Tài liệu học tập TOÁN CAO CẤP - Tô Văn Ban Rút gọn 10 2020 - Cỡ 14 PDF

Preview

Summary

TÔ VĂN BAN (Chủ biên)ThS. NGUYỄN ĐỨC HÙNGThS. HOÀNG VĂN CẦNTÀI LIỆU HỌC TẬPTOÁN CAO CẤPDành cho khối ngành Kinh tế(Bản rút gọn - Lưu hành nội bộ)Hà Nội 10 – 2020####### BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT HAY SỬ DỤNG####### Ký####### hiệu####### Ý nghĩa####### A , AT Ma trận, ma trận chuyển vị####### A− ...

Description

TÔ VĂN BAN (Chủ biên) ThS. NGUYỄN ĐỨC HÙNG ThS. HOÀNG VĂN CẦN

TÀI LIỆU HỌC TẬP

TOÁN CAO CẤP Dành cho khối ngành Kinh tế (Bản rút gọn - Lưu hành nội bộ)

Hà Nội 10 – 2020

1

BẢNG CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT HAY SỬ DỤNG Ký hiệu A,A A

Ý nghĩa T

Ma trận, ma trận chuyển vị Ma trận nghịch đảo

−1

Ma trận đơn vị cấp n

En

|A|, det ( A

Định thức của ma trận A

rank ( A )

Hạng của ma trận A

´y , ´y

Đạo hàm theo biến t Vi phân

2

df , d f '

2

f x,

∂f ∂ , ∂x ∂x

Đạo hàm riêng

i, r

Lãi suất, lãi suất năm

iq ,im , id

Lãi suất quý, lãi suất tháng, lãi suất ngày

PV ,

Giá trị hiện tại, giá trị tương lai

FV K ,L

Tư bản, lao động

NAIR

Lãi suất năm danh nghĩa

AER

Lãi suất năm tương đương

APR

Lãi suất phần trăm năm

NPV

Giá trị hiện tại ròng

IRR

Tỷ suất hoàn vốn nội bộ

Qs

Hàm cung

Qd

Hàm cầu

TC

Tổng chi phí, hàm chi phí

TR

Tổng doanh thu, hàm doanh thu

MC

Hàm chi phí biên

AC

Hàm chi phí trung bình

π

Hàm lợi nhuận, lãi suất thực tế

U ( x, y )

Hàm lợi ích

F ( x)

Hàm mục tiêu

2

MỤC LỤC

3

Nội dung Chương 1. Ma trận và hệ phương trình tuyến tính §1.1. Ma trận và định thức §1.2. Hệ phương trình tuyến tính

rang

4

§1.3. Xử lý ma trận dùng Excel

T

4 4 1

1 9

§1.4. Một số mô hình tuyến tính trong kinh tế

2 5

Tóm tắt Chương 1

2 8

Bài tập Chương 1

2 9

Chương 2. Hàm số một biến số

4

§2.1. Sự liên tục của hàm một biến số

3 3

4 §2.2. Đạo hàm của hàm một biến số

3 5

§2.3. Sử dụng đạo hàm trong phân tích kinh tế

3 9

Tóm tắt Chương 2

4 4

Bài tập Chương 2

4

Chương 3. Hàm số nhiều biến số

4 4

6 §3.1. Các khái niệm mở đầu

4 6

§3.2. Đạo hàm riêng

4 8

§3.3. Cực trị tự do và ràng buộc

5 1

§3.4. Một số ứng dụng trong kinh tế

6

Tóm tắt Chương 3

5 6

4 Bài tập Chương 3

6 5

Chương 4. Phương trình vi phân

6 9

Chương 5. Một số vấn đề về quy hoạch tuyến tính

7 0

§5.1. Mở đầu về quy hoạch tuyến tính

0

§5.2. Bài toán vận tải

7 7

6 §5.3. Sử dụng Excel để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

8 1

Tóm tắt Chương 5

4

8 6

Bài tập Chương 5

8 7

Chương 6 Toán Tài chính

9

Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1.1. Ma trận và định thức 1.1.1. Ma trận và các phép toán về ma trận a) Khái niệm về ma trận, phân loại ma trận Ma trận (MT) là một bảng gồm m. n số xếp thành n cột:

(

a11 a21 … am1

a12 a22 … am 2

… a1 n … a2 n … … … amn

m

hàng

)

trong đó aij là những số thực, còn m ,n là những số nguyên dương. Phần tử trên hàng i, cột j là aij ; i: chỉ số hàng, j: chỉ số cột. Chú ý: Ma trận thường được được ký hiệu bởi chữ cái in hoa và viết đậm A , B ,… . Có thể dùng ngoặc vuông [...] thay cho ngoặc tròn (…). Ta còn viết A=(a ij)m×n , hay đơn giản A=(a ij) .  Nếu số hàng khác số cột, ta có ma trận chữ nhật cỡ m× n . Nếu số hàng bằng số cột ( m=n ), ta có ma trận vuông cấp n.  Hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và những phần tử tương ứng ở cùng hàng, cùng cột thì bằng nhau.  Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0, ký hiệu là O . Ví dụ 1.1.

A=

(

(

−2 5 3 B= 2 0 1 4 1 2

)

1 −3 0 3 2 5 ,

(

)

0 0 00 C= 0 0 0 0 , 0 0 00 A : ma trận cỡ 23,

( 13

D=

)

,

)

−3 0 . b+2 5

a11 =1, a12 =−3 , … , a23 =5

B : ma trận vuông cấp 3 C

: ma trận không, cỡ 3 ×4

A=D

b=0 .

 Đối với ma trận vuông A=( aij ) , các phần tử a11 ,a 22 , … , ann tạo thành đường chéo (chính). Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 5

aij=0, ∀i , j=1 , … , n ,i ≠ j,

thì ma trận được gọi là ma trận đường chéo.  Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo là a11=a1 , … , ann= an ký hiệu bởi diag( a1 ,a2 , … , an ).  Ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là E (hoặc I ); để chỉ rõ cấp là n ta dùng ký hiệu En .

(

)

(

7 0 0 0 −2 0 , C= Ví dụ 1.2. Cho 0 0 0 C

là ma trận đường chéo,

E

là ma trận đơn vị (cấp 3).

1 0 0 E= 0 1 0 0 0 1

)

.

 Ma trận chỉ có một hàng (cỡ 1× n ) gọi là vectơ hàng. Người ta hay viết thêm các dấu phẩy giữa các cột để phân biệt các phần tử.  Ma trận chỉ có một cột (cỡ n ×1 ) gọi là vectơ cột. Vectơ viết bằng chữ in thường, đậm: a , b ... Nếu không nói gì thêm, vectơ mặc định là vectơ cột. Chẳng hạn,

()

3 a=(−1, 2, 5, 4 ) , b= 1 4

a : vectơ hàng, có 4 cột;

.

b : vectơ cột, có 3 hàng.

 Nếu mọi phần tử bên dưới (t.ư. bên trên) đường chéo của một ma trận vuông đều bằng không thì ma trận được gọi là ma trận tam giác trên (t.ư. tam giác dưới). Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới gọi chung là ma trận tam giác.

(

Ví dụ 1.3.

(

1 4 −2 3 0

0 3 1 4

)

2 0 1 0 −1 3 0 0 4

)

00 00 50 −3

:

:

Ma trận tam giác trên,

Ma trận tam giác dưới.

b) Các phép toán trên ma trận Phép cộng ma trận A=( aij )m× n , B=( b ij) m ×n . Cho hai ma trận cùng cỡ 

Tổng của A và

B là ma trận

C=A + B= ( aij+ bij )m× n .

Quy tắc. Khi cộng hai ma trận cùng cỡ, ta cộng các phần tử tương ứng trên cùng hàng cùng cột với nhau. 6

Tính chất A + B=B+ A ,

A +O=O + A= A ,

( A + B ) +C= A+( B+C ) .

