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UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL ECUACIONES DIFERENCIALES Docente: Alejandra María Pulgarin Galvis TALLER No 1

1. A las siguientes ecuaciones resuelva: a. Clasifique como: Ecuación diferencial ordinaria (EDO) o una ecuación diferencial parcial (EDP). b. Proporcione el orden. c. Indique las variables independientes y dependientes. d. Si la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, indique si la ecuación es lineal o no lineal.

dx d2 x +4 +9 x=2 cos 3 t 2 dt dt



3



dy d2 y −2 x +2 y=0 (Ecuación de Hermite, mecánica cuántica, oscilador armónico). 2 dx dx



dy y ( 2−3 x ) = dx x ( 1−3 y)



2 ∂2 u ∂ u + =0 ∂ x2 ∂ y2



dp =kp ( P−p ) , donde k y P son constantes dt



dx = (4−x )( 1−x ) dt



(Vibraciones mecánicas, circuitos electrónicos, sismología)

(Competencias entre dos especies, ecología).

(Ecuación de Laplace, teoría potencial, electricidad, calor, aerodinámica).

(Curva logística, epidemiología y economía).

(Velocidad de reacción química)

[ ( )]

dy 2 =C , donde C es una constante dx variaciones). y 1+

(Problema

de

braquistocrona,

cálculo

de



2 √ 1− y d y2 +2 x dy =0 (Ecuación de Kidder, flujo de un gas a través de un medio poroso).



x

d 2 y dy + + xy=0 (Aerodinámica, análisis de tensión mecánica). d x 2 dx



8

d4 y =x ( 1−x ) d x4

dx

dx

(Deflexión de vigas). Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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

2 ∂N ∂ N 1 ∂N = 2+ + kN , donde k es una constante ∂t ∂r r ∂r



dy d2 y −0.1 ( 1− y 2) +9 y =0 2 dx dx

(Fisión nuclear)

(Ecuación de Van der Pol, válvula tríodo)

2. Determine si la función dada es una solución de la ecuación diferencial correspondiente.

d2 y 2 + y =x +2 2 dx

a.

y=sen x+ x2 ,

b.

x=3 cos t−5 sen t , x ´ ´ + x=0

c.

x=cos 2 t ,

d.

θ=2e 3 t −e 2t ,

e.

y=e2 x −3 e−x ,

f.

y =3 sen 2 x + e , y´ ´ +4 y =5 e

dx +tx=sen 2 t dt dθ d2 θ −θ +3 θ=−2 e2 t 2 dt dt d 2 y dy − −2 y=0 d x 2 dx −x

−x

3. Determine si la relación dada es una solución implícita de la ecuación diferencial correspondiente. Suponga que la relación realmente define a y de manera implícita como función de x , y utilice la derivación implícita.

x

dy 2 2 a. x + y =6 dx = y 2

b.

dy 2 xy = dx y−1 y−ln ¿

y =¿ x +1

−xy

c. e xy + y = x −1

dy e − y = dx e−xy + x

dy 2 d. x −sen ( x + y ) =1 dx =2 xsec ( x + y )−1 3 e. sen y+xy −x =2 y ´ ´ =

6 xy ´ + ( y ´ )3 sen y−2 ( y ´ )2 3 x 2− y Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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4. Verifique que x 2+ c y 2=1 , donde parámetro de soluciones implícitas de

c

es una constante arbitraria distinta de cero, es una familia a un

xy dy = 2 dx x −1 Graficar varias de las curvas solución usando los mismos ejes de coordenadas.

m

5. Determine los valores de dada.

dy d2 y + 6 +5 y=0 2 dx dx

a.

