Tarea 4 Derivadas Deisy Barajas PDF

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TAREA 4 -INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.PRESENTADO POR: DEISY JOHANA BARAJAS CAMACHOCC:PRESENTADO A : SERGIO ANDRES DURAN JAIMESCODIGO100410_UNADUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAADMINISTRACION DE EMPRESASMOLAGAVITA2021Ejercicio 1De acuerdo con la definición de derivada de una función𝑓 ́(𝑥) = limℎ→(𝑓(...

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TAREA 4 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.

PRESENTADO POR: DEISY JOHANA BARAJAS CAMACHO CC:1005325837

PRESENTADO A : SERGIO ANDRES DURAN JAIMES

CODIGO 100410_249

UNAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ADMINISTRACION DE EMPRESAS

MOLAGAVITA 2021

Ejercicio 1 De acuerdo con la definición de derivada de una función (𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)) 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥 2 + 𝑥 3

Primero se reemplaza la función inicial en la fórmula de derivadas a través del limite,

1 − 2(𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ)3 − 1 + 2𝑥 2 − 𝑥 3 ℎ→0 ℎ Se eliminan los paréntesis y se agrupa términos semejantes, ℎ3 + 3ℎ2 𝑥 + 3ℎ𝑥 2 − 2ℎ2 − 4ℎ𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0 ℎ Eliminando un h en numerador y el denominador de la ecuación, se obtiene, 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ2 + ℎ(3𝑥 − 2) + 3𝑥 2 − 4𝑥 𝑓 ′(𝑥) = lim

ℎ→0

Aplicando el limite a la función resultante, se obtiene la derivada, 𝒇′ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 -

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Ejercicio 2

𝑓(𝑥) = cos(𝑥) ∗ (cos(𝑥) + 1)

Aplicando la regla de derivación para un producto, (𝑓 ∗ 𝑔)′ = 𝑓 ′ ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ 𝑔′ 𝑓’(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)(cos(𝑥) + 1) + cos(𝑥) ∗ (−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 0)

Eliminando los paréntesis,

𝑓 ′ (𝑥 ) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) ∗ cos(𝑥)

Agrupando términos semejantes,

𝑓 ′ (𝑥 ) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) cos(𝑥 )

Aplicando la identidad de ángulos dobles para seno, se obtiene,

Ejercicio 3

𝒇′ (𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝒙) − 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) 𝒇(𝒙) =

𝟏 + 𝒔𝒊𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

cos 2 (𝑥 ) − (1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 )) ∗ (−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 )) cos 2 (𝑥) cos 2 (𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = cos 2 (𝑥)

𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓 ′ (𝑥) =

1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥))(1 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥))

𝒇′ (𝒙) = Ejercicio 4

1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos 2 (𝑥)

𝟏 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙)𝟑𝒙 ∗ (𝒍𝒏(𝒙) + 𝟒𝒙)

Se reordena el primer término de la función para aplicar la regla de la cadena, 𝑓(𝑥) = ((4𝑥 )3 ) 𝑥 ∗ (ln(𝑥) + 4𝑥)

Para aplicar la regla de la cadena se toman como variable secundaria u y terciaria v, así, 𝑢 = 4𝑥 𝑢′ = 4

𝑣 = 𝑢3

𝑣 ′ = 3𝑢 2 𝑦 = 𝑣𝑥

𝑦 ′ = 𝑥𝑣 𝑥−1

Reemplazando los lo anterior en la regla de la cadena,

1 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ((4𝑥 )3 ) 𝑥−1 ∗ 3(4𝑥 )2 ∗ 4(ln(𝑥) + 4𝑥 ) + ((4𝑥)3 ) 𝑥 ∗ ( + 4) 𝑥

Simplificando,

1 𝑓 ′ (𝑥) = 192𝑥 3 (4𝑥 )3𝑥 (4𝑥)−3 (ln(𝑥) + 4𝑥 ) + (4𝑥 )3𝑥 ( + 4) 𝑥

Sacando factor común (4𝑥)3𝑥 ,

𝑓 ′ (𝑥) = (4𝑥)3𝑥 [

192𝑥 3 1 (ln(𝑥) + 4𝑥) + + 4 ] 3 𝑥 64𝑥

Simplificando, se obtiene,

Ejercicio 5

𝟏 𝒇′ (𝒙) = (𝟒𝒙)𝟑𝒙 [𝟑 𝐥𝐧(𝒙) + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒 +𝒙

Calcule la derivada implícita de la siguiente función: 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 4

Aplicando la derivada a cada uno de los términos con su respectiva variable, 2𝑥𝑑𝑥 + 2𝑑𝑥 ∗ 𝑦 + 2𝑥𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑦 = 0

Sacando factor común en los diferenciales de cada variable, 𝑑𝑦(2𝑥 + 2𝑦 ) + 𝑑𝑥 (2𝑥 + 2𝑦) = 0

Despejando, se obtiene,

Simplificando,

Ejercicio 6

𝑑𝑦 2𝑥 + 2𝑦 = − 2𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑥 𝒅𝒚 = −𝟏 𝒅𝒙

Calcule la derivada de orden superior:

𝑓(𝑥) = 2 − 4𝑥 2 − 3𝑥 4 𝑓 ′′′ (𝑥) = ¿ ?

