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Mates financieras...

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Operaciones de Amortización. Préstamos. 1. Concepto de préstamo 2. Magnitudes de un préstamo 3. Esquema dinámico de un préstamo 4. Cuadro de amortización 5. Sistemas de amortización 5.1. Préstamo tipo francés 5.2. Préstamo de tipo americano 5.3. Préstamo de cuotas de amortización constantes (italiano) 5.4. Préstamo con términos variables en progresión geométrica 5.5. Otros sistemas de amortización. Matemáticas Financieras

1. Concepto de préstamo Un préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación, habitualmente múltiple

Es decir, una operación de amortización consiste en la entrega de un capital por parte del prestamista al inicio de la operación… …que será devuelto junto con los intereses por el deudor mediante el sistema de amortización acordado. Matemáticas Financieras

2. Magnitudes de un préstamo

C0=

Nominal del préstamo o principal: Cuantía entregada por el prestamista y que debe ser devuelta junto con los intereses que vaya devengando.

as =

Termino amortizativo del período s: Cuantía de la contraprestación que vence al final del períodos y que es entregado por el deudor al acreedor (cuota a pagar).

C s=

Capital vivo al final del período s: Deuda pendiente o capital pendiente de amortizar al finalizar el período s. Es el saldo financiero o reserva matemática por la derecha de la operación.

I s=

Cuota de intereses del período s: Intereses devengados durante el período s por la deuda que existe al comienzo de dicho período. Matemáticas Financieras

1

·

2. Magnitudes de un préstamo

As =

Cuota de amortización del período s: Parte

del término amortizativo s que se destina para la amortización del principal del préstamo. También puede ser calculado como la disminución del capital vivo en el período s.

Ms = Capital amortizado hasta el período s o capital amortizado durante los s primeros períodos: Capital devuelto por el deudor sobre el nominal del préstamo, es decir, sin considerar los intereses pagados. Por tanto será la diferencia entre el principal y el capital vivo al final del período s. La suma de las cuotas de amortización hasta el momento s coincide con el capital amortizado.

Matemáticas Financieras

1

0

∑ 1

∑ 1

0

∑ 1

3. Esquema dinámico de un préstamo

Matemáticas Financieras

4. Cuadro de amortización

Matemáticas Financieras

Sumario - Conceptos clave • Nominal del préstamo o principal : • Termino amortizativo del período s: • Cuota de intereses del período s:

1

*

• Cuota de amortización del período s • Capital amortizado hasta el período s 0

• Capital vivo al final del período s:  Prospectivo  Retrospectivo  Recurrente

Matemáticas Financieras

∑ 1

Ejemplo Un préstamo de principal 60.000 € de duración 3 años que se amortiza mediante el pago de terminos amortizativos anuales de cuantia constante. Los tipos de interés acorcados son del 6%, 6,5% y 7% anual efectivo durante el primer, segundo y tercer año, respectivamente. Construir el cuadro de amortización

Matemáticas Financieras

Ejemplo. Cuadro de Amortización años

Tipo de interés

Matemáti

Término amortizativo

Cuota de Intereses

Cuota de Amortización

Capital Vivo

Capital Amortizado

Operaciones de Amortización. Préstamos. 1. Concepto de préstamo

2. Magnitudes de un préstamo 3. Esquema dinámico de un préstamo 4. Cuadro de amortización 5. Sistemas de amortización

Matemáticas Financieras

5. Sistemas de amortización Entre todos los posibles métodos para amortizar el capital prestado, los más utilizados en la práctica financiera son los siguientes: 1. Préstamo tipo francés 2. Préstamo de tipo americano 3. Préstamo de cuotas de amortización constantes (italiano) 4. Préstamo con términos variables en progresión geométrica

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Préstamo tipo francés Se caracteriza por: • El tipo de interés es constante (interés fijo). • Todos los términos amortizativos son periódicos y de igual cuantía.

