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Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica — 2a edizione

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 1.1

1.2 a) Si ha ⎧ ⎪ ⎪ ⎨3x − 7 |3x − 7| = ⎪ ⎪ ⎩7 − 3x

se x ≥ se x <

7 3 7, 3

perci`o si distinguono due casi: (I) se x < 37, si ha

|3x − 7| = 7 − 3x ≤ 2 − x ⇔ 2x ≥ 5 ⇔ x ≥ 25 , e poich´e

5 2

>

7 3

la disequazione non ha soluzione per x < 37;

(II) se x ≥ 37 , si ha |3x − 7| = 3x − 7 ≤ 2 − x ⇔ 4x ≤ 9 ⇔ x ≤ 49 , e poich´e

9 4

<

7 3

la disequazione non ha soluzione per x ≥ 37.

In conclusione la disequazione non ha soluzioni. b) Il membro a sinistra e` definito per ogni x  −1. Si deve quindi risolvere |2x − 5| > |x + 1| per x  −1. Poich´e ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ se x ≥ −1 ⎨x + 1 ⎨ 2x − 5 se x ≥ 25 e |x + 1| = ⎪ |2x − 5| = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −x − 1 se x < −1, ⎩ 5 − 2x se x < 25     si distinguono tre intervalli, (−∞, −1), −1, 25 e 25 , +∞ (si ricordi che x  −1), e si risolve:

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(I) x < −1: la disuguaglianza diventa 5 − 2x > −x − 1, ovvero x < 6, quindi x ∈ (−∞, 6) ∩ (−∞, −1) = (−∞, −1);

(II) −1 < x < 25: ladisuguaglianza   diventa 5 − 2x > x + 1, ovvero 3x < 4, quindi  4 ∩ −1, 5 = −1, 4 ; x ∈ −∞, 3 2 3

diventa 2x − 5 > x + 1, ovvero x > 6, quindi (III) x ≥ 52 : la disuguaglianza   x ∈ (6, +∞) ∩ 52 , +∞ = (6, +∞).   In conclusione, x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (−∞, −1) ∪ −1, 34 ∪ (6, +∞).

c) Poich´e

⎧ ⎪ ⎪ ⎨2x − 3 |2x − 3| = ⎪ ⎪ ⎩3 − 2x

se x ≥ se x <

3 2 3 2

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − x se x ≤ 1 |1 − x| = ⎪ ⎪ x − 1 se x > 1, ⎩

e

si distinguono tre casi:

(I) x ≤ 1: la disuguaglianza diventa 3 − 2x + 2 ≤ 1 − x − 1, ovvero −x ≤ −5, cio`e x ∈ [5, +∞) ∩ (−∞, 1] = ∅;

(II) 1 < x < 23 : la disuguaglianza diventa 3 − 2x + 2 ≤ x − 1 − 1, ovvero −3x ≤ −7,     cio`e x ∈ 73 , +∞ ∩ 1, 32 = ∅;

(III) x ≥ 32 : la disuguaglianza diventa 2x − 3 + 2 ≤ x − 1 − 1, ovvero x ≤ −1, cio`e   x ∈ (−∞, −1] ∩ 32 , +∞ = ∅. Perci`o la disuguaglianza non ammette soluzioni reali.

d) Si ha ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 2x − 1 − x = x − 1 |2x − 1| − x = ⎪ ⎪1 − 2x − x = 1 − 3x ⎩

quindi

||2x − 1| − 1| =



|x − 1| se x ≥ |1 − 3x| se x <

⎧ ⎪ ⎪ x−1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 − x ⎨ =⎪ ⎪ ⎪ 3x − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 3x

1 2 1 2

se x ≥ 12 se x < 12 ,

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ x − 1 se x ≥ 2 e x ≥ 1 ⎪  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ se x ≥ 21 e x < 1 ⎨1 − x =⎪ ⎪ ⎪ 1 − 3x se x < 21 e x ≤ 13 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3x − 1 se x < 1 e x > 1 2 3

se x ≥ 1 se 21 ≤ x < 1 se 13 < x < 21 se x ≤ 31 .