Chú ý: Chúng ta không thể cộng hai ma trận cỡ khác nhau với nhau. Cho định bởi

 Phép nhân ma trận với một số A=( aij ) m× n và k là một số. Tích k A

là ma trận xác

k A= (kaij )m× n .

Vậy, khi nhân một số với ma trận, ta nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận. Tính chất. Cho A , B số thực. Khi đó,

là hai ma trận cùng cỡ và h , k là những

k ( A+B)=k A+ k B , ( h+k ) A=h A +k A , k (h A )= ( kh) A .

 Phép trừ ma trận. Phép trừ hai ma trận cùng cỡ như sau: A − B =A + ( −1) B= ( a ij−bij )m ×n . Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận A=( aij )m× p , B=( b ij) p ×n . 

(Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B ). Ta gọi tích AB là ma trận C=( c ij )m× n có m hàng, n cột mà phần tử c ij được xác định bởi công thức: p

c ij=ai 1 b1 j +a i 2 b2 j+ …+ aip b pj =∑ aik b kj . k=1

Như vậy, để thu được phần tử ở hàng i, cột j của ma trận tích, ta thực hiện theo sơ đồ nhân sau

(Hàng

i ma trận đầu



Cột j ma trận sau = Phần tử ( i, j¿ ma trận tích). 7

1 −3 0 Ví dụ 1.4. Cho A= 3 2 5

(

(

( )

)

2 1 0 B= −3 ,C= 2 −1 1 3 1

,

( ) ( )

)

−5 3 . AB= 11 , AC= 22 3 5

. Khi ấy

Tính chất. Nếu các phép nhân và phép cộng ma trận sau có nghĩa thì:  EA= A ,

AE = A

(Nhân với ma trận đơn vị không làm thay đổi ma trận),  ( AB ) C= A ( BC )

(Tính kết hợp),

 A ( B+ C) = AB+ AC ,

( B+ C) A=BA + CA

(Phép nhân phân phối với phép cộng). Lưu ý. Để biết hai ma trận có thể nhân được với nhau hay không, ta phải kiểm tra cỡ của chúng. A B ⟹ AB Cỡ :m × p p × nm × n ¿´?

Nói chung, AB ≠ BA

kể cả khi A và B vuông, cùng cấp. Xét ví

dụ A=

( 10 00) , B= (01 10)

( 00 10 )≠ B A=( 01 00) .

AB=

;

Cũng có thể xảy ra đẳng thức giao hoán với nhau.

AB =BA , khi đó ta nói

A và B

Lũy thừa và đa thức của ma trận vuông Nếu ma trận A vuông thì luôn xác định được các lũy thừa của A: A 1= A , A2= AA , A3= A A 2= AAA ,… , An = A A n−1= AA … A .

Cho f ( x ) =a0 + a1 x+ … + an x n

là đa thức của ẩn (hay biến) x . Đặt

f ( A )=a0 E+ a1 A + …+an An

gọi là một đa thức của ma trận A . (Trong biểu thức của f (x ) coi a0 là a0 .1 rồi thay 1 bởi E , thay x bởi A ta sẽ nhận được f ( A ) ).

(

)

1 −2 Ví dụ 1.5. Cho A= 1 3 .

a) Tìm A 2 , A 3 . b) Với f (x )=2+3 x−x 2 , tính f ( A ) . 8

(

A 2=

Giải. a)

1 −2 1 −2 = −1 −8 , 1 3 1 3 4 7

)(

) (

)

( )( )( ) 1 0 b ¿ f ( A ) =2( +3 1 −2 − −1 −8 ) 7 0 1 ) (1 3 ) ( 4 2 0 3 −6 1 8 6 2 . ¿( +( +( =( ) ) ) 0 2 3 9 −4 −7 −1 4) 3 A = 1 −2 −1 −8 = −9 −22 . 1 3 4 7 11 13

c. Ma trận chuyển vị Ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách viết hàng i thành cột i được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A , ký hiệu là A T . (Có tài liệu viết là A t , A ' ). A=( aij )m× n ⟹ A T =( a ji) n ×m .

