Wisniewski-UE7- Statique et dynamique des fluides PDF

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Dynamique des fluides...

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UE 7 – Ph Physique ysique et Biophysique

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ME MECAN CAN CANIQUE IQUE DE DESS FL FLUI UI UIDES DES – Statique et dynamique Pr Christelle Wisniewski UFR des Sciences Pharmaceutiques et Biologiques christelle.wisniewski@umontpellier 2020 - 2021 PASS

MECANIQUE DES FLUIDES Zone réservée pour la vidéo

❶

STATIQUE DES FLUIDES Domaine de la mécanique des fluides qui s'intéresse aux caractéristiques d'un fluide au repos, sans écoulement

❷

DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES Domaine de la mécanique des fluides qui s'intéresse aux caractéristiques d'un fluide en mouvement

PASS

MECANIQUE DES FLUIDES Zone réservée pour la vidéo



PASS

STATIQUE DES FLUIDES

 ST STATIQ ATIQ ATIQUE UE DES FLU FLUIDE IDE IDESS Zone réservée pour la vidéo

Sommaire Relations fondamentales • Equation fondamentale de la statique des fluides • Forces de pression sur un corps immergé - Poussée d’Archimède

Statique des fluides incompressibles • • • • •

PASS

Principe de Pascal Notions de surfaces isobares Pression en un point d’un liquide à surface libre Action des forces de pression sur une paroi Mesure de pression dans un fluide au repos

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Relations fondamentales

PASS

Equ Equation ation fon ondamentale damentale de la st statique atique de dess flu luides ides Zone réservée pour la vidéo

On considère une particule de fluide de volume dV dx

dz

Particule de fluide de volume dV et de masse dm

dy

Ensemble de molécules, de taille macroscopique mais suffisamment petit pour que l'on puisse considérer que tout y est identique et uniforme.

dV dx dy dz

Les forces qui agissent sur cette particule sont de deux types: Forces intérieures Les molécules intérieures exercent les unes sur les autres des forces intérieures (forces moléculaires) égales et opposées deux à deux (principe de l'égalité de l'action et de la réaction) et qui forment par conséquent un système équivalent PAS à zéro.

Forces extérieures Forces de surface : Les molécules extérieures interagissent avec les molécules intérieures (forces moléculaires). Ces forces s'exercent sur les particules de la surface puisqu'elles s'exercent qu'à très faible distance. Forces de volume: Les molécules intérieures sont soumises à des champs de forces extérieurs (électrique, pesanteur, magnétique…).

Equ Equation ation fon ondamentale damentale de la st statique atique de dess flu luides ides Zone réservée pour la vidéo

Bilan des forces sur la particule de fluide Masse volumique du fluide ( ) constante Seul champ extérieur : le champ de pesanteur

Force de volume  Poids, dPoids

selon l’axe z décroissant

Forces de surface  Force de pression, dF (x)

dFx

(y)

(z)

dFz+dz

dPoids

dFz

dFx+dx dFy

PASS

dFy+dy

selon les axes x, y et z

Equ Equation ation fon ondamentale damentale de la st statique atique de dess flu luides ides Zone réservée pour la vidéo

Rappel de mécanique Principe fondamental de la dynamique Deuxième loi de Newton Relation fondamentale de la dynamique



Fext Avec

Solide de masse m immobile Au repos, en équilibre mécanique

PASS

F

ext

m a Repère galiléen a accélération en m.s-2 m masse en kg

0

Equ Equation ation fon ondamentale damentale de la st statique atique de dess flu luides ides Zone réservée pour la vidéo

Particule de fluide immobile

 dF

Le système est en équilibre

 0    0    dm g    PASS

 dFx dFx   dFy dFy  dF dF z  z

ext

0

⇒ dPoids + dF = 0

dFx dFx dx   dFy dFy dy  dy  0  dm g (dFz dFz dz  dx

dz

) 0

Equ Equation ation fon ondamentale damentale de la st statique atique de dess flu luides ides Zone réservée pour la vidéo

 dm g (dFz dFz dz ) 0

/ unité de volume dV

dFz+dz Particules de fluide

dFz PASS

dm (dFz dFz g dV dV

dz

)

(dFz dFz dz ) g dV

0

0

Résultante des forces de pression sur z

dF dFz

dz

dFz

selon l’axe z

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(dFz dFz dz ) dV dF  g 0 dV

g

g



 ❶ dP

dz

dFz )

dV g dP dx dy dx dy dz

g

0

0

dP 0 dz

dF  dF dP dS dP dx dy dS

❷ dV dx dy dz PASS

(dFz

dx dy dz

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g dP 0 dz

 dP



Cas particulier d'un fluide incompressible et d'un champ de pesanteur uniforme.

