Statique des fluides (hydrostatique) PDF

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Physique Notion a connaitre pour aborder le chapitre 2 A/ principe fondamental de la dynamique (2e loi de newton) Relation entre les interactions et la modification du mouvement des corps. ! Dans un référentiel galiléen (immobile ou en mouvement de translation uniforme): !

∑ veut Fext= ma=m (dv/dt) ! M: masse du systeme matériel (supposé constante-! A: acceleration ! Vent Fext: forces externes appliqués au système ! Cas particulier: l’équilibre ! Si le système est a l’équilibre (immobile ou vitesse constante -> a=0) ! Avec ∑vectFext=0: on parle du «#principe fondamental de la Statique#» ! Mise en garde: il s’agit de relations vectorielles. Pour obtenir des relations scalaires (sur les normes des vecteurs notamment), il convient de projeter les vecteur sur des axes judicieusement choisis. ! B/ projections des vecteurs Projeter un vecteur U sur un axe Ox= trouver la composante de U suivant x: ! Ux= //U// cosa= U cosa ou a est l’angle que font U et Ox. ! Cas particuliers:! -U dans la direction et le sens de Ox (a=0) : Ux=U ! -U dans la direction et le sens opposé de Ox (a= pi)= Ux= -U! -U perpendiculaire a Ox (a= pi/2): Ux= 0! C/ Différentielle La differentielle df d’une fonction f(x) permet d’exprimer une variation très petite de f, correspondant a une variation très petite de x. ! - pour ces variations «#infinitésimales#» de x et de f , la relation entre les différentielles est linéaire: df = f’(x) dx. ! Où f’(x) est la dérivée de la fonction f(x), qui peut donc aussi s’écrire f’(x)= df/dx! - f’(x0)= (df/dx)x=x0 désigne la pente de la fonction f(x) au point d’abscisse x0. ! - La differentielle permet d’exprimer l’accroissement (ou la diminution) d’une grandeur en fonction des variations des variables dont elle dépend ! Exemple: la surface d’un carré de coté x= S(x)=x^2 ! Si x augmente d’une faible quantité dx, alors S(x) augmente de dS(x)= 2x dx ! A.N: x=2cm ->S=4cm^2. Si dx=0,1cm. ! Alors S+dS= 4,41cm^2 —> dS= 0,41cm^2 et 2x dx= 0,4 cm^2! - une equation qui relie entres elles plusieurs différentielles ( et éventuellement les fonctions ou variables associées) s’appelle une équation différentielle. Exemple: equa, diff. du premier ordre —> df(x)/dx + yf(x)= 0 dont la solution est f(x)= Ke^yx où K est une constante d’intégration (a déterminer grâce aux conditions aux limites du problème)!

Physique Chapitre 2: statique des fluides (hydrostatique) 1/ le principe fondamental Dans un fluide de masse volumique p constante (fluide incompressible=liquide), isolons un petit cylindre de hauteur AB= h, et de surface de base s. !

- fluide en equilibre -> ∑ vectfext =0 ! - Ces forces sont: le poids mg et les forces pressantes sur chacune des faces. ! Attention: par soucis de clarté, les points d’application des forces ont été déplacés sur le schéma. ! Les forces latérales vectfL se compensent 2 a 2 => équilibre du cylindre: ! mg+fA=fB=0 -> après projection sur la verticale, mg+fA-fB=0 ! Or fA= pA.s et fB=pB.S où pA et pB sont les pressions existant respectivement au sommet et a la base du cylindre. ! De plus m=p.V=p.s.h. on peut donc simplifier l’équation par s. ! On obtient ainsi la relation très importante pB-pA= p.g.h 2/ consequences du principe fondamental 1- tous les points d’un même fluide situés dans un même plan horizontale sont a la même pression, et ce quelle que soit la forme du récipient. 2- la surface libre d’un liquide, qui est la lieu des points a la même pression (vide ou pression atmosphérique) est un plan horizontal, et ce quelle que soit la forme du récipient. ! 3- autre expression du principe fondamental: ! Soit dans un fluide un volume de haut h et de surface de base S: ! pB=pA+ p.g.h s’ecrit aussi pB.S= pA.S+ p.g.hS= pa.S+mg ! La pression en B est agile a celle existant en A augmentée du poids de la colonne de fluide de hauteur h et de section égale a l’unité de surface (1m^2) 3/ application aux gaz: la pression atmosphérique 1- existence de la pression atmosphérique:! a/ la membrane n’est pas déformée quand ses deux faces sont en contact avec l’air atmosphérique. ! b/ si on raréfie l’air qui baigne sa face interne, la membrane se creuse, mettant ainsi en évidence la force pressante que l’air continue d’exercer sur sa face externe. ! Cependant la masse volumique d’un gaz n’est pas constante. Le principe fondamental ne peut plus s’y appliquer entre deux niveaux quelconques, mais seulement sur de très faibles hauteurs. On monte que la pression dans le gaz augmente avec la profondeur, mais pas en suivant une loi linéaire comme dans un liquide (voir page suivante) ! La propriété vu en 2 est encore vraie pour un gaz: ! La pression atmosphérique au niveau du sol est égale au poids de la colonne d’air contenue dans un volume de surface de base égale a l’unité ( 1m^2) et de hauteur très grande (100km) ! La pression atmosphérique au sol vaut en moyenne 1013mb (1atm) et subit des variations notables selon le client. Dans les TP on prendra souvent patm=10^5 pascal.

