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Taller de Distribución BinomialPresentado por:Cristian Fernando Barragan PerdomoDocenteDiego Mauricio Echeverry SuazaCorporación Universitaria del Huila CorhuilaNeiva (Huila)20201. La empresa MAX AUTOS sabe por experiencia que el 1% de los automóvilesque fabrica presenta algún defecto. Calcular la p...

Description

Taller de Distribución Binomial

Presentado por: Cristian Fernando Barragan Perdomo

Docente Diego Mauricio Echeverry Suaza

Corporación Universitaria del Huila Corhuila Neiva (Huila)

2020

1. La empresa MAX AUTOS sabe por experiencia que el 1.5% de los automóviles que fabrica presenta algún defecto. Calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 30 automóviles. a. b. c. d.

Como máximo dos resulten defectuosos Como mínimo dos resulten defectuosos Tres resulten defectuosos 28 resulten

buenos Rta: � �! ( )= � �!(� − �)! x = ¨número de automóviles defectuosos¨ n = 30 p = 0,015

a. P (x ≤ 2) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 0) 30 30 30 P(x ≤ 2) = ( ) 0,0152 (1 − 0,015)30 − 2 + ( ) 0,0151 (1 − 0,015)30 − 1 + ( ) 0,0150 (1 − 0,015)30 = 0,9898 2 1 0

98,9% es la probabilidad de que a la suma 2 resulten defectuosos. b. P (x ≥ 2) = 1 – P (x < 2) 1 - [(30) 0,0151 (1 − 0,015)29 + (30) 0,0150 (1 − 0,015)30] 1 0 1 – 0,92576 = 0,07423

7,42% es la probabilidad de que como mínimo dos resulten defectuosas c. y = ¨número de automóviles no defectuosos¨

n = 30

P = 1 – 0,015 = 0,985 P (y = 28) = (30) 0,98528 x (0,015)30 − 28 = 1 – P (x = 2) 28 P (y = 28) = 0,06410

6,41% es la probabilidad de que 28 resulten buenos 2. Para el problema (1) anterior calcule y analiza el promedio y la desviación. Rta: Media = m = np

n = 30

P = 0,015

M = 30 x 0,015 = 0,15 La varianza es el cuadrado de la desviación �2 = np (1 – P) = 30 x 0,015 x 0,985 = 0,44325 � = 0,6657 La media es una medida de tendencia central por lo que podemos esperar que en promedio el número de automóviles defectuosos sea 0,45, después de analizar varios grupos de 30 automóviles, respecto a la desviación podemos decir que los datos se van a alejar de la media en esa magnitud que es 0,6657. 3. Para las proximas elecciones el rector de la UH, hay 17 candidatos para ocupar el cargo, de los cuales 11 tienen maestría, si seleccionan al azar 4 candidatos, cual es la probabilidad de que: a. Uno tenga maestría b. Mas de uno tenga maestría c. Ninguno tenga maestría

Rta: x = ¨número de candidatos con maestría¨ P= 11 17

a. P (x = 1) =

n=4

(4 ) (11)1 (1 − 11)4 1

17

− 1

= (4) (11 ) (1 − 11) 3

17

1

17

P (x = 1) =0,11379

La probabilidad es del 11,379% b. P (x > 1) = 1 – P (x = 1) – P (x = 0) P (x > 1) = 1 - (4) (11 ) (1 − 11 )3 - (4) (11 )0 (1 − 11 )4 1 17 17 0 17 P (x > 1) = 0,87069

La probabilidad es del 87% c. P (x = 0) = ( 4) (11) 0 (1 − 11) 4 0 17 17 P (x = 0) =0,01552

La probabilidad es de 1,55%

17

17

4. Para el problema (3) anterior calcule y analiza el promedio y desviación. N= 17 r= 11 n= 4

� (�) =

(4)(11)

= 2.588

17

� (� ) =

(4)(11)(17 − 11)(17 − 4) 44(6)(13) 3432 = = 0,742 (17)2(17 − 1) = 289(16) 4624

� 2 = (0,742)2 = 0,551 5. La probabilidad de que un estudiante de ingeniería industrial de la UH obtenga el titulo es de 0.80. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 12 estudiantes matriculados en el primer semestre seleccionados al azar de este programa: a) al menos tres se gradúe b) todos se gradúen c) como mínimo 11 se gradué d) ninguno se gradué. a) p = 0.80 q = 0.20 P (X ≥3) = 1 - P(x=0) – P(x=1) - P(x=2) P (x=0) = (12) . (0.80)0 . (0.20)12 0

P (x=0) = 1 . 1 . 0.000000004 = 0.000000004

P(x=1) = (121) . (0.80)1 . (0.20)11 P(x=1) = 12 . 0.80. 0.00000020 = 0.000001920 P(x=2) = (122) . (0.80)2 . (0.20)10 P(x=2) = 66 . 0.64 . 0.000000102 = 0.000004325 P (X ≥3) = 1 - 0.000000004 - 0.000001920 0.000004325 P (X ≥3) = 0.999993 b) p = 0.80 q = 0.20 P(x=12) = (1212) . (0.80)12 . (0.20)0 P(x=12) = 1 . 0.068719 . 1 = 0.068719

c) p = 0.80 q = 0.20 P(X ≥11) = P(x=11) + P(x=12) P(x=11) = (12) . (0.80)11 . (0.20)1 11

P(x=11) = 12 . 0.085899 . 0.20 = 0.206157 P(x=12) = (1212) . (0.80)12 . (0.20)0 P(x=12) = 1 . 0.068719 . 1 = 0.068719

