Esercizi 5 Capitolo 10 parte 1 PDF

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5. Lunghe condotte 5.1. La lunga condotta in figura ha diametro D = 150 mm, scabrezza ε = 1mm e lunghezza L = 4500 m. Determinare il dislivello Y fra i serbatoi A e B sapendo che tra essi fluisce una portata Q = 30 l/s.

Poiché è nota la portata che transita fra i due serbatoi si possono facilmente calcolare sia il numero di Reynolds (Re = ρVD/µ) che la scabrezza relativa (ε/D). Sulla base dei valori assunti da queste grandezze con l’impiego dell’abaco di Moody o, in maniera più precisa, con la formula di Colebrook e White si può ricavare, per tentativi, l’indice di resistenza f

⎛ 2.51 1 1 ε⎞ ⎟ = −2 log ⎜ + ⎜ Re f 3.71 D ⎟ f ⎠ ⎝ e, quindi, la cadente J dalla formula di Darcy-Weisbach J=

fV 2 2 gD

Il dislivello Y è pari a

Y =JL Per i calcoli si può impostare la seguente tabella Q 3

m /s 0.030

D mm 150

ε

L

mm 1

m 4500

V

Re

m/s 1.70 254777

f

J

0.033

m/m 0.033

Y m 148

Re* 110

Nella tabella precedente è stato calcolato il valore del numero di Reynolds d’attrito Re* = εv*/ν. Il valore Re* = 110 è relativo al moto puramente turbolento per cui l’utilizzazione della formula di Colebrook e White, a rigore valida solo per il regime in moto di transizione, risulta

33

essere non del tutto corretta. Al suo posto bisognerebbe utilizzare la formula di Prandtl - von Karman per tubi scabri cioè 1 1 ε⎞ = −2 log⎛⎜ ⎟ f ⎝ 3.71 D ⎠ E’ evidente però come, in questo caso, il valore ottenuto per tentativi dalla formula di Colebrook e White è praticamente coincidente con quello, di primo tentativo, del moto puramente turbolento per cui i risultati ottenuti si possono ritenere corretti. In maniera rigorosa infatti si ottiene Q 3 m /s 0.030

D mm 150

ε mm 1

L m 4500

V m/s 1.70

f 0.0332

J m/m 0.0325

Y m 146

Re* 109

La piezometrica è quella che si ottiene congiungendo i peli liberi dei 2 serbatoi.

34

5.2. Una condotta collegante due serbatoi A e B posti rispettivamente a quota zA = 30 m e zB = 26 m è costituita da due tratti di diametro, scabrezza e lunghezza noti. Determinare la portata. (L1 = 4000 m, D1 = 300 mm, ε1 = 1 mm, L2 = 1500 m, D2 = 350 mm, ε2 = 1 mm )

Posta zN la quota piezometrica nel nodo N, scrivendo le equazioni del moto per ogni tratto e l’equazione di continuità per il nodo N si ottiene z A − z N = J 1 L1

(1)

z N − z B = J 2 L2

(2)

Q1 = Q2

(3)

con J1=J1(Q1) e J2=J2(Q2). Per la risoluzione del sistema conviene procedere per tentativi: fissata la quota del nodo N si possono ricavare le cadenti J1 e J2 e, quindi, le portate nei due tratti, rispettivamente Q1 e Q2, applicando, con le opportune sostituzioni, la relazione che si ottiene dalla formula di Colebrook e White

Q=−

πD 2 2

⎛ 2,51υ 1 ε ⎞⎟ 2 gDJ log ⎜ + ⎜ D 2 gDJ 3,71 D ⎟ ⎠ ⎝

ciò significa risolvere la (1) e la (2). Perché il valore di tentativo del carico in N sia corretto deve essere verificata la (3) cioè Q1=Q2. Se così non è bisogna rieffettuare i calcoli con un più opportuno valore del carico in N. Si ottiene:

35

zA

D1

m 30

m 0.3

ε1 m 0.001

J1

(2gD 1J1)^0,5

ztent m 28 27 26.57

m/m 0.000500 0.000750 0.000858

0.05424 0.06643 0.07103

L1

zB

D2

m 4000

m 26

m 0.35

J2

(2gD 2J2)^0,5

Q1 m3/s 0.0228 0.0281 0.0300

m/m 0.001333 0.000667 0.000380

0.09567 0.06765 0.05107

ε2 m 0.001

m 1500

Q2

Re*1

m3/s 0.0565 0.0398 0.0299

L2

19 23 25

Re*2 34 24 18

Nella tabella precedente sono riportati i risultati per tre diversi tentativi del carico in N di cui l’ultimo ztent = 26.57 m rende praticamente uguali le portate che si ottengono nei due tratti. La piezometrica è tracciata nella figura seguente. I valori di Re*1 e Re*2 confermano che è corretta l’applicazione della formula di Colebrook e White.