g dz

dP



g

P2 P1

dz

Z2, P2

g (z 2 z 1 ) Z1, P1

P2

g z2

P1

g z1

Forme intégrale de la relation fondamentale de la statique des fluides

P

g

z

constante

Principe fondamental de la statique

P : pression interne au fluide (Pa) ρ : masse volumique du fluide (kg.m-3) g : accélération de la pesanteur (m.s-2) z : hauteur (altitude) selon direction verticale orientée positivement vers le haut (m) PASS

For Force ce cess de pression sur un corps imme immergé rgé Pou Poussée ssée d’Ar d’Archimède chimède

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Soit un corps immergé dans un fluide au repos Fluide masse volumique

Le corps est soumis à son poids et aux forces de pression du fluide

Corps volume V masse volumique ’

Par définition, on appelle poussée d’Archimède la résultante de toutes les forces de pression exercées par le fluide sur le corps immergé. Analogie avec la particule de fluide (Slide 29)

PASS

For Force ce cess de pression sur un corps imme immergé rgé Pou Poussée ssée d’Ar d’Archimède chimède

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Théorème d’Archimède

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut, et dont l’intensité correspond au poids du volume de fluide déplacé.

P Ar Poids

Cette force est appelée Poussée d'Archimède.

P Ar PASS

V

g

PAr : poussée d’Archimède(N) ρ : masse volumique du fluide (kg.m-3) g : accélération de la pesanteur (m.s-2) V : volume du corps immergé (m3)

For Force ce cess de pression sur un corps imme immergé rgé Pou Poussée ssée d’Ar d’Archimède chimède

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Poids apparent Le poids apparent d'un corps immergé dans un fluide est la somme de son poids et de la poussée d'Archimède.

P apparent

Poids

PAr

V × ρ '× g V ×ρ×g

Papparent

V g

'

ρ' : masse volumique du corps immergé (kg.m-3)

 si Poids < PAr Le corps s’élève dans le fluide, l’ascension aboutit à la flottation du solide.

 si Poids = PAr

Le corps reste immobile au sein du fluide.



si Poids > PAr

Le corps de déplace vers le bas et décante (ou sédimente).

PASS

For Force ce cess de pression sur un corps imme immergé rgé Pou Poussée ssée d’Ar d’Archimède chimède

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Déplacement et force de frottement Un corps, se déplaçant dans fluide, subit une force qui s’oppose à son déplacement et dite force de frottement.

Ff PAr PAr

Poids

Poids

Ff Poids < Par

Le corps s’élève dans le fluide, l’ascension aboutit à la flottation du solide Force de frottement selon z décroissant

PASS

Poids > Par

Le corps de déplace vers le bas et décante (ou sédimente) Force de frottement selon z croissant

Application au calcul de la vitesse de sédimentation

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Statique des fluides incompressibles (Liquides)

PASS

No Notions tions de surfac surfaces es isobar sobares es Zone réservée pour la vidéo

Surfaces isobares La surface libre d’un liquide au repos est une surface isobare (surface de même pression) en contact avec l’atmosphère.

NON OUI OUI Si cette surface est plane, elle constitue un plan d’égale pression dont l’existence explique le principe des vases communicants.

PASS

Dans le cas de deux liquides non miscibles, les plans d’égale pression n’ont de sens qu’à l’intérieur d’un même liquide

Pri Principe ncipe de Pasca Pascall Zone réservée pour la vidéo

Principe de Pascal Dans un liquide en équilibre de masse volumique uniforme, la pression est la même en tout point du liquide et cela aussi longtemps que ces points sont à la même profondeur.

Paradoxe hydrostatique La pression hydrostatique au sein des divers récipients est indépendante de la forme de ces récipients.

