Tarea 04 Solucionado - Ejercicios sobre paralelogramo, paralelepípedo, ecuaciones de la recta en R3 PDF

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I. SOLUCION DE EJERCICIOS1 que los puntos A=(1,−3,2), B=(1,2,− 1 ), C=(0,3,1) yD=( 0 ,−2,4) Son los vértices de un paralelogramo y hallar suárea.Tenemos la fórmula: Ap=|⃗ax⃗b|⃗AB=(0,5,− 3 )⃗AD=(−1,1,2)Ap=|⃗ABx⃗AD|= |i j k 0 5 − 3 −1 1 2|= 13 i+ 3 j+ 5 k=(13,3,5)Ap=|⃗ABx⃗AD|=√ 132 + 32 + 52 =√ 169 + ...

Description

I. SOLUCION DE EJERCICIOS

B=( 1, 2 ,−1 ) , C=( 0,3,1) 1.Demostrar que los puntos A=(1,−3,2), y D=(0 ,−2,4 ) Son los vértices de un paralelogramo y hallar su área.

Ap=|a x b|

Tenemos la fórmula:

D= (0, -2,4)

 AB=(0,5 ,−3)

 AD A= (1,-3,2)

 AD=(−1,1,2 )

|

C= (0, 3,1)

 AB

B= (1, 2,-1)

|

i j k AB x  AD|= 0 5 −3 =13 i+3 j+5 k=(13,3,5 ) Ap=| −1 1 2 2 2 2 2 AB x  AD|=√ 13 + 3 + 5 = √ 169 +9+ 25 =√ 203u Ap=|

RPTA : Ap=√ 203 u

2.

2

b=2i+2 j−k a =3 i+4 j , Sean y c =3 i+4 k . Calcular el volumen Del paralelepípedo formado por los vectores a , b y c .

Emplearemos la fórmula de triple producto escalar o producto mixto:

|

u1

|u .v .  w|= v 1

w1

|

u2 u 3 v2 v3 w 2 w3

Tenemos los vectores:  C

 B

 A

|

|

3 4 0 2 −1 =3 ( 8+0 )−4 ( 8+3 ) = 24− 44=20 3 0 4 3 A . B.  C|=−20 u Volumen del paralelepípedo :|

| A . B.  C|= 2

1

 A =( 3,4,0 )  B =(2,2,−1)  C=(3,0,4 )

Dadas las rectas L1 y L2 , respectivamente por las ecuaciones:

3. L1 =

x −4 2 y +2 5−z = = L : x =t+2, y=3 t−4, z=2t + 1 −6 2 10 2

Encuentre las ecuaciones:VECTORIAL PARAMETRICA SIMETRICA Y GENERAL .

 Recta L1=

L1

:

x −4 2 y +2 5−z = = 10 −6 2

Ordenamos el término de z, sacando el

negativo, obtendríamos: L1=

x −4 2 y +2 z −5 = = −10 −6 2

Ecuación Simétrica

L1=−6 x +24=4 y+ 4 ;−20 y−20 =−6 z +30 L1=−6 x−4 y +20=0 ;−20 y +6 y −50=0

L1=(4 ,−2,5 )+t (2 ,−6 ,−10)

{

x=4+2t L1 y=−2−6 t z=5 −10 t

 Recta

Ecuación General

Ecuación Vectorial

Ecuación Paramétrica

L2

:

L2 : x =t +2, y =3 t −4, z=2 t +1

{

x=2+t L2 y=−4+3 t z=1+2t

L2=(2 ,−4,1 )+ t(1,3,2) L2 =

x−2 y +4 z−1 = = 3 1 2

Ecuación Paramétrica

Ecuación Vectorial Ecuación Simétrica 2

L2=3 x−6= y +4 ; 2 y +8=3 z−3 L2=3 x− y −10=0 ; 2 y −3 z+ 11=0

4.

