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Cours de paces du professeur Salaun....

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Biophysique

|MECANIQUE DES FLUIDES 1

Biophysique de la circulation Mécanique des fluides : I- Statique d'un fluide incompressible : Quelques définitions : Fluide : Il est constitué de molécules mobiles entre elles. Il n'a pas de forme propre, il prend celle du récipient en s'adaptant à la forme de celui-ci. Il a aussi la capacité de mouvement moléculaire de translation. Il s'oppose à la notion de solide parce qu'il est spontanément déformable. Il existe deux types de fluides : - Les gaz : les molécules occupent tout l'espace de leur enceinte, et ils sont compressibles et expansibles (selon la loi des gaz parfaits  ). Souplesse de l'espace entre les molécules. - Les liquides : les molécules occupent un volume indépendant de celui du récipient, et sont peu compressibles et expansibles. Les molécules translatent entre-elles. A l’inverse des gaz, les liquides sont dit incompressibles. Un liquide, qu’il soit parfait ou réel est incompressible, un liquide réel étant caractérisé par une viscosité donc une perte d’énergie et par suite un dégagement de chaleur.

A- Pression au sein d'un liquide (Pascal) : Le liquide, un fluide : Le liquide est un fluide incompressible (notion adoptée pour l'explication du cours pour simplifier l'ensemble des démonstrations) qui peut être parfait ou réel. - Liquide parfait : les frottements (donc un frein) et la viscosité n'existent pas entre les molécules qui le composent, ce qui fait qu’il n'y a pas de perte d'énergie à l'écoulement. - Liquide réel : les frottements intermoléculaires (liés possiblement à la charge des molécules) et la viscosité existent (créé par les frottements), ce qui fait qu'il y a un dégagement de chaleur à l'écoulement, et donc une perte d'énergie.

Mise en évidence expérimentale : L'élément fondamental qui régit le comportement dans un liquide, est la pression qui elle est régit par la loi des gaz parfaits. Soit une chambre dans laquelle on a fait le vide et qui possède une paroi déformable. La force appliquée sur la membrane s'appelle la pression. La définition d’une pression étant celle d’une force sur une surface. Quand on a fait le vide, la pression à l'intérieur de la chambre diminue, et cette pression se manifeste par une déformation de la paroi. La forme du liquide ne se déforme pas.

La loi de pascal est applicable à tous les fluides incompressibles. Autrement dit, elle s’applique aussi bien aux liquides réels qu’aux liquides parfaits. La viscosité est une notion cinétique, ici le fluide ne possède pas de vitesse, la viscosité n’intervient donc pas. Il est possible d’appliquer l’équation de Bernoulli à cette situation. La loi de Pascal s’applique à tous les liquides, qu’ils soient réels ou parfaits, à condition qu’ils soient statiques. 2015 – 2016

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Loi de la statique des fluides : On considère un fluide immobile, incompressible et de masse volumique uniforme. Pas de notion d'écoulement à se poser, il est statique, il ne bouge pas. Ceci est considéré pour simplifier les démonstrations. La pression en un point est indépendante de l'orientation du capteur et s'exerce perpendiculairement aux parois. La pression est la même en tous les points situés au même niveau. La pression augmente avec la profondeur.

Loi de Pascal : On considère une colonne de liquide qui se situe dans un environnement donné. On exerce une force sur cette colonne. Cette force appliquée sur une surface crée une pression.

On veut calculer la pression à la surface  d’un liquide :

    ∙ 󰇟󰇠 ⇔       ⇔     Pour empêcher la colonne de tomber, il faudra exercer une autre force qui va s'associer au poids de la colonne󰇛 󰇜. On va calculer la pression à la surface  située sous la surface  soit :      󰇟󰇠 Et d’après la formule générale :    ∙  Avec le poids du liquide   ∙  La masse volumique est constante, on peut donc écrire :    ∙  ∙    ∙  ∙  ∙ 󰇟󰇠 Ce poids est proportionnel à la masse de la colonne.    ∙    ∙  ∙  ∙   ∙    ∙    ∙  ∙  ∙       ∙  ∙       ∙  ∙ 

La loi de Pascal dit que la pression est dépendante de la hauteur 󰇛󰇜 du point. On calcule la différence de pression :

     ∙  ∙ 

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Ce qui donne : Donc : Et donc :

La loi de Pascal dit que :

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    󰇛   󰇜 ∙  ∙ 

   ∙  ∙      ∙  ∙       si  

   ∙  ∙ 

     ∙  ∙  Avec  différence de pression,  masse volumique (uniforme) et intensité de la pesanteur (9,8m ∙ s ). Puisque

