T4.- Campo Magnético - sdfgsdfg PDF

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ELECTRICIDAD TEMA 4 CAMPO MAGNÉTICO 1.- INTRODUCCIÓN A LOS FENÓMENOS MAGNÉTICOS. 2.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO. APLICACIONES 3.- ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE 4.- ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE ESPIRAS DE CORRIENTE. MOMENTO MAGNÉTICO 5.- CAMPO MAGÉTICO CREADO POR CARGAS PUNTUALES EN MOVIMIENTO. 6.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE. LEY DE BIOT Y SAVART. 6.1.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE EN UN CONDUCTOR RECTILÍNEO. 6.2.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE. 6.3.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE EN UN SOLENOIDE. 6.4.- FUERZA MAGNÉTICA ENTRE CONDUCTORES PARALELOS. DEFINICIÓN DE AMPERIO.

7. CIRCULACIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPÉRE Y APLICACIONES.

1

1.- INTRODUCCIÓN Desde la antigüedad se conoce la propiedad de ciertos minerales, como la magnetita, de atraer al hierro. También se sabía que es posible dotar de esta propiedad a algunos materiales como el hierro, el cobalto o el níquel. El magnetismo se manifiesta con mayor intensidad en 2 puntos opuestos del imán, denominados polos del imán. Decimos que uno de los polos del imán es positivo y el otro negativo; de forma que los polos de igual signo se repelen y los polos de distinto signo se atraen (al igual que ocurría con las cargas eléctricas). De forma, que al igual que hablábamos de “masa gravitatoria, m” y de “masa eléctrica, q”, podemos hablar de “masa magnética, p”; de hecho, se comprobó que las F entre polos de imanes son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como ocurre con las masas gravitatorias (Ley de m·m ' Newton, F=G 2 r

q·q ' ) y con las masas eléctricas (Ley de Coulomb, F=K 2 ). r

El problema radica en que no podemos aislar una masa magnética; todo imán presenta 2 polos, norte y sur, con la misma masa magnética, pero de signo contrario. Si corto el imán para separar las masas, lo que ocurre es que aparecen 2 polos en la superficie de corte, lo que significa que tenemos otro nuevo imán y no hemos podido aislar un polo. En el siglo XVI, W. Gilbert, fue el primero en estudiar los fenómenos magnéticos. Sus estudios le llevaron a la conclusión de que la tierra debe ser considerada como un imán gigantesco con sus polos situados cerca de los polos Norte y Sur geográficos, como vemos en la figura, pero, al contrario, es decir, el polo N geográfico es el polo sur magnético y viceversa. 2

Un imán que puede girar libremente, se orienta con uno de sus polos dirigido al Norte y el otro al Sur, por convenio el polo que se orienta al N, se llama polo norte o polo positivo del imán y el que se orienta al S, se llama polo sur o polo negativo del imán En 1820, H.C.Oersted, demuestra que una aguja magnética cambia su orientación cuando se aproxima a un conductor por el que circula una corriente eléctrica. Ampère comprobó que 2 corrientes eléctricas interactúan entre sí, atrayéndose o repeliéndose. De forma que dedujo que las corrientes eléctricas crean un campo magnético De momento, diremos que un campo magnético tiene su origen en la existencia de cargas en movimiento (lo que incluye a la corriente eléctrica). Además, un campo magnético se manifiesta porque da lugar a una fuerza sobre las cargas en movimiento. Sólo una carga móvil produce campo magnético, (recordar que el campo eléctrico podía ser producido tanto por una carga eléctrica móvil como en reposo). Importancia del campo eléctrico y magnético: la fuerza que estos campos ejercen sobre las cargas, es la base de numerosas aplicaciones tecnológicas, como el televisor, los monitores de los ordenadores, los osciloscopios, los aceleradores de partículas……

2.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO. Supongamos que hay una región del espacio en la que existe un campo magnético (lo sabemos porque los imanes se orientan), y en esta región tenemos una carga móvil, q, que se mueve con una velocidad v . Sabemos de forma experimental que la carga se ve afectada por una fuerza que es perpendicular a la dirección del movimiento de la carga y que varía al variar la dirección de v .  F

