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TAREA 1. UNIDAD 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRALNOMBRE DE LOS INTEGRANTES:TUTORCÁLCULO INTEGRAL (100411) GRUPO COLABORATIVO:UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD). ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERA INGENIERIA INDUSTRIAL BARRANQUILLA 2021CONTENIDOINTRODUCCIÓN .....................

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TAREA 1. UNIDAD 1 - EL CONCEPTO DE INTEGRAL

NOMBRE DE LOS INTEGRANTES:

TUTOR

CÁLCULO INTEGRAL (100411) GRUPO COLABORATIVO:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD). ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERA INGENIERIA INDUSTRIAL BARRANQUILLA 2021

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN..............................................................................................................................3 1.

2

3

TIPO DE EJERCICIOS 1 - INTEGRALES INMEDIATAS...................................................4 1.1

EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros).........................................................................4

1.2

EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez)...................................................................4

1.3

EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)..................................................................6

1.4

EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell).......................................................................6

TIPO DE EJERCICIOS 2 – SUMAS DE RIEMANN.............................................................7 2.1

EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros).........................................................................7

2.2

EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez).................................................................10

2.3

EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)................................................................10

2.4

EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell).....................................................................13

TIPO DE EJERCICIOS 3 – TEOREMAS DE INTEGRACIÓN.........................................16 3.1

EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros).......................................................................17

3.2

EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez).................................................................17

3.3

EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)................................................................18

3.4

EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell).....................................................................19

TIPO DE EJERCICIOS 4 – INTEGRAL DEFINIDA...................................................................19 4.1

EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros).......................................................................20

4.2

EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)................................................................21

4.3

EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell).....................................................................22

TABLA DE LINKS DE VIDEOS....................................................................................................25 Bibliografías...................................................................................................................................26

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo desarrollaremos el concepto de integrales para funciones, en el cual obtendremos habilidades con el fin de realizar ejercicios de Integrales indefinidas, Sumas de Riemann, Teoremas de Integración e Integral Definida. A su vez adquirimos destrezas en desarrollar gráficamente cada uno de los ejercicios solucionados.

1. TIPO DE EJERCICIOS 1 - INTEGRALES INMEDIATAS. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado.

1.1 1

EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros)

(

)

∫ x 4 x2− 12 dx x Solución: 1

∫ x4

(

x 2−

4

4 4 1 x 2 4 8 dx=∫ √ x ∗ x dx−∫ √ 2 dx=∫ √ x∗x dx −∫ √ x∗x−8 dx 2 x x

)

9 4

¿∫ √ x 9 dx−∫ √ x−7 dx=∫ x dx−∫ x 4

4

(

−7 4

−3

13 4

4x 4 4x +c 1− +c2 dx= 13 −3

) ( () ) ( )

13

13

3

16

13 x4 3 x 4 x4 3 x 4 +13 1 + ∗ + ¿4 +C=4 +C=4 +C 3 3 3 3 39 13 4 4 4 4 x 39 x 39 x 3∗x

¿

12 x 4 +52 39 √ x 4

1.2

3

+C

EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez)

 En primer lugar, separamos cada término de la función en una nueva integral, aplicando una de las propiedades de las integrales: ¿∫

2 1 1 dx −∫ 2 dx−∫ 1 dx=¿ 3 x √x x x4

 Ahora en cada integral, sacamos fuera las constantes: ¿ 2∫

1 1 1 dx−∫ 5/ 2 dx−∫ 1 dx=¿ 3 x x x4

 Cada una de las integrales que nos ha quedado, aunque no lo parezca, se resuelven con la integral inmediata de la función potencial simple, ya que las funciones son de la forma de x elevada a un número:

 Subimos la potencia al numerador y le cambiamos el signo: ¿ 2∫ x −3 dx−∫ x−5 /2 dx−∫ x−1 /4 dx =¿  Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la integral inmediata en cada una de las integrales: −5+1

−1 +1

x2 x −3+1 x4 − ¿2 − =¿ −3+1 −5 −1 +1 +1 2 4  Ya hemos integrado. Ahora vamos operar. Realizamos las sumas que nos han quedado en los exponentes y denominadores: −3

3

x−2 x 2 x 4 ¿2 − =¿ − −2 −3 3 4 2  Y finalmente multiplicamos los números que nos han quedado, dejamos todos los exponentes como positivos o los volvemos a pasar a raíz y le añadimos la constante: 44 3 1 1 − √ x +C ¿− 2 + x 3 √ x3 3 2 Derivamos el resultado:

¿

( )

d −1 2 = 3 dx x 2 x ¿

( )

d 1 −1 −1 = 5= 2 dx 3 3 x √x √x x2 2 ¿

1.3

(

)

d −4 4 3 −1 √x = 1 dx 3 x4

EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)

