T8; Funciones de Trigométricas(10mo a 12mo) actividades PDF

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las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos...

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TALLER 9: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (para maestros de décimo a duodécimo grado)

Universidad de Puerto Rico en Bayamón Departamento de Matemáticas

Preparado por: Prof. José La Luz, Ph.D.

2 PRE-PRUEBA 1) Determine si los siguientes ángulos son coterminales: a) 110° y 470° b) 700° y 2,200° c) 45° y -315° 2) Cambie los siguientes ángulos de grados a radianes: a) 30o

b) 90o 3) Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados: a)

π 18

b) π 4) Para el siguiente triángulo rectángulo, calcule las 6 funciones trigonométricas:

5) Determine las seis funciones trigonométricas del ángulo formado por el lado terminal del punto (1,3). 6) Encuentre el valor exacto de las siguientes expresiones: a) sen 405° b) cos

20π 3

 41π  c) tan −   6 

3 7) Use las identidades trigonométricas para encontrar el valor exacto de las siguientes funciones: a) csc θ = 7,cot θ < 0,tan θ b) cot θ = 2,sinθ > 0,cosθ 8) Verifique las siguientes identidades: a) cos θ tanθ = sin θ b) cot θ sec θ sinθ = 1 c) 1 + senθ =

cos 2 θ 1 − senθ

d) 2csc2θ tan θ = sec 2 θ 9) Use las fórmulas de medio ángulo para encontrar el valor exacto de las siguientes expresiones: π a) cos   12  b) sen112.5 10) Encuentre el valor de las siguientes funciones trigonométricas: a) cos 2θ si cos θ =

4 5

3 3π b) sen 2θ si cosθ = , < θ < 2π 5 2 11) Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x =

1 ,0 < x < 360 2

b) 2cos x + 2 = 0, escriba las contestaciones en radianes c) 2cos 2 x + cos x = 0 , 0 < x < 2π

4 12) Grafique un periodo de las siguientes funciones: a) y = sen (2 πx) b) y = 3cos(2x ) 13) Resuelva los siguientes triángulos rectángulos dada la siguiente información: (Suponga que a y b representan las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa). a) α = 30°, a = 10 b) β = 45°, c = 12

5 OBJETIVOS

Al finalizar el taller los participantes deberán: 1) dibujar ángulos positivos, negativos y de valores mayores de 360 grados. 2) reconocer cuándo dos ángulos son coterminales. 3) cambiar medidas de ángulos de grados a radianes y viceversa. 4) calcular el área de un segmento circular de un círculo. 5) dado un triángulo rectángulo, calcular las seis funciones trigonométricas del ángulo dado. 6) dado un punto en el plano cartesiano, calcular las seis funciones trigonométricas del ángulo formado. 7) saber utilizar los valores de los ángulos especiales, los ángulos de referencia y los signos de las funciones trigonométricas para hacer cálculos. 8) verificar identidades trigonométricas. 9) usar las fórmulas de suma, medio y doble ángulo para hacer cálculos. 10) resolver ecuaciones trigonométricas. JUSTIFICACIÓN

Desde la agrimensura hasta la navegación y la cartografía, la medida precisa de las distancias es necesaria para nuestro mundo. La trigonometría se desarrolló hace más de dos mil años para este mismo propósito. Este módulo es una introducción a esta rama importante de la matemática.

6 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Recordemos que en geometría, un ángulo está determinado por dos rayos que se intersecan en un punto llamado el vértice. En trigonometría, el concepto es el mismo. La diferencia es que empezamos con los rayos en el eje de x en plano cartesiano y el vértice coincide con el origen. Para encontrar el ángulo deseado, rotamos uno de los rayos en contra de las manecillas del reloj hasta llegar al ángulo deseado. El rayo en el eje de x se le conoce como lado inicial y el otro rayo se conoce como el lado terminal. Cuando tenemos esto decimos que el ángulo está en posición estandar. La ventaja de este método es que nos permite generalizar el concepto de ángulo. Ahora, podemos tener ángulos de más de 360° ó de menos de 0°. Lo que ocurre en este caso es que damos una vuelta completa y continuamos. 1. EJERCICIOS: Dibuje los ángulos siguientes: a) 400° Como 400° = 360°(1) + 40°, esto quiere decir que damos una vuelta entera y después 40° más. b) 1,101° Como 1,101° = 360°(3) + 21°, esto quiere decir que damos tres vueltas enteras y después 21° más.