( MT Cỡ m× n chuyển thành MT cỡ n ×m ). Chẳng hạn,

( ) ( )( )

1 −1 1 2 4T = 2 3 , −1 3 0 4 0

(

)

T

2 3 ( 3 −2 1)T = −2 , 4 =( 2 4 0 −5) . 0 1 −5

Bây giờ ta trình bày doanh số bán hàng trong Bảng 1.1 theo cách chuyển hàng thành cột: Cột đầu tiên ghi các hàng hóa bán ra, các cột tiếp theo ghi doanh số Tháng 1, 2, 3:

(

)

55 43 72 B= 23 13 18 . 14 20 13 12 8 19

Rõ ràng B= AT . Tính chất  ( AT )T =A ,  ( A+ B)T = A T + BT ,  Nếu có thể nhân ma trận ( AB)T =B T A T .

A

với ma trận B thì

d. Ma trận đối xứng Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu A= A

T

( aij=a ji , ∀i , j ¿ . 9

Ví dụ 1.6.

−1 2 5 C= 2 0 3 5 3 4

(

⟺ a=2 .

)

là ĐX.

2 −1 a −1 4 1 D= 3 2 1 5 −2 c

(

5 −2 c 0

)

ĐX

Nhận xét. Ma trận vuông là đối xứng  Các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo. 1.1.2. Định thức a) Định nghĩa. Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A , ký hiệu là det( A ) hoặc |A| , là một số xác định theo quy nạp: A là ma trận cấp một: A=(a) , det( A ) = a.   A=

là

A

ma

trận

cấp

hai:

( ac db ), det ( A )=|ac db|=ad−bc .

 Giả sử ta đã xác định được định thức cấp n - 1. Cho A là ma trận cấp n

(

a11 a A= 21 … an 1

a12 a22 … an 2

)

… a1 n … a2 n . … … … ann

Gọi M ij là ma trận vuông cấp cách bỏ đi hàng i , cột j . Đặt

n−1

nhận được từ A

bằng

A ij=(−1)i + j |M ij| ,

và gọi là phần bù đại số của phần tử aij . det ( A ) =a 11 A 11 +…+ a1 n A1 n . Khi đó Định thức của ma trận vuông cấp n gọi chung là định thức cấp n. Các hàng (cột) của MT cũng được gọi là các hàng (cột) của định thức của ma trận này. b) Tính định thức cấp 2 và cấp 3 Ví dụ 1.7. i) ii)

|

1 2 −4 5 7 −8

|25 34|=2 × 4−3× 5=−7. 3 5 6 −4 6 −2 ×| 6 =1 × (−1 ) | | 7 9| −8 9 9| 1 +1

|−47 −85 |=( 45+ 48 )−2(−36−42 )+ 3 ( 32−35) =240.

+3 ×

10

Có thể tính định thức cấp 3 theo quy tắc Sarrus. Giả sử a b c A= d e f g h i

(

Viết thêm vào bên phải ma trận A 3 hàng 5 cột.

)

.

cột 1, cột 2 của nó, được bảng

Khi đó det( A) là tổng các tích của 3 thừa số nằm trên cùng mũi tên như ở lược đồ dưới, các số hạng là tích theo mũi tên xuống lấy dấu +¿ , theo mũi tên lên lấy dấu −¿ : +++¿

a

b

c

a

b

d

e

f

d

e

h

i

g

h

g

−−−¿ det ( A ) =aei+ bfg + cdh−gec−hfa−idb .