36

5.3. Nel caso in cui sulla lunga condotta dell’esercizio precedente si effettua il raddoppio del tratto AN con una condotta di lunghezza L3 = 4000 m, diametro D3 = 250 mm, e scabrezza ε3 = 0.5 mm determinare le nuove portate che circolano nella rete. (zA = 30 m, zB = 26 m L1 = 4000 m, D1 = 300 mm, ε1 = 1 mm, L2 = 1500 m, D2 = 350 mm, ε2 = 1 mm )

Detta zN la quota piezometrica del nodo, scrivendo l’equazione del moto per ogni condotta e l’equazione di continuità nel nodo N si ottiene il sistema fornito dalla quattro seguenti equazioni

z A − z N = J 1 L1

(1)

z A − z N = J 3 L3

(2)

z N − z B = J 2 L2

(3)

Q1 + Q3 = Q2

(4)

con J1 = J1(Q1), J2 = J2(Q2) e J3 = J3(Q3). Per la soluzione del sistema conviene procedere per tentativi: fissato un valore del carico in N, ztent, si possono calcolare le cadenti J1, J2 e J3 e quindi applicando ai tre lati ACN, ADN e NB, con le opportune sostituzione, l’equazione che si ottiene dalla formula di Colebrook e White

Q=−

π D2 2

⎛ 2,51υ 1 ε ⎞⎟ 2 gDJ log ⎜ + ⎜ D 2 gDJ 3,71 D ⎟ ⎠ ⎝

le portate Q1, Q2 e Q3. Il carico ipotizzato è corretto se i valori delle portate determinate soddisfano la (4), altrimenti bisogna rieffettuare i calcoli con un valore più opportuno del carico nel nodo. Si ottiene tronco ACN ADN NB

z L D ε J m m m mm mm 27.25 30 4000 300 1 0.00069 27.25 30 4000 250 0.5 0.00069 27.25 26 1500 350 1 0.00083 zN

f 0.0280 0.0252 0.0266

V m/s 0.380 0.366 0.463

Q 3 m /s 0.027 0.018 0.045

Q1+Q3

Re*

3

m /s 0.045

48 22 55

La perdita di carico nei due rami del primo tratto è pari a J1L1= 2.75 m mentre nel secondo tratto si ha una perdita di carico pari a J2L2= 1.25 m. I valori di Re* confermano che è corretta l’applicazione della formula di Colebrook e White. 37

La riduzione della perdita di carico che si ha nel primo tratto per effetto del raddoppio consente un maggior carico disponibile nel secondo tratto e quindi un aumento della portata complessivamente trasferita fra i due serbatoi. La piezometrica è riportata nella figura seguente.

38

5.4. Si abbia una condotta collegante due serbatoi A e B posti rispettivamente a quota zA = 70 m e zB = 25 m che è costituita da due tratti aventi le seguenti caratteristiche: L1 = 2000 m, D1 = 200 mm, ε1 = 1.5 mm, L2 = 1500 m, D2 = 200 mm, ε2 = 1 mm. Si determini la portata. Se si effettua il raddoppio del tratto a monte con una condotta di lunghezza L3 = 2000 m, diametro D3 = 100 mm e scabrezza ε3 = 1.5 mm determinare la nuova distribuzione delle portate. Si ipotizzi che in entrambi i casi, e per tutte le condotte, il regime di moto sia puramente turbolento.

Scrivendo, come nel caso dell’esercizio 5.2, l’equazione di continuità per il nodo N si ottiene

le equazioni del moto per ogni ramo e

z A − z N = J 1 L1

(1)

z N − z B = J 2 L2

(2)

Q1 = Q2

(3)

con J1 = J1(Q1) e J2 = J2(Q2). Questo sistema è equivalente all’equazione z A − z B = J 1 L1 + J 2 L2

(4)

che si ottiene scrivendo l’equazione del moto fra i serbatoi A e B e tenendo implicitamente conto del fatto che la portata è la stessa nelle due tubazioni. L’ipotesi di moto puramente turbolento permette di calcolare direttamente i valori degli indici di resistenza, effettuando le opportune sostituzioni nella formula di Prandtl-von Karman per tubi scabri, cioè

⎛ 1 ε⎞ = −2 log⎜ ⎟ f ⎝ 3.71 D ⎠

1

Tenendo conto della formula di Darcy-Weisbach fV 2 J= 2gD la (4) diventa

z A − z B = aQ 2 + bQ 2 con a = 8f1L1/(gπ2D15) e b = 8f2L2/(gπ2D25). La determinazione della portata Q può, quindi, essere effettuata direttamente ottenendo 39

zA

zB

D1

ε1

L1

ε2

D2

L2

f1

f2

a

b

Q

J1

J2

Re1 Re2

3

m m mm mm m mm mm m m /s m/m m/m 70 25 200 1.5 2000 200 1 1500 0.034 0.030 17803 11764 0.039 0.01355 0.01194 122

77

La piezometrica è tracciata nella figura seguente, dove si osserva che i due tratti hanno pendenza diversa pur avendo lo stesso diametro poiché diversi sono i valori della scabrezza che ad essi competono. La perdita di carico nel primo tratto è pari a J1L1 = 27.1 m, mentre quella nel secondo tratto è pari a J2L2 = 17.9 m.