Si distinguono quattro casi:

(I) x ≥ 1: la disuguaglianza diventa x − 1 < 1, ovvero x < 2, cio`e x ∈ [1, +∞) ∩ (−∞, 2) = [1, 2); (II)

1

2

≤ x < 1: la disuguaglianza diventa 1 − x < 1, ovvero x > 0, cio`e x ∈   ∩ (0, +∞) = 12 , 1 ;

1,1 2

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3

1 3

1 : la disuguaglianza diventa 3x − 1 < 1, ovvero x < 32, cio`e 0, cio`e x ∈ −∞, 31 ∩   (0, +∞) = 0, 13 .

(III)

In conclusione, x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (0, 2).

e) I valori x = ±4 e x = 2 sono esclusi perch´e le divisioni per zero non sono ammesse. Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per (4 − |x|)(2 − x), si ottiene ⎧ ⎪ ⎪ 4 1 ⎨ 2 − x ≤ 4(4 − |x|) se (2 − x)(4 − |x|) > 0 ≤ ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ 2 − x ≥ 4(4 − |x|) se (2 − x)(4 − |x|) < 0. 4 − |x| 2 − x Studiando il segno come in figura, si ottiene

(2 − x)(4 − |x|) > 0 ⇔ x ∈ (−4, 2) ∪ (4, +∞).

Perci`o si distinguono quattro casi: (I) x ∈ [0, 2) ∪ (4, +∞): la disuguaglianza diventa 2− x ≤ 16 −4x, ovvero 3 x ≤ 14,  quindi x ∈ [0, 2) ∪ 4, 143 ; (II) x ∈ (−4, 0): diventa 2 − x ≤ 16 + 4x, ovvero 5x ≥ −14,   la disuguaglianza 14 , 0 ; quindi x ∈ − 5

(III) x ∈ (2, 4): la disuguaglianza diventa 2 − x ≥ 16 − 4x, ovvero 3x ≥ 14, quindi in questo caso non ci sono soluzioni;

(IV) x < −4: la disuguaglianza diventa 2 − x ≥ 16 + 4x, ovvero 5x ≤ −14, quindi x ∈ (−∞, −4).     In conclusione, x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (−∞, −4) ∪ −514, 2 ∪ 4, 143 .

1.3 a) Sia A := {x ∈ R : 4 < x2 ≤ 9}.

Si ha x2 ≤ 9 se e solo se |x| ≤ 3, ovvero −3 ≤ x ≤ 3, e x 2 > 4 se e solo se |x| > 2, ovvero x < −2 oppure x > 2. Perci`o A e` l’unione di due intervalli: A = [−3, −2) ∪ (2, 3]. L’insieme dei maggioranti di A e` {x ∈ R : x ≥ 3} = [3, +∞), il cui minimo e` 3; quindi A e` limitato superiormente e sup A = 3. Poich´e 3 ∈ A, 3 e` anche il massimo di A: max A = 3.

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L’insieme dei minoranti di A e` {x ∈ R : x ≤ −3} = (−∞, −3], il cui massimo e` −3; quindi A e` limitato superiormente e inf A = −3. Poich´e −3 ∈ A, −3 e` anche il minimo di A: min A = −3. Essendo limitato superiormente e inferiormente, A e` limitato.

b) Sia B := {x ∈ R : 4 ≤ x 2 < 9}.

