exerc´ıcio 3.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.0.26 Exerc´ıcio 3.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.0.27 Exerc´ıcio 3.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.0.28 Exerc´ıcio 3.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.0.29 Exerc´ıcio 3.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.0.30 Exerc´ıcio 3.67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.0.31 Exerc´ıcio 3.69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.0.32 Exerc´ıcio 3.70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.0.33 Exerc´ıcio 3.72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3 Transforma¸co ˜es Lineares

31

3.0.1

Exerc´ıcio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.0.2 3.0.3

Exerc´ıcio 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 32

3.0.4

Exerc´ıcio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.0.5

Exerc´ıcio 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.0.6

Exerc´ıcio 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.0.7

Exerc´ıcio 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.0.8

Exerc´ıcio 4.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.0.9

Exerc´ıcio 4.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.0.10 Exerc´ıcio 4.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.0.11 Exerc´ıcio 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.0.12 Exerc´ıcio 4.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.0.13 Exerc´ıcio 4.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4 Produto Interno

40

4.0.1

Exerc´ıcio 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.0.2

Exerc´ıcio 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.0.3

Exerc´ıcio 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.0.4

Exerc´ıcio 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.0.5 4.0.6

Exerc´ıcio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 5.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 43

4.0.7

Exerc´ıcio 5.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.0.8

Exerc´ıcio 5.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.0.9

Exerc´ıcio 5.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.0.10 Exerc´ıcio 5.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.0.11 Exerc´ıcio 5.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

´ CONTE UDO

4

4.0.12 Exerc´ıcio 5.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.0.13 Exerc´ıcio 5.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.0.14 Exerc´ıcio 5.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.0.15 Exerc´ıcio 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.0.16 Exerc´ıcio 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.0.17 Exerc´ıcio 5.66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.0.18 Exerc´ıcio 5.67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.0.19 Exerc´ıcio 5.71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5 Autovalores e Autovetores

51

5.0.1

Exerc´ıcio 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.0.2

Exerc´ıcio 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.0.3

Exerc´ıcio 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.0.4

Exerc´ıcio 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.0.5

Exerc´ıcio 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.0.6

Exerc´ıcio 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.0.7

Exerc´ıcio 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.0.8 5.0.9

Exerc´ıcio 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcio 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 55

5.0.10 Exerc´ıcio 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.0.11 Exerc´ıcio 6.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.0.12 Exerc´ıcio 6.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.0.13 Exerc´ıcio 6.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.0.14 Exerc´ıcio 6.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.0.15 Exerc´ıcio 6.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.0.16 Exerc´ıcio 6.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.0.17 Exerc´ıcio 6.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.0.18 Exerc´ıcio 6.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

5.0.19 Exerc´ıcio 6.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5.0.20 Exerc´ıcio 6.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5.0.21 Exerc´ıcio 6.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.0.22 Exerc´ıcio 6.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.0.23 Exerc´ıcio 6.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.0.24 Exerc´ıcio 6.65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.0.25 Exerc´ıcio 6.69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.0.26 Exerc´ıcio 6.70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.0.27 Exerc´ıcio 6.72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 67

5.0.28 Exerc´ıcio 6.88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.0.29 Exerc´ıcio 6.92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.0.30 Exerc´ıcio 6.94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.0.31 Exerc´ıcio 6.95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

´ CONTE UDO

5

5.0.32 Exerc´ıcio 6.100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.0.33 Exerc´ıcio 6.101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.0.34 Exerc´ıcio 6.108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Cap´ıtulo 1

Estruturas Alg´ ebricas Sess˜ ao 1.1 1.0.1

Exerc´ıcio 1.1

(a) (E, ⋆) n˜ao ´e grupo pois n˜ao satisfaz a propriedade de que todo elemento x ∈ E ´e simetriz´avel (al´em disso, note que satisfaz todas as outras). Previamente note que o elemento neutro da opera¸c˜ao ⋆ ´e e = 0. Agora tome, por exemplo, x = 1: ent˜ao ∄x′ ∈ E tal que x ⋆ x′ = e. De fato, pois por absurdo

suponha que existe x′ ∈ E elemento sim´etrico de x = 1. Ent˜ao ter´ıamos que 0 = e = x ⋆ x′ =

x + x′ =⇒ x′ = −x = −1 6∈ E; Que ´e um absurdo pois assumimos previamente x′ ∈ E. Logo 1 ∈ E n˜ao ´e simetriz´avel e portanto E munido da opera¸c˜ao ⋆ n˜ao tem uma estrutura de grupo (em particular n˜ao tem estrutura de grupo abeliano). (b) (E, ⋆) ´e grupo abeliano e vou provar. i)Associatividade de ⋆: ∀x, y, z ∈ E vale que: (x ⋆ y) ⋆ z

= = = = =

(x + y − 1) + z − 1 x + (y − 1 + z − 1) x + (y + z − 1 − 1) x + (y + z − 1) − 1 x ⋆ (y ⋆ z)

pela assosiatividade da soma + de Z. pela comutatividade da soma + de Z. pela assosiatividade da soma + de Z. pela defini¸c˜ ao de ⋆.

ii)Existˆ encia do elemento neutro: Note que ∀x ∈ E vale que (x ⋆ y = x ⇐⇒ x + y − 1 = x ⇐⇒ y = 1). e (y ⋆ x = x ⇐⇒ y + x − 1 = x ⇐⇒ y = 1).