6. Determine los valores de

b. m

para los que la función

2

2 a. 3 x

d y dy + 11 x −3 y =0 2 dx dx

7. Verifique que la función

y ( x ) =e

para los que la función

x −2 x ∅ ( x )=c 1 e +c 2 e

mx

es una solución de la ecuación

d3 y d 2 y +2 dy =0 . + 3 dx d x2 d x3

y ( x ) =xm es una solución de la ecuación dada. 2 dy 2d y x −x −5 y=0 . b. 2 dx dx

es una solución de

2

d y dy + −2 y=0 d x 2 dx c1 Para cualquier elección de las constantes satisfagan las siguientes condiciones iníciales.

a. b.

y

c 2 . Determine

c1

y

c2

de modo que se

y ( 0)=2, y´ ( 0 )=1 y ( 1 )=1, y ´ (1 )=0

8. Resolver las siguientes ecuaciones:

a.

b.

c.

dy 1−x = 2 dx y

2

1 dy = dx x y 3 dy = y ( 2+ sen x ) dx

d.

dx =3 x t2 dt

e.

2 dy sec y = dx 1+x 2

f. x

dv 1−4 v 2 = dx 3v

g.

dx 2 +x =x dt

h.

dy 2 =3 x 2 ( 1+ y ) dx

i. y−1 dy + y ecos x sen xdx=0 2

x 2 j. ( x+ x y ) dx+e y dy=0

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9. Resuelva el problema con valor inicial.

a. y ´ =x 3 ( 1− y ) , y ( 0 ) =3 b.

dy = (1− y 2 ) tan x , y ( 0 ) = √ 3 dx

c.

dy = y senθ , y ( π )=−3 dθ

d.

dy 3 x 2+4 x +2 ( ) , y 0 =−1 = 2 y +1 dx

e.

dy =2 √ y +1 cos x , y ( π ) =0 dx

f.

x 2 dx +2 y dy =0, y ( 0 )=2

g.

π dy =2 x cos2 y , y ( 0) = 4 dx

h.

dy =8 x3 e−2 y , y ( 1 )=0 dx

i.

dy 2 =x ( 1+ y ) , y ( 0 )=3 dx

j.

√ y dx + ( 1+x) dy =0, y ( 0 )=1

10. Determine si la ecuación es exacta. Si lo es, resuélvala.

a. ( 2 xy+3 ) dx+( x 2−1 ) dy=0 b. ( 2 x + y ) dx +( x−2 y ) dy=0 c.

( cos x cos y +2 x) dx−( sen x sen y +2 y )dy =0

(

d. ( e x sen y −3 x2) dx + e x cos y +

y

−2 /3

3

)dy =0 Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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e.

( ty ) dy+( 1+ln y ) dt=0

f.

e t ( y−t ) dt+( 1+et ) dy=0

g. cosθ dr−( r senθ−eθ) dθ=0 h.

( y e − 1y ) dx +( x e + yx ) dy=0 xy

xy

2

i.

( 1y ) dx−( 3 y + yx ) dy=0

j.

[ 2 x + y 2−cos ( x+ y ) ]dx+ [ 2 xy−cos ( x+ y) −e y ] dy=0

2

11. Resuelva el problema con valor inicial. a.

( 1x +2 y x ) dx +(2 y x −cos y )dy=0 y ( 1) =π

b.

( ye − 1y ) dx +( x e

c.

( e t y +t e t y ) dt+ ( t e t +2) dy =0 y( 0 ) =−1

d.

( e t x + 1) dt+ ( et −1 ) dx =0 x ( 1 ) =1

e.

( y 2 sen x ) dx+

f.

2 ( tan y− 2) dx+ x sec y +

2

2

xy

xy

+

)

x dy =0 y ( 1)=1 2 y

( 1x − yx ) dy =0 y( π ) =1 (

)

1 dy =0 y (0 ) =1 y

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12. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine la función más general que la ecuación sea exacta:

(

2

M (x , y)

de modo

)

x dy=0 y

a.

M ( x , y ) dx + sec y−

b.

−y M ( x , y ) dx+( sen xcos y−xy− e ) dy=0

N ( x , y ) de modo que

13. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine la función más general la ecuación sea exacta:

a.

[ ycos ( xy )+ e x ] dx + N ( x , y ) dy=0

b.