7 2. EJERCICIOS: Dibuje los ángulos siguientes: a) 556° b) 820° c) 2,130° También tenemos ángulos negativos (ó de menos de 0°). Esto quiere decir que movemos el rayo a favor de las manecillas del reloj.

EJEMPLOS: Dibuje los ángulos siguientes: a) -45°

b) -270°

c) -400°

8 Anteriormente habíamos calculado que 400° = 360°(1) + 40°. Esta vez es el mismo ángulo, pero negativo. Esto quiere decir que damos una vuelta completa a favor de las manecillas del reloj y después 40° más (a favor de las manecillas del reloj). 3. EJERCICIOS: Dibuje los ángulos siguientes: a) -90° b) -800° c) -960°

NOTA: Tenemos una cantidad infinita de ángulos con lados terminales que coinciden. DEFINICIÓN: Dos ángulos son coterminales si los lados terminales coinciden. EJEMPLOS: Determine si los siguientes ángulos son coterminales: a) 110° y 470° Observe que 470° = 360°(1) + 110°. De esto deducimos que tenemos una vuelta y después 110°. Por lo tanto estos, ángulos son coterminales. b) 700° y 2,200° Como 700° = 360°(1) +340°, el primer ángulo lleva a cabo una vuelta y después 340° y como 2,200° = 360°(6) + 40° el segundo ángulo lleva a cabo seis vueltas y después 40°, los ángulos no son coterminales. c) 45° y -315° Como -315° + 360° = 45°, entonces los ángulos son coterminales. 4. EJERCICIOS: Determine si los siguientes ángulos son coterminales: a) 180° y -180° b) 1,000 y 2,121°

9 c) 1,440 y 3,960°

NOTA: En trigonometría, con frecuencia, los ángulos se denotan con letras griegas ó caracteres latinos en mayúscula y los lados con caracteres latinos en minúscula. Además de los grados, tenemos una segunda forma de medir ángulos. Para esto, dibujamos un círculo de radio r con centro en el origen y notamos que cualquier ángulo corta un arco de distancia s en ese círculo.

DEFINICIÓN: Sea s el arco del círculo de radio r determinado por el ángulo θ. Entonces la medida en radianes del ángulo θ está dada por la siguiente formula:

θ=

s r

NOTA: La medida de un ángulo en radianes es independiente del círculo que usamos para calcularlo. Recordemos que podemos calcular la circunferencia de un círculo de radio r por la fórmula C=2πr. Para cambiar de grados a radianes, sólo tenemos que recordar que en un círculo de radio r, el ángulo 360o corresponde en radianes a 360o = tanto, multiplicamos el ángulo por

π π 2π 1o = o = o . De esto podemos deducir que 360 180 180

radianes. EJEMPLOS:

Cambie los siguientes ángulos de grados a radianes: a) 30o  π  π 30o  =  180o  6

b) 90o

2π r = 2π . Por lo r

10  π  π = 90    180  2

c) 15o  π  π 15o  =  180o  12

5. EJERCICIOS: Cambie los siguientes ángulos de grados a radianes: a) 45o b) 180o c) 270o d) π o Para cambiar de radianes a grados, multiplicamos el ángulo por

EJEMPLOS:

Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados: a)

π 18

π  180o  o   = 10 18  π  b) π 180o  o  = 180  π 

π

6. EJERCICIOS: Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados: a) b)

π 30

π 5

180o

π

.

