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CÁLCULO DIFERENCIAL – M.Sc. FREDY SUNTAXI ESTUDIO ANALÍTICO DE LA RECTA

Ecuación de la recta punto pendiente Sea la recta L de pendiente m y un punto fijo de la misma P1 ( x 1 , y 1 ) . Si se toma un punto P(x , y ) que está sobre la recta L , significa entonces que la pendiente que pasa por los puntos P y P1 es la misma; es decir:

m=

y− y1 x− x1

Esta expresión, cambiada de forma, corresponde a la ecuación de la recta punto y pendiente:

y − y 1=m ( x − x 1 )

Ejemplos:  Obtener la ecuación de la recta: a) que pasa por (-4, 3) con pendiente ½ Solución Analítica Solución Gráfica P(-4,3) M= ½ y-y1=m(x-x1) y-3=1/2(x-+4) Para la forma ordinaria y-3 = ½ x +2 y= ½ x +2 +3 y= ½ x +5 Para la forma general 2(y-3) = 1(x+4) 2y – 6 = x +4 X+4-2y+6=0 x-2y +10=0

b) que pasa por (0, 5) con pendiente -2 c) que pasa por (2, 0) con pendiente ¾

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Ecuación de la recta con dos puntos Sean

los

puntos

P1 ( x 1 , y 1 )

y

P2 ( x 2 , y 2) de la recta L . Sea un punto P(x , y ) que está sobre la recta L , entonces tenemos por un lado la ecuación de la recta punto pendiente: y − y 1=m ( x − x 1 )1 Y, por otro lado la pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 ( x 1 , y 1 ) y

P2 ( x 2 , y 2) : m=

y 2− y 1 2 x 2− x 1

Finalmente, reemplazando 2 en 1 , tenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

y − y 1=

y 2− y 1 ( x −x1 ) x 2− x 1

Ejemplos:  Obtener la ecuación de la recta: a) que pasa por los puntos (-4, 3) y (1, 2) Solución Analítica Solución Gráfica P1(-4,3) P2(1,2)

Pendiente: 2−3 m= 1+ 4 −1 m= 5 Ecuación punto pendiente: −1 ( x+ 4 ) y−3= 5 Forma ordinaria −1 4 y−3= x− 5 5 −1 x− 4 +3 y= 5 5 −1 11 y= x+ 5 5

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Forma general 5( y −3)=−1 ( x + 4) 5 y−15=−1 x−4 5 y−1 5 + x + 4=0 x+ 5 y −11=0 b) que pasa por los puntos (-2, -3) y (4, 2) c) que pasa por los puntos (4, 1) y (-2, 2)

Ecuación de la recta en forma general Si A , B y C son números reales con A ó B diferentes de cero, entonces la siguiente expresión representa la línea recta en su forma general.

Ax + By+C=0

 Si C=0 , la recta pasa por el origen  Si B=0 , la recta es vertical (paralela al eje y )  Si A=0 , la recta es horizontal (paralela al eje x )

La pendiente de la recta escrita en esta forma es

b=

m=

−A B

y su ordenada en el origen

−C B

Ejemplos:  Obtener la pendiente y la ordenada de las rectas: 2 x −3 y+3=0 a) Pendiente Ordenada al origen m= -a/b b=-c/b a=2 c=3 b=-3 b=-3 reemplazo m=-2/-3 = 2/3 reemplazo: B=-3/-3 = 1 Se obtiene un punto de corte que es P(0,1) b) b) 2 x +3 y +3=0 c) x −5 y −10 =0 

Calcular el valor del parámetro K de forma que: a) 3kx + 5y + k – 2 = 0 pase por el punto (-1,4). b) 4x – ky – 7 = 0 tenga pendiente 3. c) kx – y = 3k – 6 tenga de abscisa en el origen 5.

INFORMACIÓN PARA EL ESTUDIANTE.

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Ecuación de la recta pendiente – ordenada al origen u ordinaria Sea la recta L de pendiente m y b el valor en que la recta interseca al eje vertical (eje de las ordenadas) y que forma el de componentes punto P(x , y ) (0 , b) . Si P(x , y ) es un punto arbitrario sobre la recta L , entonces se obtiene la pendiente:

m=

y−b x−0

Y, si se despeja la ordenada y , se concluye que la ecuación de la recta pendiente y ordenada al origen tiene la siguiente forma:

y=mx + b Ecuación simétrica de la recta Sea la recta L que intercepta al eje horizontal en a y al eje vertical en b , formando los puntos (a , 0 ) y (0 , b ) respectivamente. Si se utiliza la ecuación pendiente y ordenada al origen y=mx + b , cuya pendiente es

m=

b−0 −b = 0−a a

y que al reemplazarla

en la ecuación, se obtiene

y=

−b x+b . a

Ahora, dividiendo para b los dos lados de la última expresión se concluye:

y −x +1 = a b Finalmente, toma la forma:

x y + =1 a b

CÁLCULO DIFERENCIAL – M.Sc. FREDY SUNTAXI Distancia de un punto a una recta Se considera que la distancia de un punto a una recta, corresponde a la distancia más corta; es decir, el segmento perpendicular desde el punto a la recta. y un Sea una recta L: Ax+By +C=0 punto P1 ( x 1 , y 1 ) . La distancia d se puede determinar como:

d=

A x 1+B y 1+ C ∓ √ A 2 +B 2

Al dividir el numerador y denominador para −B , se obtiene:

C B −A x− y− B 1 B 1 B d= 2 2 ∓ √A + B −B

O, en forma equivalente:

d=

m x 1− y 1 +b ∓ √ m 2 +1

INDICACIONES PARA DESARROLLAR LA TAREA EN CASA -

Elaborar el encabezado, así: Universidad Politécnica Salesiana Carrera: …………………………………………… Nombres y apellidos: ………………………… Nivel: ………………………………………………… Grupo: ………………………………………………. Fecha: ………………………………………………..

-

Resolver las preguntas planteadas en hojas A4 Tiempo a emplear 60 minutos Archivarlas en una carpeta

Tarea 3. Preguntas planteadas.

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I

II

III

 Obtener la ecuación de la recta de forma ordinaria, general y su gráfico: a) que pasa por (-3, 2) con pendiente ½ b) que pasa por (5, 0) con pendiente -2  Obtener la ecuación de la recta de forma ordinaria, general y su gráfico: a) que pasa por los puntos (-4, -3) y (1, -2) b) que pasa por los puntos (2, -3) y (-4, 2)

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 Obtener la pendiente y la ordenada de las rectas con su gráfico: a) 4 x −8 y+ 12=0 b) 2 x +6 y −8= 0 

Exprese de forma ordinaria las ecuaciones

a) 4 x −8 y+ 12=0 b) 2 x +6 y −8= 0...