PASS

Pre Pression ssion en un point d’un li liquide quide à sur surface face libr ibre e Zone réservée pour la vidéo

Surface du liquide à l’air libre

A

PB + ρ × g × z B = PA + ρ × g × z A = PAtm

ZA= 0

B ZB < 0

⇒

PB = PAtm - ρ × g × z B

⇒ PB

> PAtm

Liquide dans une enceinte pressurisée

A

PG

ZA= 0

B ZB < 0 PASS

PB + ρ × g × z B = PA + ρ × g × z A = PG ⇒

PB = PG - ρ × g × z B

⇒

PB > PG

Act Action ion des force forcess de pre pression ssion su surr une pa paroi roi Zone réservée pour la vidéo

Forces de pression sur un élément de paroi p atm

dF = dF1 - dF2 dF = P × dS - Patm × dS dF = ( P - Patm ) ×dS

O

dF1

dS

-z

dS

dS

dF

dF2

a)

b)

c)

L’élément de paroi dS doit résister à la force dF dirigée vers l’extérieur 0

Forces de pression sur une paroi plane

F = ∫ dF S

dz

1 F = × ρ ×g × L × h 2 2

-z

h L

Forces de pression sur le fond d’un récipient

F = ρ× g × h ×S PASS

h

S a)

F

S b)

F

S c)

F

Mes Mesure ure de pre pression ssion dan anss un flui fluide de au repos Zone réservée pour la vidéo

Manomètre à liquide

Manomètres à déformation O 1

Déplacement

p

2 3

p p

atm

p

int.

a) Tube de BOURDON

PASS

Entrainement du mécanisme

b) Capsule manométrique Entrainement du mécanisme Lame souple

c) Manomètre à lame d'acier

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

PASS

DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

 DYN DYNAMI AMI AMIQUE QUE DES FL FLUIDE UIDE UIDESS INC INCOMPRE OMPRE OMPRESSIBLES SSIBLES Zone réservée pour la vidéo

Sommaire Notions générales • Ecoulement unidimensionnel • Equation de continuité • Energie d’un fluide en mouvement

Ecoulement d’un fluide parfait • Généralités • Théorème de Bernoulli • Applications

Ecoulement en conduites cylindriques d’un fluide réel • • • • • PASS

Généralités Régimes d’écoulement Pertes de charge Hydraulique Une application biomédicale

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Notions générales

PASS

ECO ECOULEM ULEM ULEMENT ENT UN UNIDIM IDIM IDIMENSIONNEL ENSIONNEL Zone réservée pour la vidéo Dans tout écoulement, une particule fluide trajectoire appelée ligne de courant.

se déplace sur une

Une ligne de courant est une courbe tangente au vecteur vitesse en tout point. v x

Ligne de courant

Tube de courant

L’ensemble des lignes de courant qui s’appuient sur un contour fermé constitue un tube de courant, que l’on désigne aussi par filet de courant lorsque la section droite du tube est très petite. L’écoulement est supposé unidimensionnel et les grandeurs liées à la particule (v, P, , T) ont, à un instant donné, la même valeur en tout point de la section droite du tube de courant. PASS

ECO ECOULEM ULEM ULEMENT ENT UN UNIDIM IDIM IDIMENSIONNEL ENSIONNEL Zone réservée pour la vidéo On choisit une abscisse curviligne sur la ligne de courant médiane, Ox. Dans toute section droite du tube de courant, chaque particule à la même vitesse v, de module v = dx/dt. v x

Ligne de courant

Tube de courant

On dit que l’écoulement est permanent ou encore stationnaire, lorsque les grandeurs , P et v, caractéristiques du fluide et de l’écoulement, sont indépendantes du temps. PASS

EQU EQUATIO ATIO ATION N DE CONT CONTINUITE INUITE Zone réservée pour la vidéo On entend par équation de continuité une relation qui traduit la conservation de la masse.

x2

v1

x1

v2

dS2

dS1 dx1

dx2

x Tube de courant

Si aucun puit ni source entre les sections dS1 et dS2 d’un même tube de courant, la masse de fluide qui passe par unité de temps dm/dt au travers des deux sections droites est la même.

PASS

EQU EQUATIO ATIO ATION N DE CONT CONTINUITE INUITE Zone réservée pour la vidéo x2

v1

x1

v2

x

dS2

dS1

dx2

dx1

dm1 dm 2 = = cte dt dt

dmi d(ρ × dSi × x i ) dxi = ρ × dSi × = ρ × dSi × vi = dt dt dt dm =

⇒ ρ × dS1 × v 1

Tube de courant

x

dV avec dV = dS x x

= ρ × dS 2 × v 2 = cte

dS1 × v1 = dS 2 × v 2 = cte PASS

EQU EQUATIO ATIO ATION N DE CONT CONTINUITE INUITE Zone réservée pour la vidéo

Considérons un écoulement en conduite (parois solides)

Q = S1 × v1 = S 2 × v 2 = S i × v i Pour un fluide incompressible, le produit de la section par la vitesse est constant tout au long de la conduite.