Ragionando come nell’esercizio precedente si trova che B = (−3, −2] ∪ [2, 3), che l’insieme dei maggioranti di B e` [3, +∞) e che l’insieme dei minoranti di B e` (−∞, −3]. Perci`o A e` limitato, sup B = 3 e inf B = −3. Poich´e ±3  B, B non ammette massimo n´e minimo.     1 : n ∈ N , ovvero C = 1 1 1 1 1 c) Sia C := n+3 3, 4, 5, 6, 7, . . . .   1 Poich´e n+3 ≤ 31 per n ∈ N e 13 ∈ C, l’insieme dei maggioranti di C e` 31, +∞ , C e` limitato superiormente e sup C = max C = 31. 1 > 0 per n ∈ N, quindi ogni numero reale non positivo e` minorante di C . Inoltre n+3 Viceversa, un numero positivo non e` minorante di C: per ogni y > 0 esiste n ∈ N 1 tale che n+3 < y (basta prendere n ∈ N tale che n + 3 > y1). Perci`o l’insieme dei minoranti di C e` (−∞, 0], C e` limitato inferiormente (e quindi limitato), inf C = 0 e C non ammette minimo (essendo inf C = 0  C).

d) Sia D := {p2 : p ∈ Z}, ovvero D = {0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .}.

D non ha maggioranti: per ogni y ∈ R esiste p ∈ Z tale che p 2 > y (per esempio, si potrebbe scegliere p = max{1, y + 1}). Perci`o D non e` limitato superiormente e non ammette estremo superiore n´e massimo. Chiaramente D contiene solo elementi non negativi e poich´e 0 ∈ D l’insieme dei minoranti e` (−∞, 0]. Perci`o D e` limitato inferiormente e inf D = min D = 0.

e) Sia E := {p3 : p ∈ Z}, ovvero E = {0, ±1, ±8, ±27, ±64, . . .}.

Ragionando come nell’esercizio precedente si trova che E non ammette maggioranti n´e minoranti, non e` limitato superiormente ne´ inferiormente e non ammette estremo superiore/inferiore n´e massimo/minimo.

1 : n ∈ N}. Poich´ e (−1) n = 1 se n e` pari e (−1) n = −1 se n e` f) Sia F := {(−1)n − n+1 dispari, si trova che: 1 n+1 1 −1− n+1

1 = +1 − (I) se n e` pari, (−1) n − n+1

1 (II) se n e` dispari, (−1) n− n+1 =

Allora

n = n+1 (ovvero 0, 32 , 54 , 67 , 89 , . . .); 11 n+2 (ovvero − 23 , − 54 , − 67 , − 89 , − 10 = −n+1 , . . .).

  2 4 6 8 F = − 32 , − 45 , − 76 , − 89 , − 11 10 , . . . , 0, 3 , 5 , 7 , 9 , . . . ,

dove gli elementi sono elencati in ordine “crescente”: 11 < ... < 0 < − 23 < − 54 < − 76 < − 98 < −10

2 3

<

4 5

<

6 7

<

8 9

< ....

1 1 < 1 per n ∈ N . Chiaramente ogni y ≥ 1 e` maggiorante di F: (−1) n − n+1 ≤ 1 − n+1 D’altra parte, se y < 1 allora y non e` maggiorante di F: basta prendere un numero 1 1 1 (si noti che pari n tale che 1 − n+1 > y, ovvero n+1 < 1 − y, ovvero n + 1 > 1−y 1 − y > 0 poich´e y < 1). Perci`o l’insieme dei maggioranti e` [1, +∞), F e` limitato superiormente e sup F = 1. Poich´e 1  F, F non ammette massimo.

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  Analogamente si verifica che l’insieme dei minoranti di F e` −∞, −2 3 . Perci`o F e` limitato inferiormente (e quindi limitato), inf F = −23, e, poich´e − 23 ∈ F, min F = − 23 .

1.4 √6 a) √64 e` l’unico numero reale non negativo x tale che x 6 = 64; poich´e 26 = 64, 6 64 = 2. 6 √6 √ 6 b) Si ha(−2) 6 = 64, quindi (−2)6 = 64. Poich´e 64 = 2 (si veda (a)), si conclude 6 che (−2)6 = 2. 5 √5 √5 √5 c) Si ha (−2) 5 = −32, quindi (−2)5 = −32. Per√definizione −32 = − 32. Poich´e  5 5 25 = 32, ragionando come in (a) si ottiene che 32 = 2. Perci`o (−2)5 = −2. √3 √3 √ 3 d) Si ha −40 · 25 = √−1000 = − 1000. Poich´e 103 = 1000, ragionando come in 3 (c) si conclude che −40 · 25 = −10. Un altro modo per vederlo e` osservare che −40 · 25 = −2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = −(2 · 5) 3 = (−10)3.