Attention aux repères : Le moins est dû au repère  placé dans le sens inverse des deux hauteurs. Dans le cas suivant, on a un signe  car le repère est dans le même sens que les. La loi de pascal devient donc :    ∙  ∙  Avec toujours :       ∙  ∙ 

Au sein d'un liquide, la loi de pascal définit la pression en fonction de la profondeur. A un même niveau, j'aurais la même pression. La pression en un point est égale à la pression exercée par le liquide associée à la pression qu'exerce l'air sur le liquide.    ∙  ∙   

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B- Pression atmosphérique :

On remarque ici que la mesure de la pression atmosphérique est faite avec du mercure. Donc 1013hPa est valable avec du mercure. Une autre remarque est que la hauteur est prise en mètres dans le calcul. La pression atmosphérique ne s’applique pas à la surface de la colonne de liquide, ce qui fait  0. On prend 1 au niveau supérieur sur l’axe, ce qui fait que la pression en 1 est la pression exercée de haut en bas donc pression nulle. Autrement dit, 1 serait à la hauteur de l’eau dans le bac s’il n’y avait pas de pression atmosphérique. On appelle ce dispositif le baromètre de Torricelli qui est en fait une colonne de mercure (de masse volume  13,6 ∙ 10 Kg ∙ m ). La hauteur h est de 76cm Afin de calculer la pression atmosphérique, on peut écrire :        ∙  ∙  Ce qui donne :   ,   ,  ∙   ,   

C- Unités de pression : Le pascal :

On effectue l'équation aux dimensions de la pression : 󰇟󰇠       󰇟Energie󰇠 󰇟󰇠      󰇟Surface󰇠 [ Volume] 󰇟Force󰇠 󰇟󰇠     󰇟Surface󰇠 󰇟󰇠   󰇟󰇠      󰇟 󰇠 Remarque : On considère une pression de 1Pa (  1) exercée par un solide de surface  1m .  1  0,102Kg     ∙  ⇔   0,98  Un pascal est égal à la force exercée par un solide de 102g sur une surface. Il s’agit donc d’une unité faible et il faudra donc utiliser un multiple de cette unité (Pascal) qui peut être par exemple hecto Pa   

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Autres unités: Le bar, ancienne unité  :

    

   ∙   →   

Les autres unités sont liées à l'utilisation de manomètres à colonne de liquide : Eau (  1 ∙ 10 Kg ∙ m) ; mercure (  13,6 ∙ 10 Kg ∙ m). 1cmH O    1000 ∙ 9,81 ∙ 0,01  98Pa 1mmHg    13600 ∙ 9,81 ∙ 0,001  133,2Pa      

Les systèmes de mesure peuvent différer :  : On mesure la différence de hauteur des 2 ménisques. La force en  (le point le plus bas) est égale à la somme de la force en  (le point le plus haut) et le poids de la colonne.  : Seul le niveau dans la colonne fluctue et peut être considéré comme le niveau0. Le niveau dans le réservoir ne varie quasiment pas, la surface du réservoir étant beaucoup plus grande que la section du tube.

Exemple : la 

La (pression artérielle) varie dans l'espace.

a. Et position : Pour le sujet qui est debout, la pression en haut de la colonne sera plus faible que celle au niveau des pieds. En revanche, en position allongée, j'aurais la même pression que ça soit au niveau de la tête ou des pieds. Calcul des différences de pression dans le corps selon la position et la hauteur : 󰇛󰇜 Pa󰇛󰇜   ⇔    Dans cette formule,  n’est pas la hauteur du patient à laquelle on fait la mesure dePA, mais la hauteur de liquide (Hg ouH O) dans le tube gradué. Les tubes sont sans vide. Donc la PA du patient à un endroit de son sang, équivaut à, comme pour le calcul de la pression atmosphérique :        ∙  ∙  →    ∙  ∙ 

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La pression est exprimée en Pascal. En ce qui concerne la masse volumique, faudra faire attention : elle

est Du fonction fait dedusamanomètreH masse volumique plus élevée, pour une même variation de pression, le mercure va monter  OouHg. beaucoup moins que l’eau. 󰇛, 󰇜  

󰇛, 󰇜  , 

󰇛󰇜  , 

13 ∙ 10 1,32 ∙  9,8 ∙   8,1 ∙ 10 0,82 ∙ 10   9,8 ∙   25,74 ∙ 10 2,62 ∙ 10    9,8 ∙  



10

  132

 97

262

193

82

60

Pour mesurer la pression encmH O, je vais avoir besoin d'une très grande colonne d'eau, pas pratique. Pour la mesure de la pression enmmHg, j'aurais besoin d'une petite colonne de mercure qui est plus avantageuse pour les pratiques médicales.