Dado que el valor financiero de la prestación y de la contraprestación en toda operación financiera han de ser iguales, efectuando la equivalencia financiera en t = 0 se verifica 0 Matemáticas Financieras

Terminos amortizativos:

0

Préstamo tipo francés El capital vivo o reserva matemática se puede calcular, mediante los métodos retrospectivo, prospectivo y recurrente:

Met. retrospectivo

0

(1 )

Met. prospectivo Met. recurrente Matemáticas Financieras

1

(1 )

Préstamo tipo francés CUOTAS DE AMORTIZACIÓN Calculemos el capital vivo al final de los períodos s y s+1, mediante el método recurrente se obtiene:

(1 ) (1 )

1 1

   

1

1

(

1

)(1 )

(1

)

) 1 (1

Las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón ( 1+i ) Matemáticas Financieras

1

5. Sistemas de amortización Entre todos los posibles métodos para amortizar el capital prestado, los más utilizados en la práctica financiera son los siguientes: 1. Préstamo tipo francés 2. Préstamo de tipo americano

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Préstamo de tipo americano En este sistema de amortización, el deudor, únicamente abonará al final de cada período los intereses producidos en dicho período. Excepto en el último periodo, donde además de pagar los intereses amortizará el nominal del préstamo.

El capital vivo al finalizar cada uno de los períodos coincidirá con el principal del préstamo y el capital amortizado en ese momento será nulo. Excepto en el último período, en el que se amortiza la totalidad del préstamo.

CAPITAL VIVO 0

1,...,

0 Matemáticas Financieras

CAPITAL AMORTIZADO

1

0

1,..., 0

1

Préstamo de tipo americano Los términos amortizativos coincidirán con la cuota de intereses de cada período Exceptuando el último pago en el que a la cuota de intereses habrá que añadirle el nominal de préstamo. Mientras que las cuotas de amortización son cero en todos los períodos, menos en el último que será igual al principal del préstamo.

Términos amortizativos 0

(s 1,..., n - 1)

0

0

Matemáticas Financieras

0

Cuotas de amortización

0 (s 1,..., n 1) 0

5. Sistemas de amortización Entre todos los posibles métodos para amortizar el capital prestado, los más utilizados en la práctica financiera son los siguientes: 1. Préstamo tipo francés 2. Préstamo de tipo americano 3. Préstamo de cuotas de amortización constantes (italiano)

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Préstamo de cuotas de amortización constantes (Italiano) Se caracteriza por: Todas las cuotas de amortización de son periódicas y de igual cuantía (constantes) 1

2

⋯

Esto implica que el prestatario amortizará la misma cantidad sobre la deuda pendiente en cada pago

Dado que la suma de todas las cuotas de amortización coincide con el principal del préstamo se verifica que: 0

∑ 1

Matemáticas Financieras

0

Préstamo de cuotas de amortización constantes (Italiano)

En cada período la disminución del capital vivo será constante, de donde podemos deducir que el capital vivo al finalizar cualquier período puede ser calculado como sigue: Mediante las cuotas anteriores (“Método Retrospectivo”) Mediante las cuotas posteriores (“Método Prospectivo”) Mediante el capital vivo al final del período anterior (“Método Recurrente”) Matemáticas Financieras

0

(

)

1

Préstamo de cuotas de amortización constantes (Italiano) VARIACIÓN DE LAS CUOTAS DE INTERESES Y LOS TERMINOS AMORTIZATIVOS Teniendo en cuenta el Método Recurrente y en el supuesto que el tipo de interés es fijo

⇒

1

(

1

) ⇒

1

1

Las Cuotas de Intereses disminuyen en progresión aritmética de diferencia –iA

1

⇒

1

1

Los Terminos amortizativos disminuyen en progresión aritmética de diferencia –iA Matemáticas Financieras

Sistemas de amortización Entre todos los posibles métodos para amortizar el capital prestado, los más utilizados en la práctica financiera son los siguientes: 1. Préstamo tipo francés 2. Préstamo de tipo americano 3. Préstamo de cuotas de amortización constantes (italiano)

4. Préstamo con términos variables en progresión geométrica

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Préstamo con términos variables en progresión geométrica

Dado que el valor financiero de la prestación y de la contraprestación en toda operación financiera han de ser iguales, efectuando la equivalencia financiera en t=0 se verifica.