Primero se determina la primera derivada de f(x),

𝑓’(𝑥) = −8𝑥 − 12𝑥 3

Para hallar la segunda derivada se deriva la derivada de 𝑓(𝑥), es decir, 𝑓’(𝑥) 𝑓 ′′ (𝑥) = −36𝑥 2 − 8

Para hallar la tercera derivada se halla la derivada de la segunda derivada de 𝑓(𝑥), es decir, 𝑓’’(𝑥) 𝒇′′′ (𝒙) = −𝟕𝟐𝒙

Ejercicio 7 En cada uno de los siguientes ejercicios debe realizar los siguientes pasos: 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 + 3𝑥 2 + 3 2

Realice el cálculo de la primera derivada de la función,

Para hallar la derivada del primer término de 𝑓(𝑥), se tiene en cuenta, 𝑢 = 2𝑥 2

𝑢 ′ = 4𝑥 𝑦 = 𝑒𝑢

Aplicando la regla de la cadena,

𝑦′ = 𝑒𝑢

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 2𝑥 ∗ 4𝑥 + 6𝑥 + 0 2

Reordenando la función,

𝒇′ (𝒙) = 𝟒𝒙𝒆𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 𝟐

Compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes En dos puntos (escogidos por el estudiante) de la función original, obtendrá la función derivada calculada en los puntos escogidos (ver contenido derivadas en GeoGebra). 𝐴 = (−0.58, 5.96) ′ (𝑥) 2𝑥 2 𝑓 = 4𝑥𝑒 + 6𝑥 Reemplazando el valor de x del punto A en la derivada de f(x), 2 𝑦 ′ = 4(−0.58)𝑒 2(−0.58) + 6(−0.58) Obtenemos la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto A, 𝒚′ = −𝟖. 𝟎𝟐𝟔𝟓𝟒 Ahora bien, con el punto B, 𝐵 = (0.66, 6.7) 2 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥𝑒 2𝑥 + 6𝑥 Reemplazando el valor x del punto B en la derivada de f(x), 2 𝑦 ′ = 4(0.66)𝑒 2(0.66) + 6(0.66) Se obtiene la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto B, 𝒚′ = −𝟖. 𝟎𝟐𝟔𝟓𝟒

PROBLEMAS DE APLICACIÓN A) Encontrar las dimensiones de un rectángulo, largo y ancho, que tiene un perímetro de 100 m y un área máxima. Teniendo en cuenta que el perímetro es igual a 100 se obtiene la ecuación,

Despejando x, se obtiene,

𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 = 100

𝑥=

100 − 2𝑦 = 50 − 𝑦 2

Ahora el área del rectángulo es base* altura, 𝐴 = 𝑥𝑦

Reemplazando la primera ecuación en la ecuación de área, 𝐴 = (50 − 𝑦)𝑦

Eliminando paréntesis, obtenemos que el área del rectángulo es, 𝐴 = 50𝑦 − 𝑦 2

Ahora para hallar el área máxima, igualamos la derivada del área a cero,

Despejando,

𝐴´ = 50 − 2𝑦 = 0 𝑦=

Simplificando, se obtiene la altura,

50 2

𝒚 = 𝟐𝟓

Ahora bien, para encontrar el ancho del rectángulo reemplazamos y en la ecuación 𝑥 = 50 − 𝑦 , 𝑥 = 50 − 25

Resolviendo, se obtiene,

𝒙 = 𝟐𝟓

B) Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función, 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟕𝟓𝒙 − 𝟏𝟓

Para hallar los máximos y mínimos se iguala la derivada de la función a cero,

Despejando,

𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 75 = 0 𝑥=√

75 = ±5 3

Ahora, para hallar el punto de inflexión, se iguala la segunda derivada a cero, 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 = 0

Despejando,

𝑥=0

Hora, para hallar los equivalentes en y para los valores hallados se reemplaza en la función 𝑓(𝑥), 𝑦1 = 53 − 75(5) − 15 𝑦1 = −265

𝑦2 = (−5)3 − 75(15) − 15 𝑦2 = 235

𝑦3 = 03 − 75(0) − 15 𝑦3 = −15

Así, se obtienen los siguientes puntos:

𝐦𝐚𝐱 = (−𝟓,

𝐦𝐢𝐧 = (𝟓,

𝑰𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏 = (𝟎,

https://youtu.be/I1l3nQD9pNE

𝟐𝟑𝟓)

−𝟐𝟔𝟓)

−𝟏𝟓)

BIBLIOGRAFIAS

Concepto derivada - Derivada desde el límite Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Definición de la Derivada. Pág. 101-106. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777 Àlgebra de las derivadas y derivadas de orden superior Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Definición de la Derivada. Pág. 122-127, Derivadas de orden superior. Pág. 138144. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777 Derivadas de funciones trigonométricas Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Derivada de funciones trigonométricas. Pág. 144-147. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777 Regla de la cadena y derivada implícita Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Regla de la cadena y derivada implícita. Pág. 148-162. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777 Aplicaciones de las Derivadas Camacho, A. (2008). Cálculo diferencial. Aplicaciones de la derivada 273-283. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/53182?page=1 Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Aplicaciones de la derivada. Pág. 175. Recuperado de: https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777 OVI - Comprobación Derivada en Geogebra Cabrera, J. (2017). OVI - Derivadas en Geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11621 OVA – Derivadas Benjumea, L. Cruz, L. Cervelion, Á. Cabrera, J. Insuasti, A. & Barrios, E. (2020). Derivadas – Objeto Virtual d Aprendizaje. Recuperado de: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33798...