Dados los vectores

Ecuación General

u =2 i+8 j

v =( p ,−2 ) ,

y

hallar el

valor de p sabiendo que su producto escalar es cero. u . v =0 u . v = ( 2,8 ) . ( p ,−2 )= 0

u . v =2 p−16 =0 u . v =2 p=16 RPTA : p=8

5. Si a =( 1,2,1) , b= (2,3,2 ) , y c =(4,1 ,−2)

hallar:

(a + b)

Hallamos

( a + b ) = ( 1,2,1 )+ ( 2,3,2 )=( 3,5,3 ) Reemplazamos en la fórmula:



Compc(a +b) =

Compb=

( a + b). c (3,5,3 ) .(4,1 ,−2) 11 11 √21 12+5−6 = = = = 2 2 2 ‖ c‖ ‖(4,1 ,−2)‖ √ 4 +1 +(−2) √ 21 21

b )

RPTA :Comp c(a+ =

11√ 21 21

6. Si u= ( 1,1,21 ) , v =(−1,2,3 )

hallar:

Proyv

( u + v )

Hallamos (u +v )

( u + v )= (1,1,21 )+ ( −1,2,3) = ( 0,3,24) Reemplazamos en la Formula:



Compc(a +b)

Proyab=(

a . b  )b 2 ‖b‖ 3

a

a . b ‖ b‖

Proyuv+ v =

(

Proyuv+  =

78 −78 156 234 ( −1,2,3 )= , , 2 14 14 14 √ 14

v

( u +v ) .v 2

‖v‖

) ( v =

( 0,3,24) . ( −1,2,3) 2

‖(−1,2,3 )‖

)

( −1,2,3)=

0+6+72

(√ (−1 )2 +22 +32)

2

(−1,2,3 )

−78 156 234 RPTA : Proy uv +v = 78 2 ( −1,2,3 )= , , 14 14 14 √ 14

7. Calcula el volumen de un paralelepípedo que tenga cuatro de sus vértices en los puntos siguientes: A (2, 3, 1), B(4, 1, –2), C(6, 3, 7) y D(–5, –4, 8)

|

 AD

u1

w|= v 1 |u . v .   AC

 AB

w1

|

u2 u 3 v2 v3 w 2 w3

 AB=B− A=(2 ,−2 ,−3)  AC=C−A=(4,0,6 )  AD=D−A=(−7 ,−7,7) Reemplazamos los datos en la fórmula:

|

| AB.  AC .  AD|=

|

2 −2 −3 4 0 6 −7 −7 7

= - (-2)(28-(-42))+0-(-7)(12-(-12))=140+168

3 RPTA :|  AB .  AC . AD|=308u (volumen del paralelepipedo)

8. Hallar el área de un paralelogramo cuyos lados son los vectores: ´ ) y B´ = (5 ´i – 2 J´ ) 3 J´ −7 K

Tenemos: ´ A=(2,3 ,−7) ´ B=(5 ,−2,0)

‖

i j k Ax  B ‖= 2 3 −7 A P=‖ 5 −2 0

x B  ‖=‖−14 i ,−35 j ,−19 k‖= √(−14 )2 +(−35)2 +(−19 )2 A P=‖A Ax  B ‖= √1782= √ 81 x 22 A P=‖ 4

‖

A´ = (2 ´i

+

A x B‖=9 √ 22 u RPTA : A P=‖

2

9. Hallar el volumen del paralelepípedo si los vectores que forman la base son: v´

w= ´ ( 2,4,3 )

= (2, -1, 4),

y los componentes de la altura son: u´ =¿ (1, 3, 5).

|

|

u1 u2 u 3 w|= v 1 v 2 v 3 |u . v .  w 1 w 2 w3

u w  v

|

|

2 −1 4 4 3 1 3 5

|u .  w .v |= 2

= 2(20-9)-(-1)(10-3)+4(6-4)

RPTA :| u . w . v |=37 u3 (volumen del paralelepipedo)

10. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores: a´ = (1, 5, 6), b´ = (-2, 4,-3)

‖

Ax  B ‖= A P=‖

‖

i j k 1 5 6 −2 4 −3

2 2 2 Ax  B ‖=‖−39 i,−9 j , 14 k ‖=√ (−39 ) +(−9 ) +( 14 ) A P=‖ A P=‖ Ax B ‖= √1521 + 81 + 196 = √ 1798 2 A x B‖=42.40 u (aréa del paralelogramo) RPTA : A P=‖

5...