Physique 2- pression en un point quelconque de l’atmosphère ! Expression differentielle du principe fondamental! Si l’on oriente vers le haut un axe verticale Oz et que l’on considère une différence de niveaux comprise entre les altitudes z et z+ dz, la variation de pression(négative) ! dp=p(z+dz) -p(z)= -p(z)dz! Hypothèses: ! - l’air obéit a la loi des gaz parfaits (pV=nRT) ! - La temperature T de l’air ne varie pas avec l’altitude ! - L’acceleration de la pesanteur g est constante ! pV=nRT n=m/M donne p= m/M RT/V= p RT/M ! dp= -p g dz donne dp/p = - Mg/RT dz = -dz/H ! p(z)= patm exp(-z/M)! 4/ pression absolue dans un liquide La pression a la surface libre d’un liquide exposé a l’air est agile a la pression atmosphérique Il s’ensuit qu’a la profondeur h sous la surface du liquide, la pression est ! p=patm= pgh ! p s’appelle «#pression absolue#» (pgh est la pression monametrique ou hydrostatique) ! Tableau pression manométrique de quelques fluides dans le corps humain ! 5/ en résumé

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dans l’air: variation exponentielle de p avec z (loi grossière) ! p(z)= patm exp(-z/H) avec H=8km ! Dans l’océan: variation linéaire de p avec h (loi exacte ! p(h)= patm+pgh !

6/ théorème de pascal (1628_1662 Soit dans un liquide homogène deux points quelconque A et B distants verticalement de la profondeur h => pB-pA= pga ! Si pA augmente de la quantité delta p => pB augmente de delta p également ! Tout liquide en équilibre transmet intégralement et en tous ces points une variation de pression imposée en l’un quelconque de ces points. 6/ théorème d’archimede (250 ans avant JC) Soit un objet cubique de volume V et de masse volumique p immergé ans un fluide de masse volumique p0! Bilan des forces extérieures sur cet objet: ! - le poids p de norme mg=pVg (poit d’application= centre de gravité) ! - Force de pression hydrostatique sur les parois horizontales de l’objet !

Physique La resultante des forces de pression A est donc verticale, dirigée vers le haut et a pour norme: A=fb-fa= Sp0g(hb-ha)= p0Vg ! Papp= (p-p0) Vg La poussée exercée sur un objet par un fluide en équilibre est égale au poids du fluide déplacé. Elle est de sens opposé au poids et son support passe par le centre de gravité du fluide déplacé. On peut considérer que le point d’application de cette poussée est au centre de gravité du fluide déplacé (ce point est appelé centre de poussé) Ce principe s’applique aussi aux corps partiellement immergés 8/ mesure des pressions Manometres dans le cas général ! Barometres s’il s’agit de mesurer la pression atmosphérique ! a/ le barometre de Torricelli (ou barometre a mercure 1643) ! Dans la colonne a mercure on a p1-p0=pgh! Or p0=0 et d’après le principe de l’hydrostatique p1=patm ! Colonne de mercure= colonne a eau de 10m ! b/! 9/ paradoxe de l’hydrostatique Fluide en equilibre -> les forces exercées par le fluide sur un élément de surface sont perpendiculaires a cette surface, quelle que soit son orientation. ! Pression sur un élément de paroi situé a une distance h sous la surface libre d’un liquide: ! -coté fluide : p1= patm+ pga! -Cote extérieur: p2= patm ! La difference de pression est pga ! La pression et donc l force qui s’exerce sur un élément de paroi de surface dS, ne dépendent que de la profondeur h et de la nature du fluide, quelle que soit l’orientation de la paroi...