Logo, como y = 1 ∈ E, provamos que x ⋆ y = y ⋆ x = x E com rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao ⋆

∀x ∈ E, isto ´e, y ´e o elemento neutro de

Aten¸ca ˜o: as implica¸c˜oes ⇐⇒ est˜ao destacadas entre parˆenteses pois o que vale s˜ao somente as implica¸c˜oes. N˜ao podemos assumir (previamente) que x ⋆ y = x para um certo y, mas podemos com certeza assumir que (x ⋆ y = x ⇐⇒ x + y − 1 = x) para todo y. 6

´ CAP´ITULO 1. ESTRUTURAS ALG EBRICAS

7

iii)Existˆ encia dos sim´ etricos: Note que ∀x ∈ E vale que (x ⋆ x′ = e ⇐⇒ x + x′ − 1 = 1 ⇐⇒ x′ = 2 − x), usando as propriedades da soma + de Z. E tamb´em (x′ ⋆ x = e ⇐⇒ x′ + x − 1 = 1 ⇐⇒ x′ = 2 − x)

Logo dado x ∈ E, x′ = 2 − x satisfaz a propriedade do elemento sim´etrico e como 2 − x sempre pertence a E, temos que x′ ∈ E e consequentemente todo elemento de E possui elemento sim´etrico em E. iv)Comutatividade de ⋆: ∀x, y ∈ E vale que:

x ⋆ y = x + y − 1 = y + x − 1 = y ⋆ x, usando a comutatividade da soma + de Z.

De i), ii), iii) e iv) est´a provado que (E, ⋆) ´e um grupo abeliano. (c) (E, ⋆) ´e grupo abeliano (an´alogo `a letra (b)). (d) (E, ⋆) n˜ao ´e grupo abeliano pois tomando x = 1 e y = 0 temos que 2 = x ⋆ y = 6 y ⋆ x = 1. Logo n˜ao satisfaz a propriedade da comutatividade. Pode-se verificar que tamb´em n˜ao satisfaz a associatividade nem a do elemento neutro (pois o elemento neutro deve ser ´unico para todo x) e portanto tamb´em n˜ao satisfaz a do elemento sim´etrico. (e) (E, ⋆) n˜ao ´e grupo abeliano pois n˜ao satisfaz a propriedade do elemento sim´etrico (o sim´etrico deve estar em E para que a propriedade seja satisfeita). Al´em disso, (E, ⋆) satisfaz todas as outras propriedades.

1.0.2

Exerc´ıcio 1.2

i)Associatividade: ∀x, y, z ∈ R vale que:

ii)Existˆ encia do Elemento Neutro: ∀x ∈ R vale que: (x ⋆ y = x ⇐⇒ x + y + 4 = x ⇐⇒ y = −4) e tamb´em

(y ⋆ x = x ⇐⇒ y + x + 4 = x ⇐⇒ y = −4). Como y = −4 ∈ R, tenho pela implica¸c˜ao que ele ´e o elementro neutro. iii)Existˆ encia dos sim´ etricos:∀x ∈ R vale que:

(x ⋆ x′ = e ⇐⇒ x + x′ + 4 = −4 ⇐⇒ x′ = −x − 8) e tamb´em

(x′ ⋆ x = e ⇐⇒ x′ + x + 4 = −4 ⇐⇒ x′ = −x − 8). Como −x − 8 sempre est´a em R tenho que este conjunto com esta opera¸c˜ao satisfaz a propriedade da existˆencia dos sim´etricos. iv)Comutatividade: ∀x, y ∈ R vale que x ⋆ y = x + y + 4 = y + x + 4 = y ⋆ x, usando a

comutatividade da soma + de R.

Portanto, segue de i), ii), iii), iv) que (R, ⋆) possui estrutura de grupo comutativo. 

1.0.3

Exerc´ıcio 1.3

(R, ⋆) n˜ao possui estrutura de grupo comutativo. Ele n˜ao satisfaz nenhuma das 4 propriedades. Associatividade: observando a forma de (x ⋆ y) ⋆ z e de x ⋆ (y ⋆ z) chegamos ao contra-exemplo x = y = 0 e z = 1; Para a comutatividade x = 0 e y = 1 serve de contra-exemplo; A existˆencia

´ CAP´ITULO 1. ESTRUTURAS ALG EBRICAS

8

do elemento neutro falha na ”neutralidade pela esquerda”, i.e., n˜ao existe um ´unico e tal que e⋆x=x

∀x ∈ R, pois se existisse tal elemento ter´ıamos e ⋆ x = e + 2x − 4 = x =⇒ e = 4 − x

que varia com x (logo n˜ao ´e ´unico, absurdo). (R, ⋆) tamb´em n˜ao pode satisfazer a propriedade da existˆ encia dos sim´ etricos pois esta depende da existˆencia de um elemento neutro (que j´a

vimos que falha). Por fim a comutatividade tamb´em n˜ao ´e uma propriedade que (R, ⋆) possui, contra-exemplo: x = 0 e y = 1.

1.0.4

Exerc´ıcio 1.5

Neste caso, (R, ⋆) possui estrutura de grupo comutativo! De fato: Associatividade: ∀x, y, z ∈ R vale que (x⋆y)⋆z = (x+y−6)⋆z = (x+y−6)+z−6 = x+ y + z− 12, pela comutatividade e assosiatividade da soma + de R. Por outro lado, x⋆(y⋆z) = x⋆(y+z−6) =

x + (y + z − 6) − 6 = x + y + z − 12 = (x ⋆ y) ⋆ z . Comutatividade: ∀x, y ∈ R vale que x ⋆ y = x + y − 6 = y + x − 6 = y ⋆ x, pela comutatividade

da soma + de R.

Existˆ encia do Elemento Neutro: ∀x ∈ R vale que

(x ⋆ y = x ⇐⇒ x + y − 6 = x ⇐⇒ y = 6). Ent˜ao x ⋆ 6 = x ∀x ∈ R e n˜ao precisamos verificar a ”neutralidade pela esq...