11 c)

7π 6

d) 9 TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los ángulos mide 90°. A los lados opuestos a los ángulos que miden menos de 90° se les conocen como los catetos y el lado opuesto al ángulo de 90° se le conoce como la hipotenusa. Dado un triángulo rectángulo y un ángulo agudo θ en ese triángulo, definimos seis funciones de ese ángulo. Llamamos a estas razones trigonométricas. opuesto hipotenusa adyacente cosθ = hipotenusa opuesto tan θ = adyacente senθ =

hipotenusa opuesto hipotenusa secθ = adyacente adyacente cot θ = opuesto cscθ =

EJEMPLOS: Para los siguentes triángulos rectángulos calcule las 6 razones trigonométricas de θ : a)

4 5 3 cosθ = 5 4 tanθ = 3 senθ =

5 4 5 sec θ = 3 3 cot θ = 4

csc θ =

12

b)

senθ = cosθ = tanθ =

csc θ = 5

5 1 = 5 5

sec θ =

2 2 5 = 5 5

5 2

cot θ = 2

1 2

c)

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Como este es un triángulo rectángulo, podemos usar el Teorema de Pitágoras para calcular el lado que nos falta. El Teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En este caso tenemos c = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 . Usamos esto para calcular las razones trigonométricas.

13 8

4 10 5 6 3 = cosθ = 10 5 8 4 tan θ = = 6 3 senθ =

10

5 8 4 10 5 secθ = = 6 3 8 3 cot θ = = 6 4

cscθ =

=

=

NOTA: Observe que los valores del seno, el coseno y la tangente son recíprocos a los valores de la cosecante, la secante y la cotangente. 7. EJERCICIOS: Para los siguentes triángulos rectángulos, en donde los catetos se denotan por a y b y la hipotenusa por c, calcule las 6 razones trigonométricas: a) a = 3, b = 5 b) a = 1, c = 4 c) a = 2, b = 7 NOTA: Los valores de las razones trigonométricas de θ son independientes del triángulo que usemos para definirlas. Por ejemplo, si usamos el triángulo pequeño de la figura tenemos que sinθ =

b y si usamos c

b′ , pero como los dos c′ b b′ triángulos son semejantes, tenemos que = . Lo mismo para las otras funciones. c c′ el triángulo grande entonces sin θ =

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES En general, es difícil saber el valor de las razones trigonométricas para un ángulo. Pero para ciertos ángulos, llamados ángulos especiales, podemos saber el valor exacto. 1. 45°

14 Si θ = 45° entonces β = 45°. Esto nos dice que a = b. Por el Teorema de Pitágoras, tenemos que c = a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 . Entonces tenemos: sen45o =

1 2 a = = 2 a 2 2

a 1 2 = = 2 a 2 2 a tan 45o = = 1 a

cos 45o =

a 2 = 2 a a 2 sec 45o = = 2 a a cot 45o = = 1 a

csc 45o =

2. 30° Si θ = 30° entonces adjuntamos otro triángulo igual y obtenemos un triángulo equilátero donde cada ángulo mide 60°. Tenemos entonces que c = 2b. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos:

(2b)2 = a 2 + b 2 4b 2 = a 2 + b 2 3b 2 = a 2 b 3=a

Entonces tenemos: b 1 = 2b 2 b 3 = cos 30o = 2b b tan 30o = = b 3

csc 30o =

2b =2 b

3 2

sec 30o =

2 2 3 2b = = 3 b 3 3

3 1 = 3 3

cot 30o =

b 3 = 3 b

sen30o =

3. 60°

15 Si θ = 60°, por el mismo procedimiento del caso anterior, tenemos

sen60o =

3

2 3 3 o sec60 = 2

csc60o =

2 1 cos60o = 2 o tan60 = 3

cot 60o =

3 3

Los resultados se resumen en la siguiente tabla: Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60° grados