Applications numériques... Si 󰇛1,3󰇜  13 On sait que    On considère que     1 ∙ 10 Kg ∙ m

PA󰇛1,8󰇜  PA󰇛1,3󰇜  󰇛  0,5󰇜  13 ∙ 10   ∙  ∙ 0,5  13 ∙ 10  1 ∙ 10 ∙ 9,8 ∙ 0,5  8,1kPa PA󰇛0󰇜  PA󰇛1,3󰇜  󰇛  1,3󰇜  13 ∙ 10   ∙  ∙ 1,3  13 ∙ 10  1 ∙ 10 ∙ 9,8 ∙ 1,3  25,74kPa

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b. Exemple d’utilisation : Toutes ces définitions servent à comprendre les outils utilisés pour mesurer la pression artérielle. - Pour mesurer la tension on a tendance à utiliser une colonne de mercure. Brassard et poire pour appliquer une pression sur l’artère humérale. - Pour la mesure de la (pression veineuse centrale, proche de0), on va avoir tendance à utiliser la colonne d'eau, à la rigueur de la perfusion reliée au corps.

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II- Dynamique d'un fluide incompressible : Quelques définitions :

Le débit est le volume  du fluide traversant une section  (la surface va être exprimée par le mot section) par unité de temps  selon la formule :     On effectue l’équation aux dimensions afin de déterminer l’unité du débit : 󰇟󰇠       L’unité est donc le  ∙  -

-

La vitesse : les particules en mouvement qui vont traverser la section  durant un temps sont toutes les particules situées entre la section  et une distance.

Le volume correspondant     

Or   →    ∙ avec      Donc le débit est donné par :    ∙      





A- Débit d'un fluide incompressible :

Pendant une unité de temps, on a une masse     qui traverse, une masse     qui traverse. On considère que le fluide est incompressible et qu’on est dans un régime permanent. On a donc conservation des masses, et donc conservation des débits :      ⇒      Cette formule n’est valable que pour un système en série (car le débit dans une artériole est différent du débit dans l’aorte). Puisque mon fluide est incompressible, la quantité de matière qui rentre est égale à la quantité de matière qui sort donc :    alors     . 2015 – 2016

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Le fluide est incompressible donc sa passe volume est constante. Les frottements sont inexistants, donc le fluide est non visqueux, donc pas de perte d’énergie. Le régime est donc permanent ou stationnaire.

La conservation de la masse  incompressibilité :    → débit constant,       constante. Ceci ne veut pas dire que la section ou la vitesse doivent être constantes. Le débit pris dans sa globalité va être constant, mais la variation d’un paramètre va faire varier l’autre. Lorsqu'un fluide incompressible circule en régime permanent dans un conduit, le produit : (section  vitesse) (c'est-à-dire le débit) est constant tout au long du conduit. Le débit est constant : donc quand la section  diminue, le débit  augmente.  Et  ne sont pas forcément constantes. On a le même débit des deux côtés de la figure à droite, mais la vitesse sur le bout le plus fin est supérieure à cette du bout le plus large.

B- Ecoulement d'un liquide idéal (Bernoulli) : Equation de Bernoulli : Une fois de plus, on considère un fluide incompressible, où les frottements sont inexistants, donc le fluide est non visqueux. On est toujours dans un régime permanent (ou stationnaire). Notations : - Ecoulement dans un tuyau ; - Deux sections arbitraires : x Section  x Section  A l’altitude  on a une pression  , et    puisque    , mais   . On considère que tous les points de la section sont à la même altitude et à la même vitesse.

Loi de Bernoulli : L’équation de Bernoulli est également appelée Principe de conservation de l’énergie (vu qu’il s’agit d’un fluide parfait, on n’a pas de perte d’énergie). On distingue 3 types d’énergie : - 1 : énergie potentielle liée à la position   -

2 : énergie cinétique liée au déplacement    3 : énergie liée à la pression statique   ∙    1  2  3 

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1 nulle Et vu qu’il n’y a pas de perte d’énergie  (la viscosité car on se place dans des conditions idéales),  est      2 on écrire : 1          constante 2 Cette énergie va être constante au cours du temps puisque je n’ai pas de perte d’énergie (pas de frottements). L’équation de Bernoulli en termes de pressions s’écrit :  ∙      ∙  La pression peut donc être définit comme non seulement une force sur une surface, mais aussi une énergie sur un volume. 1     2           1     ²   2    ²      Donc :                

On cite également le théorème de l’énergie cinétique qui dit que la variation d’énergie cinétique est égale au travail des forces soit :       󰇍󰇍󰇍󰇍 1 1 1  󰇍 󰇍 󰇍 󰇍󰇍 󰇍  󰇍󰇍󰇍󰇍  󰇍                      2 2 2       Un fluide statique possède une vitesse nulle (  0) L’équation de Bernoulli devient donc :            󰇛   󰇜

Conséquences :

On retrouve ainsi la loi de Pascal.