[ y e xy−4 x 3 y +2 ] dx + N (x , y ) dy=0

14. Considera la ecuación

( y 2 +2 xy ) dx − x2 dy =0 a. Muestre que esta ecuación no es exacta. b. Muestre que al multiplicar ambos lados de la ecuación por exacta.

y−2

se obtiene una nueva ecuación que es

c. Use la solución de la ecuación exacta resultante para resolver la ecuación original. d. ¿Se perdieron soluciones en el proceso?. 15. Considera la ecuación

( 5 x 2 y + 6 x 3 y 2 + 4 x y 2) dx + ( 2 x3 + 4 x 4 y+ 3 x 2 y ) dy=0 a. Muestre que esta ecuación no es exacta. y determine valores de n y m que hagan exacta a la b. Multiplique la ecuación por x n y m ecuación resultante. c. Use la solución de la ecuación exacta resultante para resolver la ecuación original. 16. Obtenga la solución general de la ecuación:

dy − y=e 3 x dx dy y b. dx = + 2 x + 1 x a.

c.

dr +r tan θ=sec θ dθ

d. x

dy +2 y =x−3 dx

e. ( t+ y+1) dt − dy =0 f.

dy 2 −4 x =x e −4 y dx

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g.

y

h. x

dx 3 +2 x =5 y dy

i.

( x 2+1) dy + xy= x

dy + 3 y +2 x 2=x 3+ 4 x dx

j.

( x 2+1)

dx

dy =x 2+ 2 x−1−4 xy dx

17. Resuelva el problema con valor inicial. a.

dy y x − =xe , y ( 1)=e−1 dx x

b.

dy 4 + 4 y−e−x =0, y (0 )= 3 dx

c.

t3

d.

dy 3 y − + 2=3 x , y (1 )=1 dx x

e.

cos x

π −15 √ 2 π 2 dy 2 = + ysenx=2 xcos x , y dx 4 32

f.

senx

π dy + ycosx=xsenx , y =2 dx 2

dx +3 t 2 x=t , x ( 2) =0 dt

( )

( )

18. Utilice el método analizado para “Ecuaciones Homogéneas”, para resolver los siguientes problemas.

a. ( 3 x 2− y 2 ) dx+( xy−x 3 y −1) dy =0 b. ( xy+ y ) dx−x dy =0 2

2

c. ( y 2−xy ) dx+x 2 dy =0 d. ( x 2− y 2 ) dx + 2 xydy =0 dx x + t √t + x = tx dt 2

e.

2

2

f.

θsec

( θy)+ y

dy = dθ θ dy x 2 + y 2 g. = dx 3 xy

h.

dy y ( ln y−ln x + 1 ) = x dx Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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19. Utilice el método “Ecuaciones de la forma

dy =G ( ax + by ) ” para resolver los siguientes problemas: dx

dy

a. dx =√ x + y−1 dy

b. dx =( x+ y +2 )

dy

c. dx = (x− y +5 )

2

2

dy =sen ( x− y ) 20. Utilice el método “Ecuaciones de Bernoulli” para resolver los siguientes problemas: dx dy y 2 2 a. dx + x =x y

dx 3 x e. dt +t x + t =0

dy 2x 3 b. dx − y =e y

f.

2

dy 2 y c. dx = x −x y 2

dr

g. dθ = 1

d.

dy x −2 + y =e y dx

dy y =5 ( x−2 ) y 2 + dx x−2

2

r + 2rθ 2 θ

dy 3 h. dx + y x + y =0

21. Utilice el método “Ecuaciones con coeficientes lineales” para resolver los siguientes problemas:

a. (−3 x+ y−1) dx+ ( x + y +3) dy =0 b. ( x + y −1) dx+ ( y − x −5 ) dy=0 c. ( 2 x − y) dx+( 4 x+ y−3) dy=0 d. ( 2 x + y + 4) dx +( x −2 y −2) dy=0 Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil FACULTAD FACULTADDE DEINGENIERIA ING

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