30°

45°

60°

radianes

π

π

π

6

4

3

sen θ

1 2

2 2

cos θ

3 2

tanθ

3 3

2 2

3 2 1 2

1

3

cscθ

2

2

2 3 3

secθ

2 3 3

2

2

cotθ

3

1

3 3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

Volviendo al plano cartesiano, sea (x, y) un punto en el primer cuadrante. Observe que este punto determina el lado terminal de un ángulo y con esto podemos formar un triángulo rectángulo en el plano.

r

16

Si r = x 2 + y 2 las razones trigonométricas se convierten en: y r x cosθ = r y tanθ = x

r y r sec θ = x x cot θ = y csc θ =

senθ =

EJEMPLOS: a) Determine las seis funciones trigonométricas del ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto (1, 2). Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que r = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 . Con esto podemos calcular las razones trigonométricas: senθ =

3 5 3 = 5 5

cos θ =

5 1 = 5 5

5 3 sec θ = 5

csc θ =

cot θ =

tan θ = 3

1 3

b) Si x = 4, r = 5, halla las 6 razones trigonométricas Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que 52 = 4 2 + y 2 25 = 16 + y 2 25 −16 = y 2 9 = y2 3= y Con esto podemos calcular las funciones trigonométricas: 3 5 4 cosθ = 5 3 tanθ = 4 senθ =

5 3 5 sec θ = 4 4 cot θ = 3

csc θ =

17

8. EJERCICIOS: Determine las seis razones trigonométricas del ángulo con la información dada: a) el lado terminal del ángulo pasa por el punto (4, 6). b) y = 2, r = 6 Si el punto está en cualquier otro cuadrante, el procedimiento es el mismo excepto que tenemos que tener cuidado con los signos. Recuerde que como r es una distancia, siempre es positiva. EJEMPLOS: Determine las seis razones trigonométricas del ángulo generado por el lado terminal del punto dado: a) (-8, -6) Usando el Teorema de Pitágoras encontramos que r = 10. Entonces: 3 −6 =− 10 5 −8 4 cos θ = =− 5 10 −6 3 tan θ = = −8 4

5 3 5 sec θ = − 4 4 cot θ = 3

csc θ = −

senθ =

b) El ángulo θ está en el cuarto cuadrante, x =1, r =

5

Debido a que θ está en el cuarto cuadrante, y < 0. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que y = -2. Entonces senθ =

−2 5

=−

2 5 5

1 5 = 5 5 tan θ = −2

cosθ =

5 2 = 5 1 1 = =− 2 −2

cscθ = − secθ cot θ

9. EJERCICIOS: Determine las seis razones trigonométricas del ángulo θ dada la siguiente información: a) el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el segundo cuadrante, y = 2, r = 5

18 b) el lado terminal del ángulo θ pasa por el punto (1, 0) c) el lado terminal del ángulo θ pasa por el punto (0, 1) d) el lado terminal del ángulo θ pasa por el punto (-1, 0) e) el lado terminal del ángulo θ pasa por el punto (0, -1) NOTA: El ejercicio anterior nos permite calcular las razones trigonométricas de algunos ángulos adicionales. El punto (1, 0) corresponde a 0°, (0, 1) a 90°, (-1, 0) a 180° y (0, -1) a 270°. Añadiendo estos valores a la tabla anterior tenemos (el valor n.d. significa no definido): grados

0°

radianes

0

30°

45°

60°

π

π

6

4

1 2

senθ

0

cosθ

1

3 2

tanθ

0

3 3

cscθ

n.d.

2

2

secθ

1

2 3 3

2

cotθ

n.d.

2 2

3

2 2 1

1

90°

180°

π

π

π

3

2

3 2 1 2

1

0

-1

0

-1

0

n.d.

0

n.d.

2 3 3 2

1

n.d.

-1

n.d.

-1

n.d.

3 3

0

n.d.

0

3

270°

3π 2

NOTA: Observe que los valores del seno y el coseno en la tabla siempre están entre -1 y 1. Definiendo las razones trigonométricas usando un círculo de radio uno, podemos deducir que esto es siempre cierto. Si sabemos el cuadrante en el que ángulo está, podemos deducir el signo de la función trigonométrica.