   ∙ 

Application :

En dynamique (contrairement en statique), la pression n’est pas indépendante de l’orientation du capteur.    constante →   constante →     󰇛   󰇜 

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Bernoulli explique que je peux caractériser les éléments de pression en un point. Cette pression, à n'importe quel moment, va être constante. La pression dans ce cas étant considérée comme débit, donc une vitesse dans une surface. La loi de Bernoulli caractérise la pression au sein de n’importe quel liquide à condition qu’il soit parfait (sans perte de charge). Si le liquide (parfait) est statique, la conséquence est que je vais retomber sur la loi de Pascal. A tout liquide qui est parfait, si le liquide est statique, ça va faire qu'on retrouve la loi de Pascal. La loi de Pascal ne s'applique qu'aux liquides statiques (puisque de toute manière on n’a pas de composante cinétique). Dans ce cas-là, l'orientation du capteur est fondamentale. A gauche je vais mesurer une dépression de déplacement, à droit, un ajout de pression. A la perpendiculaire, c'est juste la différence de hauteur qui compte. a. Tubes de Pitot : Tout ceci peut s’expliquer d’une manière mécanique. Le tube de Pitot permet de mesure la vitesse dans un tube.

J'ai un vaisseau, une colonne de liquide qui se déplace horizontalement de  vers. J’ai ma section horizontale, et j'ai deux petits capteurs : un à la perpendiculaire du tube et l'autre qui aura une inclinaison par rapport au tube avec une petite ouverture qui sera dans l’axe de déplacement du liquide (l’axe est horizontal, donc la différence d’altitude est égale à zéro, et donc la pression potentielle exercée par la différence d’altitude est nulle. Si le tuyau était orienté vers le haut ou vers le bas, il y aura une composante en plus). S'il s'agit d'un liquide parfait, j'applique l'équation de Bernoulli, pas de perte de charges : j'ai l'énergie potentielle  l'énergie cinétique  la pression intrinsèque qui est égale au point  et au point. Je peux me permettre d'écrire ça puisque la pression totale est constante.  Et  peuvent changer en fonction de la surface  du tube, c'est pour ça ce sont des variables. L’ensemble des éléments intérieurs sont identiques, la globalité du système est constant puisque pas de frottements, et donc pas de perte d’énergie. Si un tube est uniformément de surface, alors sa vitesse est constante. Le système des tubes de Pitot permet de calculer la vitesse du fluide dans le tube au point. La pression latérale au point B est plus élevée que la pression latérale au point. A La différence entre 󰆓 et 󰆓 est négatives. La différence des hauteurs c'est un peu comme la différence de position d'un capteur, sauf qu'ici il ne s’agit 

 

1 1              2 2 pasOn d'unestcapteur électronique. au même niveau, donc   , donc l’énergie potentielle est nulle (la pression liée à l’altitude est 1 en compte. 1 nulle), seule la composante de vitesse rentre            2 2 2015 – 2016

Biophysique

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1 1        2  2      

  󰆒  󰇛󰆒   󰇜   󰆒  󰇛󰆒   󰇜   󰆒  󰇛  󰆒󰇜  󰇛󰆒   󰇜  󰇛󰆒   󰇜 󰆒     󰆒    󰇛󰆒  󰆒     󰇜

Puisque la pression de l’air sur ’ et ’ est identique, on peut écrire : 󰆒  󰆒        󰇛󰆒  󰆒 󰇜      1        2    b. Effet Venturi :

J'ai un tube qui se rétrécit, horizontal, ouvertures des sortes que mon liquide ne peut pas partir. Il s'agit d'un liquide parfait. L'effet Venturi montre que si la vitesse augmente, la pression diminue. Le produit de la section par la vitesse est constant en tout point du système puisque je n'ai pas de perte de matière. Le débit est constant. J'ai exactement la même démonstration que dans Pitot. 1 1              2 2 1  1               2 2 On est au même niveau, donc   , donc l’énergie potentielle est nulle (la pression liée à l’altitude est nulle), seule la composante de vitesse rentre en compte. 

   

1

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Biophysique

|MECANIQUE DES FLUIDES 13

  󰆒  󰇛󰆒󰆒   󰇜   󰆒  󰇛   󰇜 󰆒  󰆒    󰆒      󰇛  󰆒 󰇜      1      󰇛   󰇜 2     2      2        󰇧   1󰇨  2  2     1   



             On va déduire qu'il y a une différence de pression entre le point  et le point  puisque la formule dit que la différence de pr...