1.5 Poich´e ab ≥ 0, si ha |b|. Poich´ √ ab = √|ab| = |a| · √ √ e |a| ≥ 0 e |b| ≥ 0, per la propriet`a 2 delle potenze si ha che ab =√ |a| · |b| = √|a| · |b|. √ Non essere negative √ o scrivere ab = a · b poich´e a e b√potrebbero √ e in√tal √ si pu` √ caso a e b non sarebbero definite (per esempio, 6 = (−2) · (−3), ma −2 e −3 non sono definite).

1.6 a) Per la propriet`a 3 delle potenze 9 5x−2 = (32 )5x−2 = 310x−4 . Per la propriet`a 7 delle potenze 3 10x−4 > 3 = 31 se e solo se 10x − 4 > 1, ovvero se e solo se x > 21.  −x2  −x2 2 = 22x . Per la = 4−1 = 2−2 2 propriet`a 7 delle potenze 2 2x ≥ 2 = se e solo se 2x2 ≥ 1, ovvero se e solo se  1 |x| ≥ √2 , cio`e x ∈ −∞, − √12 ∪ √12 , +∞ .

b) Per le propriet`a 3 e 4 delle potenze

 −x2 1 4 21

c) x1/2 e` definito per x ≥ 0. Se x ≥ 0, per la propriet`a 8 delle potenze 1 < x 1/2 ≤ 32 se e solo se 1 = 12 < x ≤ 32 2 = 1024. d) x5 e` definito per ogni x ∈ R e a 5 < b5 se e solo se a < b. Perci`o 1 = 1 5 < x5 ≤ 32 = 25 se e solo se 1 < x ≤ 2. e) x10 e` definito per ogni x ∈ R .

Si consideri prima il caso x ≥ 0: √ per la propriet`a 7 delle potenze 1 < x 10 ≤ 32 se e 1/10 1/10 solo se 1 = 1 < x ≤ 32 = 2.

Se invece x < 0, si utilizza che (−x) 10 = x10 , ovvero x < 0 verifica la disuguaglianza 10 se e solo se√−x > 0 lo fa: come nel caso √ precedente, 1 < (−x) ≤ 32 se e solo se 1 loga y se a > 1 8) x > y > 0 ⇒ ⎪ ⎪ ⎩loga x < loga y se 0 < a < 1

infatti x > y ⇔ aloga x > aloga y e quindi la (8) segue dalle propriet`a delle potenze;

9) ∀ a ∈ R + , a  1 ⇒ loga 1 = 0, loga a = 1, log a 1a = −1 infatti a0 = 1, a1 = a e a−1 = 1/a; ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ∀ x  0 ⇒ loga x2 = 2 log |x| 10) per ogni a > 0, a  1, risulta ⎪ ⎪ ⎩ ∀ x, y : xy > 0 ⇒ loga xy = loga |x| + loga |y|

infatti loga x2 = loga |x|2 e adesso e` possibile applicare la (5) in quanto |x| > 0; analogamente per la seconda, osservando che xy > 0 e quindi xy = |xy| = |x| · |y|.