∫ ( tan2 x +cot 2 x +2 ) dx So l u c i ó n :

∫ tan2 (x)dx + ∫ cot2 ( x ) dx 2 ¿ ∫ sec ( x ) dx−∫ 1 dx =tan ( x ) −x

∫ csc2 ( x ) dx −∫ 1 dx=−cot(x )− x

¿ tan ( x )−cot ( x )−2 x=tan(x)−cot (x )−2 x+C 1.4

EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell) Definición

Ejercicio e. 3 ∫333 =>∫ 33 33 ; aplicamos la defnición de la imagen anterior =3 ∫3 ∫3 kx=3x, k=3, −cos 3 x +c ) =3( 3 =-cos3x+c

Comprobación Derivada f(x)=-cos3x f’(x)=-cos 3x Regla de la cadena f’(x)=-(-sen 3x).3x f’(x)=sen 3x.3 f’(x)=3sen 3x

Enlace de sustentación: AgmdX7PzbmElgwIRP2JdK23u4kQa?e=mJwhSo

https://1drv.ms/v/s!

2 TIPO DE EJERCICIOS 2 – SUMAS DE RIEMANN Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann:

2.1 EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros)

5

(

)

x2 −x+3 dx , mediante la suma de 2 1 Riemann del punto derecho, con � = 6. b) Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para � = 6, � = 12 y compara con el resultado de la integral definida. c) Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. d) ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos? Solución a): a) Aproxime la integral definida

5

∫ 1

(

)

2

∫

6

x −x+3 dx=∑ f ( xi )∗ ∆ x 2 i=1

Calculamos los ∆x para saber cuáles serán los saltos, cortes o bases de los rectángulos. ∆ x=

5− 1 2 = 3 6

Como se sabe, la integral está definida desde 1 hasta 5 y esta misma se evaluará en el punto derecho diremos que el primer corte se situará en 1+ 2/3 =5/3. Es decir, los cortes serán:

5 7 11 13 , , 3, , , 5. 3 3 3 3

()

52 3 5 5 f − + 3=3.2623 = 2 3 3

()

()

7 2 3 7 7 f − +3= 8.0771 = 3 2 3

()

f ( 3 )=

( 3 )2 −3+ 3=20.25 2

( )

2

11 11 3 11 f − +3= 44.521 = 3 2 3

( )

( )

13 2 3 13 13 f − +3=86.817 = 3 2 3

( )

f ( 5 )=

(5) 2 −5+3=154.25 2

6

(

)

3.2623 + 8.0771 + 20.25 + 44.521+ 86.817 + 154.25 ∗2 f (xi )∗∆ x= ∑ 3 i=1 6

f (xi )∗∆ x=23.48148 u2 ∑ i=1 Solución b): Modelado en GeoGebra clásico obtenemos lo siguiente: Con n=6

Con n=12

Si se compara con la integral definida tenemos: 5

∫ 1

(

2

) (

3

2

)(

3

2

)

x 5 5 1 1 −x+3 dx= − +3 x − − + 3∗( 1 ) =20.67 u 2 6 2 6 2 2

Solución c):

Solución d): Se puede concluir que el aumento en el número de rectángulos nos acerca a una respuesta mucho más real, es decir, se podría afirmar que, si tenemos un número de rectángulos infinitos, esta respuesta es igual a una integral definida.

2.2

EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez)

Favor corregir, como sugiere el tutor 2.3 EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal) Sol uc i óna ) : 4

7

f ( xi )∗∆ x ∫ ( √ x +√ 2 x +1 ) dx=∑ i=1 1

Ca l c u l a mo sl o s∆xp a r as a b e r c u á l e ss e r á nl o ss a l t o s , c o r t e sob a s e sd el o sr e c t á n g u l o s . ∆ x=

4−1 3 = 7 7

Co mos es a b e , l ai n t e g r a l e s t ád e fi n i d ad e s d e1h a s t a4ye s t ami s mas ee v a l u a r áe ne l p u n t od e r e c h o d i r e mo sq u ee l p r i me rc o r t es es i t u a r áe n1 +3 / 7= 1 0 / 7 . Esd e c i r , l o sc o r t e ss e r á n :

10 13 16 19 22 25 , , 4. , , , , 7 7 7 7 7 7

f

( 107 )=√ 107 +√2 107 +1=3.158

f

( 137 )=√ 137 +√2 137 +1=3.537

f

( 167 )=√ 167+√2 167 +1=3.871

f

( 197 )=√ 197 +√2 197 +1= 4.182

f

( 227 )=√ 227 +√2 227 +1=4.471

f

( 257 )=√ 257 +√2 257 +1= 4.752

f ( 4 ) =√ 4+ √ 2 ( 4 )+1=5 7

+ 4.471 + 4.752 + 5 )∗3 ∑ f ( xi )∗∆ x= ( 3.158 +2.533 +3.871 +4.182 7 i=1

7

∑ f ( xi )∗∆ x=12.414 u 2 i=1

Sol u c i ónb) : Mo d e l a d oe nGe o Ge b r ac l á s i c oo b t e n e mo sl os i g u i e n t e : Co nn = 7