También se ha comprobado que hay una dirección F = 0 , esa dirección (que es la de la v para la que  3 misma en la que se orientan los imanes), es la que adoptamos para la magnitud física que caracteriza el campo magnético,  B ,

y que se llama densidad de flujo magnético o inducción magnética o campo magnético. El campo magnético tiene naturaleza vectorial. F = 0 , tenemos la Fmáx, Si v es perpendicular a la dirección para la cual  esta F para un campo dado, es proporcional a la celeridad y al valor en módulo de la carga. El módulo de la densidad del flujo magnético es, B=

Fmáx q·v

Al probar en otras direcciones se cumple:

{

B →q v⏟ × B → v ∥ F = 0 ¿ 0 F Máx

π ⏞ =qvB B ≡ 90° ≡ → F = q|v|| B |sin 90 → ⏟ F  B → v ⊥  F=q v ×  2 F B=

Máx

qv

v⏟ = 0 →  F=0 carga inmovil

Si tenemos en cuenta el signo de la carga:

{

q>0 →  F tieneel mismo sentido que v ×  B  B q0). Si la carga fuera negativa (q 0, y esta partícula está bajo la acción del campo eléctrico que existe en el espacio de separación de las 2 cámaras, la partícula acelerará hacia una de las “D” y entrará en ella concierta celeridad v. En el interior de esa “D” (ya no actúa el campo eléctrico) la partícula se verá sometida a la densidad de flujo magnético que sabemos, es de forma que la partícula describirá una semicircunferencia de las siguientes características:

9

VELOCIDAD ANGULAR

RADIO

enun TIEMPO

m· v n ⏞ ⏞ |q| ⏞ π π·m ; ω= B yt= = R=

|q| B

ω | q|B

m

Transcurrido el tiempo t, la partícula sale de esa “D” con la misma celeridad con la que entró (recuérdese que se trata de un movimiento circular uniforme). Si en ese tiempo el E ha cambiado de sentido, la partícula volverá a ser acelerada, entrando en la otra “D” a mayor celeridad y como la celeridad es mayor, describirá una semicircunferencia de mayor radio R, pero con la misma velocidad angular ω por lo que tardará el mismo tiempo t, en recorrerla. Cuando sale de esta “D”, el  E ha cambiado de sentido, por lo que la partícula se vuelve a acelerar. De esta forma la partícula va adquiriendo cada vez mayor velocidad, describiendo trayectorias de mayor radio, saliendo del ciclotrón con una celeridad que va a depender del radio máximo de las “D”, Rmáx =

m·v máx

|q|B

↔ v máx =

|q| B m

Rmáx

2 2 2 2 1 1 q B Rmáx 1 |q| B EC = m v máx 2= m Rmáx → E C= 2 2 m m 2

(

)

En todo este proceso hemos dicho que el campo eléctrico E ha cambiado de sentido, para que eso suceda el periodo del E y de la corriente alterna es:

{

1 |q|B = Ta 2 π m 2πm→ T a=2 t= |q|B |q|B ωa =2 π f a= m f a ≡ ν a=

OBVIAMENTE la pulsación y la velocidad angular de giro de las partículas, COINCIDEN. Para que exista sincronización entre el movimiento de las partículas y el  E , la ω ha de ser constante. Pero hay un pequeño problema, los cuerpos de

gran carga específica (|q|/m ) adquieren unas velocidades muy grandes y es necesario tener en cuenta los efectos relativistas sobre la masa porque varía, y al variar, también varía la velocidad angular. Por este motivo, el ciclotrón se puede usar para iones o protones y no para electrones (su carga específica es mucho mayor que la del protón, porqué, aunque tienen la misma carga, la masa del electrón es más pequeña), ya que su movimiento se desfasa con la corriente alterna al aumentar la velocidad.