1.8 a) x = log3 27 se e solo se 3 x = 27 = 33 , ovvero x = 3. In modo equivalente, si pu`o utilizzare la propriet`a 5 dei logaritmi: log 3 27 = log3 (3 3 ) = 3 log3 3 = 3. b) x = log2 14 se e solo se 2 x = 14 = 2−2 , ovvero x = −2. In modo equivalente: log2 14 = log2 (2−2 ) = −2 log2 2 = −2.  −1/2  x 1 , ovvero x = − 12 . In modo equivalente: c) x = log 251 5 se e solo se 251 = 5 = 25  − 12 1 log 251 5 = log 1 25 = −21. 25

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d) x = log10 1000000 se e solo se 10 x = 1000000 = 10 6 , ovvero x = 6. In modo equivalente: log10 1000000 = log 10 (10 6 ) = 6. e) x = log10 0.00001 se e solo se 10 x = 0.00001 = 10 −5 , ovvero x = −5. In modo equivalente: log 10 0.00001 = log10 (10 −5 ) = −5. f) Per le propriet`a 2 e 5 dei logaritmi, log 25 5 + log 25 125 = log25 625 = log 25 252 = 2.

1.9 a) log3 (4−x) e` definito se 4−x > 0, ovvero se x < 4. Osservando che −1 = log 3 (3−1 ) = log3 13 , per la propriet`a 8 dei logaritmi log 3 (4−x) < −1 se e solo se x < 4 e 4−x < 31, ovvero se e solo se 11 3 < x < 4. b) 3 x−2 e` definito per ogni x ∈ R. Per la propriet`a 1 dei logaritmi e per la propriet`a 8 delle potenze, 3 x−2 < 2 = 3log3 2 se e solo se x − 2 < log 3 2, ovvero se e solo se x < 2 + log3 2.   √ √ c) log2 1 − x − 2 e` definito se x − 2 ≥ 0 e 1 − x − 2 > 0, ovvero se x ≥ 2 e   √ x − 2 < 1. Sia quindi 2 ≤ x < 3. Allora log 2 1 − x − 2 < 3 = log2 23 = log2 8 se √ √ e solo se 1 − x − 2 < 8, ovvero se e solo se x − 2 > −7. Tale disuguaglianza e` verificata per ogni x ∈ [2, 3). √  √ d) log5 3 − x2 − 2 e` definito se 3 − x 2 ≥ 0 e 3 − x2 − 2 > 0, ovvero se 3 − x 2 ≥ 0 √ √ e 3 − x2 > 2 = 4. Ma allora deve essere −x 2 ≥ 1, che non e` verificato da alcun x ∈ R. Perci`o la disuguaglianza non ha soluzioni reali. e) log4 (3x + 2) e log 4 (x − 3) sono definiti se 3x > −2 e x > 3, ovvero se x > 3. Sia quindi x > 3. Per la propriet`a 2 dei logaritmi log 4 (3 x + 2) − log4 (x − 3) = log 43x+2 x−3 , 3x+2 3x+2 > 1 se e > 1. Poich´ e x > 3, > 0 = log 1 se e solo se quindi log4 3x+2 4 x−3 x−3 x−3 solo se 3x + 2 > x − 3, ovvero se 2x > −5. Tale disuguaglianza vale per ogni x > 3, quindi ogni x > 3 e` soluzione. f) log4 3x+2 x−3 e` definito se x  3 e

3x+2 x−3

> 0:

3x + 2 > 0 ⇔ {3x + 2 > 0 e x − 3 > 0} oppure {3x + 2 < 0 e x − 3 < 0} x−3   ⇔ x ∈ (3, +∞) ∪ −∞, −32 . Sia quindi x > 3 oppure x < − 32. Ragionando come nell’esercizio precedente, 3x+2 > 1. Se x > 3 tale disuguaglianza diventa 3x + 2 > log4 3x+2 x−3 > 0 se e solo se x−3 x − 3, ovvero 2x > −5, che e` verificata per ogni x > 3. Se invece x < −32, la disuguaglianza diventa 3x + 2 < x − 3, ovvero x < − 25. In conclusione x ∈ R e` soluzione se e solo se x < − 25 oppure x > 3.

1.10 a) Sia x > 0. Allora 1

5−4 log25 x = 25−2 log25

1 x

1 −2

= 25log25 ( x ) =

 −2 1 x

= x2 .

