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Taller de potenciación y radicación

ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS REALES

1. POTENCIA DE UN NÚMERO. Si n  N y a  R , entonces a n , es igual al producto de n veces el número real a tomado c0mo factor, es decir

an a    a  a  a... a n veces

Ejemplos:

 5 3  5 5 5  125   1 5   1  1  1  1  1 2   3

4



 1

2 2 2 2 16     3 3 3 3 81

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores. Simbólicamente: am  a n  a m  n 

Ejemplo: 3 8 310 3 2  3 8 10  2  3 20  Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del divisor. Simbólicamente: Ejemplo: 

5 12 53

am

 am n

an

con a ≠ 0 y m>n

 5 12  3  5 9

Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión

 

Simbólicamente: a n Ejemplo:



    2 



3 5

m

2

 

 am  n    2

3 5 2

   2

30

 Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias. Simbólicamente:  a  b n  a n b n Ejemplo: 5 2  3  53  23 

Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias. n

a  Simbólicamente:   b



an bn

b ≠0

2

52 5  Ejemplo:    4  42  Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1 Página 1

Simbólicamente: a 0  1 a ≠0 0 La expresión 0 no está definida Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente de cero se cumple que:



a

n



1 an

n

o que a



1 a n

a  En caso que la base sea un número racional se tiene que   b Ejemplos:

n



1 1 2 3   3 8 2

5   3

3

3    5 

b   a 

n

3

TALLER N° 1 1. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:

(  6)7 

a.

b.

(  4)4 

c.

( 12)13 

2. Expresa como potencia:

(  5) (  5) (  5) (  5) (  5)   5 5 5 5 5  (  3) (  3) (  3) 

a) b) c)

3. Calcula:

  5 3

a.



b.

  12  4 

e.

 5  2    

4

c.

4

 3   7

d. 

  27 

 7 f.    6

3

=

3

 2 g.     5

4. Aplica propiedades a. a2 · a3 =

b. x6 : x4 =

c .a7 ÷ a =

d. (b3)4 =

e.23 · 27 · 215 =

f. a8 · a6 · a10 =

g. ((x2)3)4=

h .a13 ÷ a6 =

i.

x 4y 7  x 2 y11

j.

x 3 y 7 z 12    x y2 z5

k.



 5    2 

2. RADICALES

Página 2



4

  

2

l.  5x 2

Un radical es una expresión de la forma

n

a , en la que n

y a

; con tal que cuando a sea

negativo, n ha de ser impar

RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO Si a  R , b  R  , se cumple que Ejemplo:

25  5

porque 5

2

b  a , si solo si : a2  b , donde a es la raíz cuadrada de b

 25

RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO Si a , b  R ,

entonces se cumple que 3 b  a , si solo si : a 3  b , donde a es la raíz cúbica de b

Ejemplo: 3 125  5

porque 5 3  125

RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO n Si a, b  R , y n  N entonces se cumple que n b  a , si solo si : a  b , donde a es la raíz enésima de b Ejemplo: 5 32  2

5 porque 2  32

EXPONENTES RACIONALES m

Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n m a an Ejemplo:

3

2

52 5 3

PROPIEDADES DE LOS RADICALES. 

Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier n  Z  , se cumple

 

n

que: n a n  a n 1 / n  a n  a 

Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas de los factores. Para cualquier n  Z  , se cumple que n a  b  n a  n b



Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces

a  enésimas del dividendo y del divisor. Para todo n , a , b ,  Z  , se cumple que: n b



a

n

b

Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los índices. Para todo m , n , b ,  Z  , se cumple que:



n

nm

m n b   b

Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto kn

n bkm  bkm / kn  b m / n  b n , donde k  N

Se debe tener en cuenta que, si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz real.

Página 3

TALLER N° 2 I. Calcula

a. 36  e. 3 216  i. 4 2401 =

c. 100  g. 3 125 

b. 5 243 f. 4 16  j. 10 1 =

d. 121  h. 4 81 

II. Escribe en forma de radical las siguientes expresiones a.

1

b.

52

3

c.

24

1

d.

72

1

x3

III. Escribe en forma de potencia a.

b.

11

3

c.

5

4

d.

7

2

IV. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba

a.

100 4

V. a)

144 9

b.

c.

3

2

d.

4 5

3

e.

Simplificar: a 7 .b 4 a 4 .b 3

b) 64 . 63 . 65

=

68. 67. 6

c)

38 .a 5 .b 4 .c 7 3

36 .b . a 4 .c5

=

d)

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 3 27.2 3  (5 2 1) : [ 62 – ( 9 - 3 8 )2 ] b) ( -7 + 4 )4 ÷ 33 -

25

. ( -2 )

Página 4

107 .m 3 .y 4 .z 6 10 5. z 4 .m. y 2

5

35

Página 5...