Selector de velocidades 10

El selector de velocidades es un dispositivo que combina un E y un B , ambos uniformes, perpendiculares entre sí y en la dirección de un haz de iones acelerados, del que seleccionaremos las partículas que tengan una determinada velocidad. En la figura, aplicamos el selector a un haz de partículas de carga negativa. Se hace entrar al haz en una región donde existe un B (perpendicular al papel y dirigido hacia afuera) y un E (horizontal y de sentido de derecha a izquierda). Las partículas cargadas, experimentan unas fuerzas de la forma, FUERZA MAGNÉTICA →  B F m=q v ×  FUERZA ELÉCTRICA → E Fe =q 

Hay partículas que se desvían a la derecha y otras a la izquierda, dependiendo de que fuerza predomine. Las partículas que no se desvían son aquellas que cumplen la condición,

}

 E B →   0 →|q v ×  F m =qv ×  E| →|⏟ B|=| E |⟹ v= F m+ F e =  B|=|q  v ×  B   Fe =q E |v|| B |sin 90

Lo que nos indica que controlando los valores de E y B podemos seleccionar la velocidad. Las partículas que se desvían tendrán una mayor o menor velocidad, dependiendo hacia donde se desvíen. Si las partículas se desvían hacia la derecha, están sometidas a una fuerza eléctrica mayor que la magnética y la velocidad de estas partículas es menor que la celeridad de las partículas que NO se desvían. A las partículas que se desvían hacia la izquierda les ocurre lo contrario.

Espectrógrafo de masas El espectrógrafo de masas es un dispositivo que permite determinar la carga específica (|q|/m ) de una partícula. Si conocemos la carga, podemos averiguar su masa y de esta forma saber de la existencia de isótopos y de su proporción. Si nos fijamos en la figura, tenemos partículas de q negativa que son aceleradas por un campo eléctrico y las hacemos pasar por un selector de velocidades, de forma que disponemos de un haz de iones (todos a la misma velocidad). Estos iones entran en una región en la que

que describen una trayectoria semicircular con una celeridad constante (la misma que tienen cuando entran). cte

R=

|q| m· v⏞ → R es inversamente proporcional a m |q| B ⏟ ⏟ carga específica

cte

Finalmente, las partículas inciden sobre un detector (generalmente una placa fotográfica) en un punto, de forma que se puede medir la distancia desde este punto al de entrada y esta distancia es el doble del radio (R) de la trayectoria. De esta forma podemos saber la carga específica de la partícula,

{

}

Seconoce v gracias al selector de velocidades m·v como Seconoce B (característico del espectrógrafo ) → | q|B Semide R

R=

→ podemos conocer

| q| m

=

v R·B

Y si la carga de la partícula es conocida, podemos obtener su masa, m=

qRB v

Si las partículas son isótopos ionizados (igual carga y distinta masa, debido al número de neutrones), cada uno de ellos tendrá una trayectoria de distinto R, cada uno tendrá un punto en el detector, con lo que podremos determinar el número de isótopos y si además nos fijamos en la intensidad de las marcas, también podremos saber la proporción en que están presentes.

Efecto Hall Efecto Hall se produce cuando, una corriente eléctrica en un conductor sometido a una densidad de flujo magnético da lugar a una diferencia de potencial entre sus caras, el valor de esa diferencia de potencial se conoce con el nombre de voltaje Hall.

12

Sea el circuito de la figura, de forma que el conductor superior está dentro de un campo magnético uniforme,  B . Este conductor, está recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I y debe existir un flujo de electrones que llevan una cierta celeridad. Si estudiamos uno de esos electrones, como se trata de una carga en movimiento, sobre él va a actuar una F magnética, π  q |· v·B· sin → F=e·v·B F m=q v ×  B=|⏟ 2 ¿e

Esta fuerza es perpendicular a v y a  B , y con sentido ascendente (sentido  contrario a v × B ya que la carga del electrón es negativa) Debido a esta fuerza, los electrones se desviarán hacia la cara superior del conductor, de forma que quedará cargada negativamente (y la cara opuesta quedará cargada positivamente). La separación de las cargas va a dar lugar a un campo eléctrico que va a ejercer una fuerza,  E → dirección vertical y sentido descendente Fe =q  E=−e· 