Nel caso in cui si effettua il raddoppio della condotta di monte si ottiene z A − J 1 L1 − J 2 L2 = z B

(5)

J L1 = J L

(6)

*

*

* 1

* 3 3

Q +Q = Q * 1

* 3

* 2

(7)

con J1* = J1*(Q1*), J2* = J2*(Q2*) e J3* = J3*(Q3*) avendo indicato con * i nuovi valori delle diverse grandezze. Nel sistema su scritto la (5) è ottenuta applicando l’equazione del moto al percorso ACNB, la (6) imponendo l’uguaglianza della perdita di carico nelle condotta ACN e ABN ed, infine, la (7) è l’equazione di continuità applicata al nodo N. Anche in questo caso, supposto il moto puramente turbolento, facendo uso dell’equazione di Prandtl-von Karman per tubi scabri e dell’equazione di Darcy-Weisbach si può porre il sistema precedente nella forma

a*Q1*2 + b*Q2*2 = ( z A − z B ) a *Q1*2 = c* Q2*2 Q1* + Q *3 = Q2* con a* = 8f1* L1/(gπ2D15), b* = 8f2∗L2/(gπ2D25), c* = 8f3∗L3/(gπ2D35). Il sistema costituito dalla precedenti equazioni si può risolvere in maniera diretta: infatti con semplici passaggi si ottiene Q1* =

zA − zB a + b (1 + a * / c * ) 2 *

*

40

Q*3 =

a* * Q1 c*

Q1* + Q *3 = Q2* ed in definitiva zA m 70

zB D1 m mm 25 200

f* 1

f*2

f* 3

ε1 mm 1.5

a*

L1 m 2000

b*

D2 ε2 L2 D3 mm mm m mm 200 1 1500 100

c*

Q1*

Q3*

Q 2*

ε3 mm 1.5

J1*

L3 m 2000

J2*

J3*

Re1* Re2* Re3*

m3/s m3/s m3 /s m/m m/m m/m 0.034 0.030 0.044 17803 11764 722011 0.037 0.006 0.042 0.01194 0.01408 0.01194 115

77

81

La piezometrica è tracciata nella figura seguente. La perdita di carico nei due rami del primo tratto è pari a J1*L1= 23.88 m, mentre nel secondo tratto di ha una perdita di carico pari a J2*L2= 21.12 m. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe a quelle svolte nel caso del raddoppio con moto turbolento in regime di transizione.

41

5.5. Nel sistema di lunghe condotte indicato in figura calcolare le portate nei vari tratti e tracciare la piezometrica. (zA=600 m, zB=560 m, L1 = 5000 m, D1 = 500 mm, ε1 = 1 mm, L2 = 6000 m, D2 = 400 mm, ε2 = 0.8 mm, L3 = 7000 m, D3 = 300 mm, ε3 = 0.6 mm, L4 = 5000 m, D4 = 300 mm, ε4 = 0.6 mm, q1 = 20 l/s, q2 = 20 l/s, q3 = 20 l/s).

L’equazione del moto scritta fra i due serbatoi dà z A − J 1L1 − J 2 L2 − J 3 L3 − J 4 L4 = z B

(1)

ove J1 = J1(Q1), J2 = J2(Q2), J3 = J3(Q3) e J4 = J4(Q4) con Q1, Q2, Q3 e Q4 portate che transitano nei lati AC, CD, DE ed EB. Le portate Q1, Q2, Q3 e Q4 sono legate dalle equazioni di continuità applicate ai nodi C, D ed E secondo le relazioni Q1 − q1 =Q 2 Q2 − q2 =Q 3

Q3 − q3 =Q 4 o anche Q2 = Q1 − q1 Q3 = Q1 − q1 − q 2 Q4 = Q1 − q1 − q2 − q3

(2) (3) (4)