Términos amortizativos:

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Préstamo con términos variables en progresión geométrica Cálculo del capital vivo o reserva matemática: CS

Met. retrospectivo Met. prospectivo Met. recurrente Matemáticas Financieras

Ejercicios de préstamos 1. Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 € amortizable en 4 años, mediante la entrega de términos amortizativos de cuantía constante al final de cada uno de ellos, sabiendo que la operación se cierra a un 10% de interés efectivo anual. Determinar el nuevo término amortizativo en el supuesto que el tipo de interés de los dos últimos años pasa a ser del 8% efectivo anual.

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Ejercicios de préstamos 2. (P-2) Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 20.000 € amortizable en 3 años, mediante la entrega de términos amortizativos de cuantía constante al final de cada uno de ellos, sabiendo que los réditos anuales de valoración son: el primer año 10% efectivo anual y creciendo medio punto en cada uno de los restantes.

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Ejercicios de préstamos 3. Se amortiza un préstamo de 10.000 € mediante 10 pagos anuales constantes. El tipo de interés aplicado es del 10% efectivo anual. Calcular  Término amortizativo  Capital vivo al cabo de 3 años  Cuota de amortización del 4 año  Capital vivo transcurrido 3 años y 6 meses.

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Ejercicios de préstamos 4. (P-3) Se concede un préstamo de 500.000 €, método francés, al 11% anual, para ser amortizado mediante 8 anualidades. Transcurridos 3 años el tipo de interés varía y pasa a ser el 12% anual. Determinar la anualidad constante inicial y la que resulta tras el incremento del tipo de interés. Confeccionar el cuadro de amortización.

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Ejercicios de préstamos 5. Se concede un préstamo de 500.000 € al 9% nominal anual, para ser amortizado mediante 60 mensualidades de cuantía constante. Transcurridos 3 años, el tipo de interés varía y pasa a ser el 12% nominal anual. El prestatario decide abonar nueva mensualidad de cuantía constante de tal forma que no varíe la duración de préstamo. Calcular:  El término amortizativo abonado inicialmente  El término amortizativo abonado después de la variación del tipo de interés

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Ejercicios de préstamos 6. (P-4) Se concede un préstamo a 12 años, de principal 100.000 €, a un tipo del 10% efectivo anual, amortizable mediante entregas mensuales pospagables constantes de importe a € y entregas semestrales pospagables constantes de importe 3.000 €. Determinar el termino amortizativo.

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Ejercicios de préstamos 7. (P-6)A una persona le faltan por pagar 4 términos amortizativos anuales de importe a €, el primero de ellos dentro de un año, para amortizar un préstamo a interés fijo cuya deuda pendiente es actualmente de 50.000 €. Si no abonase ninguno de los cuatro pagos pendientes, la deuda al cabo de 4 años ascendería a 60.775,30 €. Calcular la cuantía de los términos amortizativos.

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Ejercicios de préstamos 8. (P-7) Una persona entrega anualmente 15.000 € como pago por la devolución de un préstamo de 120.000 € que contrajo hace 10 años, siendo el tipo de interés del 10% anual. Hoy decide liquidar el resto de la deuda. ¿Cuál es la cantidad que ha de abonar ahora, además de la anualidad?.

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Ejercicios de préstamos 9. (P-13) Para comprar una vivienda cuyo precio al contado es de 100.000 €, Don Gerardo tiene que abonar una cantidad inicial de A € y 36 mensualidades constantes de 1.000 € correspondientes a un préstamo hipotecario, cuyo tipo de interés es del 18% nominal anual. Se pide: a) Determinar la cantidad A. b) Determinar la cantidad que Don Gerardo habrá de abonar, si desea cancelar la hipoteca a los 24 meses. El contrato de préstamo hipotecario especificaba que en caso de amortización anticipada de la totalidad o parte de la deuda pendiente, se aplicaría una penalización del 4% sobre el importe amortizado anticipadamente. c) Si el vendedor ofrece la posibilidad de entregar en concepto de entrada solamente el 30% de la cantidad A y el restante 70% en 12 pagos trimestrales de igual cuantía, aplicando un tipo de interés efectivo del 5% trimestral, determine la cuantía de dichos pagos. Matemáticas Financieras

Ejercicios de préstamos 10. (P-14) Sea un préstamo con las siguientes características:  Principal: 10.000 €.  Duración 3 años.  Términos amortizativos semestrales: el primero por importe de 400 €, el segundo por importe de 2.000 € y el resto constantes.  Tanto nominal anual: 10%. Se pide elaborar el cuadro de amortización.