Ví dụ 1.8. Tính Giải.

det( A)

với

(

)

1 2 3 A= −4 5 6 . 7 −8 9

1 2 3 −4 5 6 7 −8 9

1 2 −4 5 7 −8

det ( A ) =1.5 .9+ 2.6 .7 + 3. (−4) .(−8 ) −{7.5 .3+ (−8 ).6 .1 + 9. (−4 ).2 }=240.

c) Tính chất của định thức Đối với các ma trận vuông xảy ra các tính chất sau đây. • Phép chuyển vị ma trận không làm thay đổi giá trị định thức: T det ( A ) =det ( A ) .

Hệ quả (Khai triển định thức theo cột) det ( A ) =a 11 A 11 +…+ an 1 An 1 .

• Nếu đổi chỗ hai hàng của định thức thì định thức đổi dấu. • Nếu nhân các phần tử của một hàng với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần. • Nếu chia các phần tử của một hàng với cùng một số k ≠ 0 thì định thức được chia cho k lần. • Nếu nhân các phần tử của hàng nào đó với cùng một số rồi cộng vào hàng khác thì định thức không đổi. • Một ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của nó bằng 0. 11

• Nếu ma trận có một hàng gồm toàn số 0 thì định thức của nó bằng 0. • Nếu ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức của nó bằng 0. • Tương tự các điều nói trên với cột. • Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì det( AB )= det ( A ) . det ( B) . Chú ý. Nói chung det( A+B ) ≠ det ( A )+det ( B ) .

d) Cách tính định thức Cách 1 (khai triển theo hàng hoặc theo cột) Từ định thức đã cho, ta nên dùng các phép biến đổi để xuất hiện thêm số 0 ở hàng hoặc cột dự định sẽ khai triển nhằm giảm bớt số định thức cấp n−1 . Giả sử ma trận vuông cấp n nhận được là A=(a ij)n × n . Khi ấy sử dụng các công thức sau rất thuận lợi: det ( A ) =a i1 A i 1 + …+a¿ A ¿ .

(Khai triển theo hàng i ), det ( A ) =a 1 j A 1 j+…+a nj Anj .

(Khai triển theo cột j ) Dùng các công thức trên để tính định thức có tốc độ tính toán chậm; vì thế, chúng chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết. Cách sau có tốc độ tính toán nhanh hơn. Cách 2 (Đưa về dạng tam giác) Trước hết, các phép biến đổi sơ cấp một ma trận (hoặc định thức), cũng như các tác dụng của chúng được thể hiện trong bảng sau, trong đó khái niệm hạng của ma trận sẽ nói đến ở Mục 1.1.4.

Bảng 1.2. Các phép biến đổi sơ cấp Biến đổi sơ cấp (về hàng) Nhân một hàng với k ≠0

Tác dụng Định thức được nhân với k

Đổi chỗ hai hàng

Định thức đổi dấu

Cộng k lần một

Định thức không 12

Hạng MT không đổi Hạng MT không đổi Hạng

hàng nào đó vào hàng đổi MT không đổi khác Chúng ta cần dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa định thức đã cho về dạng tam giác, rồi sử dụng kết quả: b11 b 12 0 b 22 ⋯ ⋯ 0 0

| |

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

b1 n b2 n =b11 b22 ⋯b nn . ⋯ b nn

| |

b11 0 ⋯ 0 b 21 b22 ⋯ 0 =b11 b22 ⋯ b nn . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b n1 bn 2 ⋯ bn n

Ví dụ 1.9. Thực hiện các biến đổi sơ cấp ta nhận được

|

|

| |

1 2 3 4 1 h3−2 h1 → h3 0 1 2 10 0 ¿ 2 5 15 18 h4 +h1 → h4 0 0 −1 −1 −1 −4

|

h 3−h2 →h 3 ¿ h4 −h2 →h 4

2 1 1 1

34 210 910 2 0

|

1 2 34 0 1 2 10 =−70. 0 0 70 0 0 0 −10

Ví dụ 1.10. Tính định thức của ma trận

(

)