Co nn = 2 0

Conc l u s i ón:Sep u e d ec o n c l u i rq u ee la u me n t oe ne ln ú me r od er e c t á n g u l o se nn = 2 0s ea c e r c a má san u e s t r ar e s p u e s t a . 2.4 EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell)

Ejercicio e. Aproxime la integral definida Mediante la suma de Riemann del punto derecho, con �=5. Intervalo: a=-2 y b=-5; n=5

−5−(−2) =−3/5 =0.6 5 xi=−2 ∆ x=

f ( x )= punto derecho xi xd=a

1−(−2 )4 …. 2(−2 )2 a x 2,60 -

-

a+∆x

a+2∆x

a+3∆x

a+4∆x

x2

x3

x4

x5

3,20 -

3,80 -

4,40 -

total

5,00 −5

f(x)

-

−5

=

∫ 1−x2 −2

2x

4

3,31 -

5,07 -

7,19 -

9,65 -

12,48

f (x ) ∑ −2 = 37,70

−5

≅ ∑ f ( x)∗∆ x ≅−¿ 0,6*(-37.7)=22,62 −2

Grafica geogebra.



Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para �=6, �=12 y compara con el resultado de la integral definida. Al comparar los dos resultados obtenemos una diferencia asociada a los espacios que se observan en los extremos de los rectángulos de denominado error.



Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.



¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

A medida que n aumenta, la medida del área bajo la curva es más precisa, porque entre mayor sea el número de particiones cubre el área bajo la curva de manera más precisa o completa a medida que se acerca al límite de la misma curva, se observa más tupida, con menos errores.

3 TIPO DE EJERCICIOS 3 – TEOREMAS DE INTEGRACIÓN. Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(�) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio: d dx

(∫ ) b (x)

f (t )dt =f (b ( x ) )∗ (b' ( x ) )− f (a ( x ) )∗( a' (x ) )

a (x)

3.1 EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros) x

3

4 G( x )=∫ (t +1 ) dt 10

2x

Solución Aplicando la siguiente ecuación: d dx

(∫ ) b (x)

f (t ) dt =f (b ( x ) ) ∗(b' ( x ) )−f (a ( x ) )∗( a' ( x ) )

a (x)

Obtenemos: 10

f ( b ( x ) ) =( x 12+1 )

( b ' ( x) ) =3 x 2 f ( a ( x ) ) =(16 + 1 )10

( a ' ( x) ) =2 10

10

' G ( x )=3 x 2 ( x 12 +1 ) −2 ( 16 x 4 + 1 )

3.2 EJERCICIO LITERAL C. (Miguel Ramírez)

b(x)= 3x a(x)= x 2 f (t )=

t t −1 2

x (¿¿ 2 )' ' G ( x )=f ( 3 x ). (3 x ) '−f (x 2 ) . ¿ x x 2 (¿¿ 2) −1.(2 x) (¿¿ 2) ¿ ( 3 x) ' G ( x )= . ( 3 )−¿ (3 x )2−1 G ' ( x )=

2 x3 9x − 9 x 2−1 x 4 −1

G ' ( x )=

9x 2 x3 − 4 2 9 x −1 x −1

3.3 EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal)

Sol u c i ónd) : 2 ' b( x ) =cos x →b ( x) =−2 senx∗cosx 2 ' a( x ) =sen x → a ( x) =2 senx∗cosx f ( t ) = √ t 3−2 t 3

cos (¿¿ 2 x) −2 cos x∗−2 sen(x )cos(x ) 3 √¿ ¿ sen sen (¿¿ 2 x)2−2(¿¿2 x )∗2 sen (x)cos(x) f (t ) dt=¿ 3

2

2

cos x

∫

¿

2

sen x

sen f ( t ) dt=( √ cos x−2 cos x∗−2 sen(x )cos(x ) ) −√ sen6 x−2(¿¿ 2 x)∗2 sen ( x)cos(x) 3

6

3

2

2

cos x

∫

¿

2

sen x

sen f ( t ) dt=−2 sen ( x )cos ( x ) ( √ cos 6 x −2cos 2 x )+ √ sen6 x −2(¿¿ 2 x ) 3

3

2

cos x

∫¿ 2

sen x

3.4 EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell) Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(�) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio: ���( ∫�(�)���(�)�(�) )=�(�(�))⋅ (�′(� (−(((( )) −�(�(� ))⋅ (� ′ (� )) a= 4 x 4 ;b =� �|x|

Derivada de f(a)= 4 x 4 ; f’(a)=4. 4 x 4 −1 = 16 x3

1 x

Derivada de f(b) =��|x|; f’(b) =��|x|=

���( ∫�(�)���(�)�(�) )=�(�(�))⋅ (�′(�)) −�(�(� ))⋅ (� ′ (� ))

G’= |x|.