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Ejercicios de préstamos 11. (P-5) Una sociedad obtiene un préstamo de 50.000 € comprometiéndose a pagar, transcurridos 6 meses, 3.500 €, e iguales importes cada 6 meses hasta transcurridos 10 años desde que recibió el principal, momento en el cuál paga como es habitual las 3.500 € más un importe de 50.000 €, con lo que queda saldado el préstamo. Determinar el tanto de interés efectivo anual que aplica el banco.

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Ejercicios de préstamos 12. (P-11) Cierta persona pide un préstamo de 55.000 € a un interés fijo efectivo anual del 14% a devolver mediante 16 cuotas de amortización trimestrales constantes. Por otro lado empieza a ingresar una renta mensual constante pospagable de C € en un fondo de ahorro que le ofrece un 12% nominal anual. Determinar C si al cabo de 3 años y 1 mes con el montante ahorrado puede cancelar la deuda pendiente del préstamo en esos momentos.

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Ejercicios de préstamos 13. (P-19) Se concede un préstamo de principal 80.000 €, amortizable mediante cuotas de amortización constantes trimestrales de 4.000 €. Al cabo de 2 años, después de realizar el pago correspondiente, negocia las condiciones del préstamo, pasando a ser las siguientes: Tipo de interés del 1% efectivo mensual, n pagos mensuales constantes de 480 €, salvo el último que será por el importe necesario para cancelar el préstamo. Calcular el último pago mensual.

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Ejercicios de préstamos 14. Hemos concedido un préstamo por importe de 20.000 €, para ser amortizado en 8 años mediante anualidades variables en progresión geométrica de razón 1,05 a un tipo de interés efectivo anual del 9%. Se pide: a) Importe de la primera anualidad b) Capital pendientes de amortización al principio del cuarto año. c) Cuota de amortización del quinto año d) Capital amortizado en los seis primeros años e) Elaborar el cuadro de amortización

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Ejercicios de préstamos 15. (P-17) Sea un préstamo con las siguientes características:

 Capital prestado: 100.000 €.  Duración 6 años.  El primer año no paga cantidad alguna, el segundo año sólo se pagan intereses, y el resto los términos amortizativos anuales son constantes.  El tipo de interés efectivo anual aplicado a la operación es constante.  La cuota de intereses del segundo año es de 11.000 €. Se pide elaborar el cuadro de amortización.

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Ejercicios de préstamos 16. (P-20) Juan y Ana adquieren un piso conjuntamente; Ana aporta 30.000 € en concepto de entrada un año antes de la entrega de llaves y 10.000 € más en el momento de dicha entrega. Juan se hace cargo de las mensualidades de la hipoteca que ascienden a 900 €/mes, siendo el primer pago un mes después de la entrega de llaves. La hipoteca se pidió a 10 años a un tipo fijo del 10% efectivo anual, con posibilidad de amortizar anticipadamente sin penalización. Transcurridos 4 años, desde el momento de entrega de llaves, deciden disolver la copropiedad, de forma que Ana se queda con la totalidad del piso, se hace cargo del resto de la hipoteca y paga a Juan C €. a) Determinar C, en el supuesto de que en el momento de la disolución los préstamos hipotecarios de similares características se mantuvieran al mismo tipo fijo del 10% efectivo anual. b) Determinar C en el supuesto de que, en el momento de la disolución, los préstamos hipotecarios de similares características estuvieran a un tipo fijo del 12% efectivo anual. De tal forma que a Ana le resulte indiferente solicitar un préstamo nuevo al tal tipo o continuar con el que le cede Juan por cierta cantidad.

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Ejercicios de préstamos 17. Se concede un préstamo de duración 15 años, principal 65.000 € y amortizable mediante pagos trimestrales de cuantía constante. El tipo de interés pactado es del 8% nominal anual. Transcurridos 5 años, el deudor decide entregar C € para reducir el capital vivo de tal forma que la duración del préstamo se reducirá en dos años y seguirá pagando la misma trimestralidad que hasta ese momento. Calcular la cuantía C.

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