−2 2 0 2 A= 1 2 0 −1 . 1 −1 −1 1 2 1 0 1

Giải. Ta đưa định thức về dạng tam giác trên bằng các phép biến đổi sơ cấp. Phần tử −2 ở hàng đầu, cột đầu khác 0 là tín hiệu tốt, song nó khác ±1 ; Dùng nó để khử các số hạng dưới khó khăn. Cách 1 để xử lý vấn đề là đổi chỗ hàng 1 với hàng 2. Độc giả có thể thử sức theo gợi ý này. Vì 2 là thừa số chung của các số hạng ở hàng đầu, ta biến đổi như sau:

|

|| | | |

−2 2 0 2 −1 1 0 1 1 2 0 −1 =2 1 2 0 −1 det ( A ) = 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 2 1 0 1 2 1 0 1 −1 1 0 h1 + h2 →h 2 , h1 + h3 → h3 2 0 30 ¿ 0 0 −1 2 h1 +h4 → h4 0 3 0

1 0 2 3

13

¿ (−1)h2 +h4 → h4 ¿ −1 1 0 1 ¿ 2 0 3 0 0 =18. 0 0 −1 2 0 0 0 3

| |

Lưu ý: Các phép biến đổi không duy nhất, vậy ta nên mô tả chúng để người khác tiện theo dõi. 1.1.3. Ma trận nghịch đảo a) Định nghĩa Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB =BA =E n ,

trong đó En là ma trận đơn vị cấp n :

(

)

1 ... 0 En = . . . . . . . . . , 0 ... 1

thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A , ký hiệu A . Khi đó, ma trận A gọi là khả nghịch. −1

b) Điều kiện tồn tại. Giả sử A là ma trận vuông. Khi đó, A

khả nghịch  de t ( A ) ≠ 0.

Chú ý: Chỉ cần kiểm tra điều kiện AB=E . Nếu điều này xảy ra, điều kiện BA = E tự động thỏa mãn. c) Tính chất của ma trận nghịch đảo + Nếu A khả nghịch thì A−1 , A T cũng khả nghịch và −1

( A−1 ) = A ,

−1

T

( AT ) = ( A−1 ) .

+ Nếu hai MT vuông A và B cùng cấp và khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và −1 −1 −1 ( AB ) =B A .

d) Cách tìm ma trận nghịch đảo Cách 1: + Tính det ( A) . Cần có det ( A)≠ 0 . i+j +Tính các phần bù đại số A ij=(−1) |M ij| của phần tử aij của A . + Lập ma trận

14

… A1n … A2n . … … … Ann

A 11 A 12 A A ( Aij ) = 21 22 … … An 1 A n 2

(

Khi đó, −1

A =

A 11 A 21 A 12 A 22 … … A 1n A 2 n

(

1 1 T ( A ) =det (A ) det( A) ij

)

… An1 … An2 . … … … A nn

)

Công thức trên có nhiều ý nghĩa về mặt lý thuyết. Dùng nó cũng rất thuận lợi khi cấp của ma trận nhỏ. Ví dụ 1.11. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau A=

a)

Giải.

(

)

1 −2 3 4

(

)

1 3 −2 A= 2 5 −3 . b) −3 2 −4

,

|

|

1 −2 a) det ( A ) = 3 4 =10 , 1+1

A 11=(−1 )

|4 |=4, A 12=(−1 )1+2|3|=−3,

2 +1

|−2| =2, A 22=(−1)2+ 2|1|=1.

A 21=(−1)

⟹ A−1=

(

T

) (

1 1 4 −3 T 0.4 0.2 A 11 A 12 = = . 10 2 1 −0.3 0.1 det ( A ) A 21 A 22

b) Vì det ( A ) =−1 ≠ 0 nên

) (

)

khả nghịch. Ta sẽ vận dụng công

A

thức

(

)

A 11 A 12 A 13 T 1 −1 A = A 21 A 22 A 23 . det( A) A 31 A 32 A 33

Để tính A 11 , xóa đi dòng 1 và cột 1 của MT A ta nhận được

(52

−3 −4

)

. Vậy 1+1

A 11 =( −1 )

−3 |25 −4 |=−14.