Esta fuerza eléctrica creciente, acabará anulando a la fuerza magnética cuando:  F m+  F e =0 → e·v·B=−e·E → E=vB ∆ V H =E·

⏟d

=vBd

anchodel conductor

Vamos a imaginar que la corriente eléctrica se debiese a un flujo de cargas positivas, que llevaran una velocidad v en sentido de derecha a izquierda, la B y tendrá el mismo sentido que F m=q v ×  fuerza magnética sobre ellas será,  v ×  B (hacia la parte superior del papel), lo que significa que la cara superior del conductor se cargaría positivamente y la inferior negativamente (al contrario que antes). Esto hace que el efecto Hall nos permita verificar si una corriente eléctrica se debe a un flujo de carga positiva en un sentido o de carga negativa en el sentido contrario. Experimentalmente se ha comprobado que en la realidad la situación es que una corriente eléctrica se debe a un flujo de carga negativa. 13

Este efecto se usa para diseñar y fabricar los medidores de campo magnético, conocidos como sondas Hall ∆ V H = v⏟ B conocido

I =nevS ⏞

⏟d

→ B es proporcional a ∆ V H

conocido

3.- ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE Sea un conductor situado en un campo magnético, dentro del conductor (en ausencia de corriente eléctrica) los electrones se mueven en todas direcciones, de forma que su velocidad media es nula y por tanto las fuerzas magnéticas que aparecen en todas direcciones dan un sistema nulo. Sea el conductor anterior, pero ahora por el conductor circula una corriente, por ello, en el movimiento de los electrones existe una dirección y un sentido preferente, de forma que la velocidad media no es nula y tampoco es nula la fuerza magnética media sobre ellos. Esta fuerza se transmite al conductor (ya que los electrones forman parte de él). La fuerza magnética media que actúa sobre un electrón será:  Fe = q⏟ v⏟ ×  F e =e·v u ×  B → B −e− v u

siendo

v , la velocidad media del electrón {u , enla dirección y sentido dela corriente

Si observamos, v y u tienen sentidos contrarios (de ahí el signo negativo), ya que los electrones se mueven en sentido contrario al de la corriente. 14

Vamos a tomar un elemento de longitud infinitesimal (d l) y de sección S del conductor, como vemos en la figura. Al considerar elemento infinitesimal del conductor, el volumen de ese trozo es, S·dl , y por lo aprendido en el tema de electrocinética, sabemos que está relacionado con la densidad de corriente por la expresión, J = ⏟ρ  v e → J · dV =  v e dq dq dV

 F =q  F =dq v e ×B→ d  ⏟ve × B J ·dV

}

❑

F e =∫ J ×  ⟹d  B ↔ B dV Fe =J dV ×  V

Si el conductor tiene la superficie constante, podemos expresar la fuerza en función de la longitud, → J = dI = I multiplicamos por dV J dV = I dV → J dV =I·dl S⏟ dS S S·dl ❑

❑

V

V

F e=∫ J ×  B dV =∫ ⏟ F =∫ I·d l×  al sustituir ,  J dV ×B⟹  B I dl

F =∫ I·d l ×  B Esta expresión  podemos enunciar diciendo,

constituye la primera Ley de Laplace, que

Es la fuerza que actúa sobre la porción diferencial del conductor, transmitida por los electrones libres que contiene esa porción de conductor. Cuando la densidad de flujo magnético es uniforme, la fuerza que actúa sobre un conductor es: ❑

 F=∫ I d l×  B=I L

( ) ❑

∫ d l × B L

Cuando la densidad de flujo magnético es uniforme y el conductor es rectilíneo, la fuerza que actúa sobre un conductor es: ❑

 F=∫ I d l×  B=I L

( ) ❑

∫ d l × B → L

F =I | ⟹ L×  B|

La fuerza magnética sobre un conductor es proporcional a la intensidad, a la longitud del conductor y el seno del ángulo que forma con el campo magnético. El sentido viene dado por el producto vectorial entre la corriente y el campo. 15

Cuando la densidad de flujo magnético es uniforme y el conductor NO es rectilíneo como se observa en la figura, la fuerza que actúa sobre un conductor de extremos P1 (del que parte la corriente) y P2 (al que llega), como vemos en la figura, La fuerza que actúa será: P2