19 EJEMPLOS: Determine el signo de las siguientes razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes del plano cartesiano: a) sen θ Debido a que s e n θ =

y y que r siempre es positivo, es suficiente saber el signo de y en cada r

cuadrante. En el primer y segundo cuadrante y > 0, en el tercero y el cuarto y < 0. Por lo tanto, s e n θ > 0 en el primer y segundo cuadrante y senθ < 0 en el tercer y cuarto cuadrante.

b) tanθ Debido a que tan θ =

y , tan θ es positivo si x > 0 y y > 0 ó x < 0 y y < 0. Esto ocurre en el primer x

y el tercer cuadrante. Por lo tanto tan θ > 0 en el primer y el cuarto cuadrante y tan θ < 0 en el segundo y el cuarto cuadrante. 10. EJERCICIOS: Determine el signo de las otras razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes del plano cartesiano. Colocando los cuadrantes donde cada función trigonométrica es positiva tenemos:

EJEMPLO: Usando la información provista, determine el valor de las 5 razones restantes: a) cot θ = -3, sen θ < 0

20 Como cot θ < 0 en el segundo y el cuarto cuadrante y sen θ < 0 en el tercero y el cuarto cuadrante, entonces θ está en el cuarto cuadrante. Esto nos dice que x > 0 y y < 0. Como cot θ =

x , podemos tomar x = 3, y = -1. Con esto tenemos que r = 10 . Con esto tenemos: y

senθ =

10 −1 =− 5 10

3 3 10 = 10 10 1 −1 tan θ = =− 3 3

cosθ =

10 = − 10 −1 10 sec θ = 3 cot θ = −3 csc θ =

11. EJERCICIOS: Usando la información provista, determine el valor de la función requerida: a) senθ =

6 , cos θ < 0 , tan θ 3

b) cscθ = −5 , tan θ > 0 , cos θ c) secθ = − 11, sin θ > 0 , senθ DEFINICIÓN: El ángulo de referencia de θ es el ángulo positivo agudo formado por el eje de x y el lado terminal de θ. Los siguientes diagramas nos muestran cómo calcular el ángulo de referencia.

21

θR = θ

θ R = π −θ

θR = θ −de π cualquier razón 2trigonométrica π − θ = θR TEOREMA 1: La evaluación del ángulo de referencia del ángulo θ es igual a la evaluación de la razón trigonométrica del ángulo θ, excepto por el signo, el cual puede ser positivo o negativo. EJEMPLOS: Use el ángulo de referencia y el signo de las razones trigonométricas en los cuadrantes para encontrar el valor exacto de las siguientes funciones trigonométricas: a) sen 120° El lado terminal del ángulo 120° está en el segundo cuadrante, usamos la formula 180o − θ (debido a que el ángulo está en grados, usamos la fórmula en grados). Como el seno es positivo en el segundo cuadrante tenemos: sen120o = sen(180o − 120o ) = sen60o =

3 2

4π 3 4π Como está en el tercer cuadrante, usamos la formula θ − π (debido a que el ángulo está en 3 b) cos

radianes, usamos la fórmula en radianes). Como el coseno es negativo en el tercer cuadrante tenemos: cos

4 π  π 4π 1 − π  = −cos = − = −cos  3  2 3 3

22

12. EJERCICIOS: Use el ángulo de referencia y el signo de las razones trigonométricas en los cuadrantes para encontrar el valor exacto de las siguientes funciones trigonométricas: a) tan 300° b) csc

11π 6

c) cos

3π 4

TEOREMA 2: Los valores de las razones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales. EJEMPLOS: Use el ángulo de referencia, el signo de las razones trigonométricas en los cuadrantes

y los

ángulos coterminales para encontrar el valor exacto de las siguientes funciones trigonométricas: a) sen 405° o o o o Como 405°=360°+45°, tenemos que sen405 = sen(360 + 45 ) = sen45 =

b) cos Como

2 . 2

20...