Avec un liquide parfait (µ = 0) v1, v2, vi … vitesses constantes sur les sections droites de la conduite. Avec un liquide réel (µ 0) v1, v2, vi … représentent des vitesses moyennes sur les sections droites de la conduite.

Si changement de section alors changement de vitesse

S1 > S2

v2 > v1

Dans le cas d’une conduite cylindre, la section S correspond à la surface d’un disque : S =  avec R, rayon de la conduite PASS

ENE ENERGIE RGIE D’ D’UN UN FLUI FLUIDE DE EN MOUV MOUVEMENT EMENT Zone réservée pour la vidéo

Un fluide qui s’écoule véhicule de l'énergie.

… sous quelle forme? PASS

ENE ENERGIE RGIE D’ D’UN UN FLUI FLUIDE DE EN MOUV MOUVEMENT EMENT Zone réservée pour la vidéo

Les énergies mises en jeu sont:  le travail des forces de pression qui s’exercent sur chaque section droite du fluide dW = F dx

dW = P dS dx

 l’énergie cinétique du fluide en mouvement dEc = ½ dm v2

dEc = ½

dV v2 = ½

dS dx v2

 l’énergie potentielle. dEp = dm g z

dEp =

dV g z =

S dx g z

Energie totale E = P dS dx + ½ PASS

dS dx v2 +

dS dx g z

ENE ENERGIE RGIE D’ D’UN UN FLUI FLUIDE DE EN MOUV MOUVEMENT EMENT Zone réservée pour la vidéo

Energie totale E = P dS dx + ½

dS dx v2 +

Energie totale E = P + ½ v2 +

gz

dS dx g z

en énergie (J)

en énergie / unité de volume ou pression (Pa)

Expression usuelle

Energie totale E = P/

g) + v2 / (2g) + z

en hauteur (m) Expression utilisée par les hydrauliciens (notions de charge et de hauteur d’eau)

PASS

ENE ENERGIE RGIE D’ D’UN UN FLUI FLUIDE DE EN MOUV MOUVEMENT EMENT Zone réservée pour la vidéo

Energie totale E = P +

gz + ½

v2

Pression statique souvent noté P*

Pression cinétique ou dynamique

P : pression interne au fluide (Pa) ρ : masse volumique du fluide (kg.m-3) g : accélération de la pesanteur (m.s-2) z : hauteur (altitude) selon direction verticale orientée positivement vers le haut (m) v : vitesse moyenne d’écoulement du fluide (m.s-1) PASS

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Ecoulement d’un fluide parfait

PASS

GÉN GÉNÉRAL ÉRAL ÉRALITÉS ITÉS Zone réservée pour la vidéo

Fluide parfait Dans un fluide parfait, il n'existe pas de force (frottement) qui s'opposent au glissement des particules fluides les unes sur les autres.

 Viscosité nulle  Ecoulement sans perte d’énergie Vitesse constante sur toute une section droite Lignes de courant parallèles les unes aux autres

Les fluides parfaits n'existent pas. PASS

TH THÉORÈ ÉORÈ ÉORÈME ME DE BER BERNOULL NOULL NOULLII Zone réservée pour la vidéo

Ecoulement en conduite d’un fluide parfait • •

Absence de forces de frottement interne au fluide Aucune résistance mécanique à son écoulement

E1

E2

+ρ × × + × ρ×

1

=

+ ρ× × + × ρ×

z1 2 z2

+ ρ × × + × ρ×

=

Equation de BERNOULLI

Théorème de Bernoulli (1738) Lors de l'écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible, dans un tube de courant, la charge de ce fluide reste constante. En d'autres termes, il y a conservation de l'énergie en tout point de l'écoulement. PASS

TH THÉORÈ ÉORÈ ÉORÈME ME DE BER BERNOULL NOULL NOULLII Zone réservée pour la vidéo

Théorème de Bernoulli • Fluide parfait incompressible de masse volumique ρ , en écoulement dans le champ de pesanteur terrestre • Ecoulement stationnaire

Très utile à l’explication/la description de nombreux phénomènes Effet Venturi

Vidange d’un réservoir Tube de Pitot

PASS

Vitesse/hauteur d’un jet d’eau

APPL APPLICATI ICATI ICATIONS ONS Zone réservée pour la vidéo

Effet Venturi

Convergent

2

1 S1

S2

S1

a)

+ρ × × + ×ρ × + × ρ× =

=

+ ×ρ ×(

=

S2

v

Divergent

b)

z1 = z2

+ρ × × + ×ρ ×

+ ×ρ× -

)

v1 < v2 car S...