La risoluzione del sistema costituito dalle equazioni (1), (2), (3) e (4) si può effettuare per tentativi. Infatti fissata la portata Q1 si possono ricavare, facendo uso dell’equazione di Colebrook e White e dell’equazione di Darcy-Weisbach, in sequenza i valori di f1*, J1*, zC* = zA- J1*L1, f2*, J2*, zD* = zC* - J2*L2, f3*, J3*, zE* = zD* - J3*L3, , f4*, J4*, zB* = zE* - J4*L4. Il valore ipotizzato di Q1 è corretto se risulta zB* = zB. Dopo alcuni tentativi, si trova

42

q1

Ji*Li zi* zB fi* Ji* zi L D A V Re Q ε 3 2 m /s m m m m m m/s m/m m m AC 0.102 600 5000 0.5 0.001 0.196 0.52 259873 0.0241 0.0007 3.32 596.7 0.02 CD 0.082 596.7 6000 0.4 0.0008 0.126 0.65 261146 0.0234 0.0013 7.63 589.1

q2 0.02 DE q3 0.02 EB

Rei

*

29 28

0.062 589.1 7000 0.3 0.0006 0.071 0.88 263270 0.0241 0.0032 22.07 567.0

29

0.042 567.0 5000 0.3 0.0006 0.071 0.59 178344 0.0244 0.0015

20

7.33 559.7 560

La piezometrica è tracciata nella figura seguente. Si noti che i valori di fi* per ogni riga sono ottenuti dalla risoluzione della ⎛ 2.51 1 ε ⎞⎟ = −2 log ⎜⎜ + ⎟ f* ⎝ Re f * 3.71 D ⎠

1

la quale richiede anch’essa alcuni tentativi.

43

5.6. Il sistema di lunghe condotte presenta lo schema in figura. Determinare le portate considerando il moto in regime di transizione. Verificare l’ipotesi di regime di transizione e tracciare le piezometriche (z1 = 300 m, z2 = 290 m, z3 = 285 m, L1 = 5000 m, L2 = 3000 m, L3 = 4000 m, D1 = 400 mm, D2 = 300 mm, D3 = 200 mm, ε1 = ε2 = ε3 = 1 mm)

Fissato un valore di tentativo del carico nel nodo N (per esempio maggiore di z2) risultano note le cadenti nelle tre condotte J1 =

z1 − z N L1

J2 =

zN − z 2 L2

J3 =

z N − z3 L3

e, quindi si può calcolare, per ogni condotta, il valore Re f =

D 2 gDJ

υ

che inserito nella formula di Colebrook e White consente di calcolare, sempre per ogni condotta, i valore di f, V e Q come ⎛ 2.51υ 1 1 ε ⎞⎟ = −2 log ⎜ + ⎜ D 2 gDJ 3.71 D ⎟ f ⎝ ⎠

V=

Q=

2gDi J i f

π D2 4

V

Bisogna quindi verificare se è soddisfatta l’equazione di continuità Q1 = Q2 + Q3 ed eventualmente modificare il valore di zN e reiterare. Indichiamo con serbatoio 1, 2 e 3 i serbatoi posti rispettivamente a quota z1, z2 e z3 (con z1>z2>z3) ed, analogamente, con condotta 1, 2 e 3 le condotte che da questi si diramano o che a questi giungono. E’ evidente che il valore di tentativo di zN deve essere compreso fra le quote del serbatoio più alto e quello del serbatoio più basso. Una buona scelta è quella di porre inizialmente tale quota pari a z2. In questo caso la portata della condotta 2 è nulla. Se dal calcolo risulta che la portata uscente dal serbatoio 1 è più grande di quella che arriva al serbatoio 3 bisogna provare per valori del carico zN maggiori; l’aumento di questo carico dà luogo infatti ad una diminuzione del carico a disposizione della corrente nella condotta 1 44

quindi ad una cadente inferiore e, nello stesso tempo, ad una portata uscente inferiore, viceversa questo aumento del carico in N dà luogo, per la condotta 3 ad un maggiore carico disponibile, ad una maggiore cadente e quindi ad una maggiore portata; d’altra parte l’avere posto nel nodo N un carico superiore a z2 fa si che anche il serbatoio 2 alimenti il serbatoio 3 riducendo così la discrepanza delle portate che si aveva nel nodo N per zN=z2. E’ evidente, pertanto, che se per zN=z2 la portata che arriva al serbatoio 3 è maggiore di quella uscente dal serbatoio 1 bisogna mettere come valore di tentativo un carico zN minore di z2. Al fine di individuare la quota corretta si possono effettuare, con ovvie modifiche, analoghe considerazioni nel caso in cui fluisce acqua nelle tre condotte. Nella tabella 1 vengono ricavati i valori delle portate che si ottengono per zN = z2. Se Q1 > Q3 si può utilizzare la tabella 2 ponendo per zN valori di tentativo superiori a z2; i tentativi vanno effettuati fino a quando non risulta Q1 = Q2 + Q3. Viceversa se Q1...