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b) Sia x > 0. Allora

c) Sia x ∈ R. Allora

 1 log9 x √ √ 1 = 9 2 log9 x = 9log9 x = x. 3log9 x = 9 2 log 21 25x = log 1

2

d) Sia x ∈ R \ {0}. Allora   √ log10 10x2 = 12 log10 10x2 =

e) Siano x > 1, a > 0, a  1. Allora √ loga x2 − 1 − 21 loga (x − 1)

1 2

 −5x 1 2

= −5x.

log10 10 + 21 log10 x2 =

=

1 2



=

1 2

loga

1 2

+ log10 |x|.

   loga x2 − 1 − loga (x − 1) x2 − 1 = x−1

1 2

loga (x + 1).

1.11   a) Si ha x4 − x = x x3 − 1 . Osservando che x 3 − 1 ≥ 0 se e solo se x ≥ 1, si conclude   che x x3 − 1 ≤ 0 se e solo se 0 ≤ x ≤ 1 (si veda la figura).

√ b) |3 x2 − 6 x − 5| > 0 se e solo se 3x 2 − 6x − 5  0, ovvero se x  1 ± 32 6. c) Si ha (2−x) 2 (x2 +2x−15)(1−x)(2 x+4) > 0 Poich´e

⇔



x2 (x2 + 2x − 15)(1 − x)(2x + 4) > 0.

(x2 + 2x − 15)(1 − x)(2x + 4) = (x + 5)( x − 3)(1 − x)(2 x + 4), si studia il segno dei singoli fattori come in figura:

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Ricordando che x  2 si conclude che x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (−5, −2) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3). d) Si ha x2 − 3x − 4 ≤0 x2 + 2x − 15

⇔

(x − 4)(x + 1) ≤ 0. (x + 5)(x − 3)

Si escludono x = −5 e x = 3 (per i quali il denominatore si annulla). Si studia il segno dei singoli fattori come in figura:

Perci`o x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (−5, −1] ∪ (3, 4]. √3 1 e` definito per ogni x ∈ R. Dati a, b ∈ R, a 3 ≥ b3 se e solo se a ≥ b. e) x3 − x2 + √ 3 Perci`o x ≥ x3 − x2 + 1 se e solo se x3 ≥ x3 − x2 + 1, ovvero x 2 ≥ 1, cio`e x ≤ −1 o x ≥ 1. √ f) x2 − 9x + 14 e` definito se x 2√− 9x + 14 = (x − 2)(x − 7) ≥ 0, ovvero se x ≤ 2 o x ≥ 7. Dati a ∈ R e b ≥ 0, √ a < b se e solo se a < 0 oppure a ≥ 0 e a 2 ≥ b. Perci`o, se x ≤ 2 o x ≥ 7, x − 8 < x2 − 9x + 14 se (I) x < 8, oppure (II) (x − 8) 2 = x2 − 16x + 64 < x 2 − 9x + 14, ovvero 50 < 7x, cio`e x >

50 7 .

` soluzione se e solo se x ∈ (−∞, 2] ∪ [7, +∞). Poich´e 50 7 < 8, si conclude che x ∈ R e √ g) √ x2 − 2x + 1 e` definito se x 2 − 2x + 1 = (x − 1) 2 ≥ 0, ovvero per ogni x ∈ R. Inoltre x2 − 2x + 1 = |x − 1|, quindi √ x2 − 2x + 1 > 2 − |x + 4| ⇔ |x − 1| > 2 − |x + 4|. Poich´e ⎧ ⎪ x − 1 se x ≥ 1 ⎪ ⎨ |x − 1| = ⎪ ⎪ 1 − x se x < 1 ⎩

si distinguono tre casi:

e

⎧ ⎪x + 4 ⎪ se x ≥ −4 ⎨ |x + 4| = ⎪ ⎪ −x − 4 se x < −4, ⎩

(I) x 2 − (−x − 4), ovvero −2x > 5, cio`e  x ∈ −∞, − 52 ∩ (−∞, −4) = (−∞, −4); Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi matematica, 2a ed., MacGraw-Hill, 2011

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(II) −4 ≤ x < 1: la disuguaglianza diventa 1 − x > 2 − (x + 4), ovvero 1 > −2, cio`e x ∈ [−4, 1).