P(X ≥11) = P(x=11) + P(x=12) P(X ≥11) = 0.206157 + 0.068719 = 0.274876

d) p = 0.80 q = 0.20 P(x=0) = (120) . (0.80)0 . (0.20)12 P(x=0) = 1 . 1 . 0.000000004 = 0.000000004 6. Para el problema (5) anterior calcule y analiza el promedio y la desviación. Promedio. � = �� � = 12 (0,80) � = 9,6 Desviación. � = √(��)(1 − �) � = √(9,6)(1 − 0,80) � = √(9,6)(0,2) � = √(1,92) � = 1,3856 7. El comité de ciencias básicas de UH está compuesto por 5 personas, estos se seleccionan de un grupo de 3 matemáticos y 5 físicos, Encuentre la distribución de probabilidad para el numero de matemáticos en el comité. r N−r ( ) ( x ) n−x P(X =x)= N n

1. Que no haya ningún matemático. Lo cual es equivalente a tomar p (x = 0) 5 8−5 ( ) ( 0 ) 3−1 ( 1) (1) =0.0179 p(x=0)= = 8 3

56

2. Que haya solo matemáticos. Lo cual es equivalente a tomar p (x = 1) 5 8−5 ( ) ( 1 ) 3−1 ( 5) (3) = p(x=1)= =0.2678 8 3

56

3. Que haya dos matemáticos. Lo cual es equivalente p (x = 2) 5 8−5 ( ) ( 2 ) 3−1 ( 10) (3) p(x=2)= = =0.5357 8 3

56

4. Que haya tres matemáticos. Lo cual es equivalente p (x = 3) 5 8−5 ( ) ( 3 ) 3−1 ( 10) (1) = p(x=3)= =0.1786 8 3

56

8. Para e1 problema (7) anterior calcule y analiza e1 promedio y la desviación.

� = � (x) =

(3)(5) 8

= 1.88

El promedio que 2 de los miembros del comité sean matemáticos para determinar la desviación estándar debemos primero la varianza

2

σ =V ( x )=

nr (N −r )(N−n) npq (N−n) r = ; P= 2 2 (N−1) N N (N −1)

2

8 ¿ (8− 1) ¿ ¿ (3 )(5)( 8−3) 2 σ = ¿ La desviación estándar es: � = √�(�) = √0.502 = 0.7087 En la muestra serán matemáticos es de 0.7087 matemáticos. 9. En un botiquín de primeros auxilios hay 20 píldoras, de las cuales hay 6 píldoras vencida, Si una persona con X dolencia toma 4 píldoras al azar, cual es la probabilidad de que a) más de dos estén vencidas al ingerirlas. b) exactamente dos estén vencidas al ingerirlas c) Ninguna esta vencida.

N= 20; n= 4; r= 6 a) P(X≥3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] b) (6)(20 – 4)  P(X=0) = 0 4 – 0 20 (4 ) 6! (6 ) = =1 0 0!(6 −0)!

20−4 ( )= (20−4)!

== 16!

= 1820

4−0

(4−0)! [(20−4)−(4−0)]!

20 ( )= = 4845 20! 4 4!(20 −4)!

4!(16 )!

P(X=2) =

(1)(1820) 4845



364

==

= 37,56%

969

(6)(20 – 4) P(X=1) = 1 4 – 1 20 (4 )

6! (6 ) = =6 1 1!(6 −1)!

20−4 ( )= (20−4)! 4−1

= 560

== 16!

(4−1)! [(20−4)−(4−1)]!

4!(16 )!

20 = 4845 ( )= 20! 4 4!(20 −4)!

P(X=2) =

(6)(560) 4845

==

224

= 69,34%

323

 P(X≥3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] P(X≥3) = 1 – [0,3756 + 0,6934] P(X≥3) = 1 – [1,069] P(X≥3) = -0,069…. No puede ser posible ya que no debe dar negativo…. Se intentará por el método Binomial. 6 pastillas pasadas de 20 = 30% 14 pastillas buenas de 20 = 70%

n= 4; p= 0,7; q= 0,3

P(X≥3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)] 

P(X=0) = (4) ∗ 0,70 ∗ 0,34−0 = 1 * 1 * 0,0081 = 0,81% 0



P(X=1) = (4) ∗ 0,71 ∗ 0,34−1 = 4 * 0,7 * 0,027 = 7,56% 1 P(X≥3) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)]



P(X≥3) = 1 – [0,0081 + 0,0756] P(X≥3) = 1 – [0,0837] = 0,9163 = 91,63% (6–)(420 ) c) P(X=2) = 2 4 – 2 20

(4 )

6 = 15 ( )= 6! 2 2!(6 −2)!

20−4 ( )= (20−4)! 4−2

(4−2)! [(20−4)−(4−2)]!

= 120 = 16! 2!(16 −2)!

20 = 4845 ( )= 20! 4 4!(20 −4)!

P(X=2) =

(15)(120)

=

4845

d) P(X=0) =

120 323

(6–)(420 ) 04–0 (

20

4)

6! (6 ) = =1 0 0!(6 −0)!

= 37,15%

20−4 ( )= (20−4)! 4−0

(4−0)! [(20−4)−(4−0)]!

20 ( )= = 4845 20! 4 4!(20 −4)!

= 16!

= 1820 4!(16 )!

P(X=2) =

(1)(1820) 4845

==

364

= 37,56%

969

10. Para e1 problema (9) anterior calcule y analiza e1 promedio y la desviación. µ= µ=

�� � 24 20

V(x) =

=

4.6

=

20 = 1.2 � . � (� −�)(�−�) 4 . 6(20−6)(20−4) 24 . 14 . 16 = 202(20− =7600 �2 (�−1) 1)

V(x) = 0.707368 V(x) = √0.707368 V(x) = 0.841051...