 F =∫ I d l×  B =I P1

Si la densidad de flujo ma

(∫ ) P2

d l ×  B⟹

P1

P 1 P2 ×  B F =I ⟹

P P1 = P2 ⟹  P1 P 2=0 ⟹  F =I  1 P2 × B ⟹F= 0 ⏟ 0

Lo que significa que la fuerza que ejerce una densidad de flujo magnético uniforme sobre un conductor cerrado es cero. Esto no significa que el sistema de fuerzas sea nulo y además SÓLO es válido si el campo es uniforme.

4.-

ACCIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO SOBRE ESPIRAS DE

CORRIENTE.

MOMENTO MAGNÉTICO Sea el circuito cerrado plano de la figura, recorrido por una corriente de intensidad I, y que puede girar alrededor del eje Z (contenido en su plano). Llamamos S al vector que se caracteriza por:  Módulo: el área encerrada por el circuito plano, S=a·b  Dirección: perpendicular al plano del circuito, en la figura pertenece al plano OXY y forma un ángulo φ con OY. 

Sentido: el del avance del tornillo que gira en el sentido de la corriente. 16

B a la densidad de flujo magnético uniforme, que es Llamamos  perpendicular al eje de giro (Z).

La fuerza que actúa en el circuito cerrado debida a  B (que es uniforme), es NULA; pero vamos a ver que no tiene porqué ocurrir lo mismo con el momento.

Para realizar este estudio, calculamos primero la F magnética que actúa sobre el lado P1P2;  P1 P 2 ×  B→ F1=I· 

→

{

2 ºcuadrante

⏞ π F 1=I· | módulo :  P1 P 2 ×  B|=I·| P 1 P2 || B|sin + φ =I·a·B cos φ ⏟ 2 ⏟ a

{ }

( )

B cos φ

 P P dirección :⊥ 1 2 ≡ vertical ( dirección de Z)  B sentido : hacia arriba ( Z positivo ) ¿ línea de acción :en el pto medio , La F se reparteentre P1 y P2

De forma análoga, se calculan el resto de las fuerzas:  F2 =I·  P2 P3 ×  B→

{

módulo : F 2= I·b·B  P P dirección:⊥ 2 3 ≡ direcciónde X →  B sentido : X positivo línea deacción :∥al eje X por el pto medio

{ }

 P 3 P4 ×  B→ F3 =I· 

módulo : F3 = I·a·B cos φ  P P dirección :⊥ 3 4 ≡ vertical(Z )  B sentido :Z negativo

{ }

17

 P4 P1 ×  B→ F 4=I·

{

módulo : F 4 = I·b·B  dirección :⊥ P 4 P 1 ≡dirección de X  B sentido : X negativo línea de acción :∥aleje X por el pto medio

{ }

F1 y  F3 CONCLUSIÓN:  tienen la misma línea de acción, igual módulo y  F2 y  F4 sentidos opuestos, de modo que se anulan entre sí; también son opuestas, por lo tanto, la resultante total de las fuerzas magnéticas es 0 , como cabría esperar de un campo magnético uniforme cuando actúa sobre un circuito cerrado

MOMENTO MAGNÉTICO F1 y  F3 Como 

tienen la misma línea de acción, igual módulo y sentidos

opuestos se anulan entre si y no crean momento. Si representamos en plano XY de la figura F2 y  F 4 tienen distintas anterior, observamos que  líneas de acción, por lo que constituyen un par de fuerzas cuyo momento respecto al origen de coordenadas es:   r 4 × M=  r⏟ F 4 =M· k 2 ×F 2+  ⏟ r2 F 2 sinφ

r4 F 4 sin φ

18

a·b ) B sin φ → M =ISB sin φ M =r⏟2 F ⏟2sin φ+r⏟4 F⏟4 sin φ=I (⏟ a IbB

a IbB

2 2 ⏟ IbB sin φ

S

(a2 +2a )

El momento total M de las fuerzas magnéticas debido a este par, será: ...