(III) x ≥1: la disuguaglianza diventa x − 1 > 2 − (x + 4), ovvero 2x > −1, cio`e  x ∈ − 12 , +∞ ∩ [1, +∞) = [1, +∞). In conclusione, x ∈ R e` soluzione se e solo se x ∈ (−∞, −4) ∪ [−4, 1) ∪ [1, +∞) = R . h) I membri della disuguaglianza sono definiti se x  53, 4. Vorremmo moltiplicare entrambi i membri per (5x − 3)(4 − x), ma si devono distinguere due casi:   (I) (5x − 3)(4 − x) > 0, ovvero x ∈ 53, 4 : la disuguaglianza diventa 3x(4 − x) ≤ 2(5x − 3), ovvero 3x 2 − 2x − 6 ≥ 0, cio`e        √    √  √   x ∈ −∞, 13 1 − 19 ∪ 13 1 + 19 , +∞ ∩ 35 , 4 = 31 1 + 19 , 4 ;   (II) (5x − 3)(4 − x) < 0, ovvero x ∈ −∞, 53 ∪ (4, +∞): la disuguaglianza diventa 3x(4 − x) ≥ 2(5x − 3), ovvero 3x 2 − 2x − 6 ≤ 0, cio`e       √   √   √   x ∈ 13 1 − 19 , 31 1 + 19 ∩ −∞, 35 ∪ (4, +∞) = 31 1 − 19 , 53 . Perci`o x ∈ R e` soluzione se e solo se   √     √   x ∈ 31 1 − 19 , 35 ∪ 13 1 + 19 , 4 . i)

√

x2 + 6x + 8 e` definito se x 2 +6x +8√= (x +2)( x +4) ≥ 0, ovvero se x ∈ (−∞, −4] ∪ [−2, +∞). Se a ∈ R e b ≥ 0, a > b se e solo se a ≥ 0 e a 2 > b. Perci`o, dato x ∈ (−∞, −4] ∪ [−2, +∞), si ha  √ 5−x ≥0 5 − x > x2 + 6x + 8 ⇔ (5 − x) 2 > x2 + 6x + 8. La prima disuguaglianza e` risolta per x ≤ 5 mentre per la seconda disuguaglianza si ottiene   x2 − 10x + 25 > x 2 + 6x + 8 ⇔ x ∈ −∞, 17 . 16

In conclusione, x ∈ R e` soluzione se e solo se       17 x ∈ (−∞, −4] ∪ [−2, +∞) ∩ (−∞, 5] ∩ −∞, 16 = (−∞, −4] ∪ −2, 17 . 16 j) Si ha |x2 − x − 3| =



x2 − x − 3 3 + x − x2

 √  se x ≤ 21 1 − 13 oppure x ≥ altrimenti,

1 2

 √  1 + 13

quindi si distinguono due casi:   √  √  (I) se x ≤ 12 1 − 13 oppure x ≥ 12 1 + 13 si deve risolvere x 2 − x − 3 < 2 2x + 1,√ovvero  x − 3x − 4 = (x√− 4)(x  + 1) < 0, cio`e x ∈ (−1, 4). Poich´e 1 ∈ (−2, −1) e 21 1 + 13 ∈ (2, 3), la disuguaglianza e` verificata 1 − 13 2  √  se 12 1 + 13 ≤ x < 4; Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi matematica, 2a ed., MacGraw-Hill, 2011

© 2011, McGraw-Hill

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  √  √  (II) se invece 21 1 − 13 < x < 21 1 + 13 , la disuguaglianza diventa −x 2 + x + 3 < 2x + 1, ovvero x 2 + x − 2 = (x − 1)(x+ 2...