1 ( ) x

G’= (f(|x|).

-

4x ¿ ¿ ¿

1 ( ) x

.

-

G’=

ln∨x∨¿ ¿ ln ¿ ln∨x∨−1 ¿

G’=

ln∨x∨−1 x (ln|ln|x||+1)

.

16 x3

)

4x f (¿¿ 4) ¿

.

1 ( ) x

-

4 x 4−1 ln|4 x 4|+1

16 ( 4 x −1 ) . x 4 ln |4 x |+1 4

-

f ( t) =

)

3

16 x

.

3

16 x

t−1 ln|t |+1

)

3

TIPO DE EJERCICIOS 4 – INTEGRAL DEFINIDA. Desarrollar el ejercicio que ha elegido por medio del segundo teorema fundamental del cálculo, utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. 4.1 EJERCICIO LITERAL B. (Erick Barros) Calcular la siguiente integral definida: π 3

∫ 0

sen( x) dx 3

Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos:

( π3 ) cos ( 0)−cos ¿= 1 u2 6 π 3

(x )

∫ sen3 0

1 dx= ∗¿ 3

 Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra.  Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

4.2 EJERCICIO LITERAL D. (Antonio Carvajal) 3/ 2

Ca l c u l a rl as i g u i e n t ei n t e g r a l d e fi n i d a :

∫ (2 x−1)2 √ x dx 0

De s p u é sd ec a l c u l a rl ai n t e g r a l r e a l i z a rl o ss i g u i e n t e sp a s o s : A.Gr a fi c a rl af u n c i ó nys o mb r e a rl ar e g i ó ns o l i c i t a d aq u ea c a b ad ei n t e g r a ru t i l i z a n d oe l p r o g r a maGe o Ge b r a . B.Ad j u n t a rl a sg r á fi c a sr e a l i z a d a se nGe o Ge b r ad e l í t e ma n t e r i o r . (2 x −1)2 =4 x 2−4 x+1

√ x=x12 2

(2 x −1)

√ x= (4 x 2− 4 x +1 ) x 21=4 x52 dx−4 x 23 dx + x 21

4 x 52 dx (¿−4 x32 dx + x12)dx 3 /2

∫¿ 0

3 2

3/2

3 /2

4 ∫ x25 dx−4 ∫ x 23 dx + ∫ x 2 dx 1

0

0

0

[ ] [ ] [ ]

x 25 +1 4 5 +1 2

❑

❑

x 23 +1 x 21 +1 −4 +4 3 1 +1 +1 2 2

][

❑

[

4

[

8 3 8 2 3 8 3 8 2 ( ) − ( ) + ( ) − (0)72− (0)52 + (0)32 7 2 2 5 2 2 3 22 7 5 3

]

x25 x 23 x72 8 −4 + = x 27− 8 x 25 + 2 x32 =¿ 3 5 7 5 3 7 2 2 2 7

5

3

][

]

4.3 EJERCICIO LITERAL E. (Neyder Amell)

Ejercicio e. Calcular

la

2

=

siguiente

2

∫ (x +1) dx = ∫ (x 6 +2 x3 .1 +12)❑ dx 3

−2 2

2

−2

2

3 6 ¿ ∫ x dx + 2 ∫ x dx + −2

−2

2

∫ 1 dx −2

integral

definida:

| ⟦ ⟦ ⟦ ⟦ ⟧ 7

|

x 2 x4 +x 2 + −2 7 4 7 4 2 (−2 )7 2(−2 )4 −2 + = 7 + 2.24 +2 4 7 128 32 −128 32 = 7 + 4 +2 - 7 + 4 −2 512 + 224 + 56 −512+224−56 = 28 28 792 −344 = 28 - 28 792 344 = 28 + 28 1136 ¿ 28 =40.5714 unidades2

=

⟧ ⟦

⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟦ ⟧

⟧

⟧

⟧

Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos:  Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra.  Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

TABLA DE LINKS DE VIDEOS NOMBRE DEL

EJERCICIO

LINK

ESTUDIANTE

SUSTENTADO

Bibliografías

 García, R., Gómez, P., & Larios, R. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 122-128).  Ortiz, F (2015). Cálculo diferencial (2a. ed.). Grupo editorial patria. (pp. 132-139).  Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36-42).  Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38).  Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 14 - 16).  Spivak, M. (2018). Calculus (3ª. ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303  Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas: Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203)....