Tarea 4 Derivadas desarrollo de los ejercicios de calculo integral unad PDF

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Tarea 4: DerivadasCurso: Calculo diferencialPresentado por:Código:Numero de grupo:####### 100410_Presentado a:Juan Camilo Jiménez MottaUniversidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería de Telecomunicaciones21 noviembre de 2021####### EJERCICIOS De...

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Tarea 4: Derivadas

Curso: Calculo diferencial

Presentado por:

Código:

Numero de grupo:

100410_122

Presentado a:

Juan Camilo Jiménez Motta

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería de Telecomunicaciones

21 noviembre de 2021

EJERCICIOS 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función f ´ ( x )=lim h →0

f ( x+ h) −f (x) h

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite: Estudiante 3

3

2 f ( x ) = x +4 x2−3 3

2 3 f ( x ) = x +4 x2−3 3 Realizamos: 2 3 2 f ( x +h) = (x +h) + 4 (x + h) −3 3 f ( x ) '=

f ( x +h ) −f (x ) h

[

2 2 ( x+h)3 +4(x +h)2−3− x 3 +4 x 2−3 3 3 f ( x ) ' =lim h h→0

] [

2 2 3 ( x +3 x2 h+3 x h2+ h3) +4 ( x 2+2 x 2+ 2 xh+h2) −3− x 3+4 x 2−3 3 3 h→0 f ( x) '= h lim

2 lim 2 x 3+ 2 x 2 h+2 x h2 + 2 h3 + 4 x 2+8 xh+ 8 h2−3− x3 −4 x 2 +3 3 3 h→0 3 f ( x) = h '

2 lim 2 x2 h+2 x h 2+ h3+8 xh +8 h2 3 h→0 f ( x) = h '

lim h(2 x 2 +2 xh+ '

f ( x) =

h→0

2 2 h +8 x+8 h) 3

h

(

2 2 2 f ( x ) ' =lim 2 x +2 xh+ h +8 x +8 h 3 h→0

)

]

lim 2 '

2

h→0 f ( x ) =lim 2 x +lim 2 xh+ h2+ lim 8 x+ lim 8 h 3 h →0 h→0 h→0 h→0

f ( x ) ' =2 x2 +8 x

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. 2. −3 x 3 3 f ( x ) =ln (5 x) +(5−x )

Estudiante 3

−3 x 3 3 f ( x ) =ln (5 x) +(5−x )

f ( x ) =ln ( 5

−3 x

−3 x

x

) +(5−x 3)3

− x −3 x f ( x ) =ln ( ( 53 ) ❑ x ) + ( 5−x 3 )

3

125− x x−3 x ¿ ¿ f ( x )=ln ¿ 3 −x 3 3 f ( x ) =ln (125 x ) +(5−x ) 33

f ( x ) =−x ln ( 125 x ) + ( 5−x ) 3

3 3 3 f ( x ) =−x ln ( 5 x ) + ( 5−x )

3

5x ¿ 3 (¿¿ 3)+ ( 5−x 3 ) ¿ f (x ) =−x ln ¿ 3

3 f ( x ) −3 x ln ( 5 x ) ++ (5−x )

'

f ( x ) =−3 ln (5 x ) +( −3 x ) .

5 3 2 2 +3 ( 5−x ) (−3 x ) 5x 3 2

f ( x ) =−3 ln (5 x ) −3−9 x ( 5−x ) '

2

( 5 x )+1 2 3 2 ln ¿−¿ 9 x ( 5−x ) ' f ( x) =−3¿

3. calcule la derivada de la siguiente función. Estudiante 3

x2 + y3 −4 x2 y=4 y

x2 + y3 −4 x2 y=4 y 2

−1

2

2

−1

2

(− y' )

x . y + y −4 x y =4 2 x y +x . 2

y

2

2 −8 xy+ ( −4 x ) y ' =0

'

2x x y − 2 +2 y y ' −8 xy−4 x 2 y' =0 y y 2

'

−x y 2x ' 2 ' +2 y y −4 x y =8 xy− 2 y y y'

(

)

2x −x 2 +2 y−4 x 2 = 8 xy − y y2 8 xy−

'

y=

2x y

−x 2 +2 y −4 x 2 2 y

8 x y 2−2 x y 2 −x +2 y3 −4 x 2 y 2 y'= y2 y'=

y 2 (8 x y 2−2 x) y (− x 2+2 y 3−4 x 2 y 2 )

2

y=

y ( 8 x y −2 x) 2 3 2 2 −x +2 y −4 x y

y'=

8 x y 3 −2 xy −x2 +2 y 3−4 x 2 y 2

y'=

−2 xy−8 x y3 −x2 +2 y 3−4 x 2 y 2

'

4. calcule las derivadas de orden superior. Estudiante 3

1 f ( x ) =e3 x − x 6+ 3 x 5 6

f ' ' ' ( x)=?

1 6 3x 5 f ( x) = e − x + 3 x 6 1 f ( x ) ' =e 3 x .3− 6 x 5 +15 x 4 6 '

3x

5

f ( x ) =3 e −x +15 x

4

f ( x ) '' =3 e3 x .3−5 x 4 + 60 x 3 f ( x ) '' =9 e3 x −5 x 4 +60 x3 '' '

3x

3

2

f ( x ) =9 e .3−20 x +180 x

f ( x ) '' ' =27.3 e 3 x −20 x 3 +180 x2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 5. A continuación, se presentan el enunciado que deberá resolver y sustentar por medio de video, representando la función y su respuesta en GeoGebra. Para la función f ( x ) dada calcular las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y de inflexión:

f (x)=

x3 2 −2 x + x+1 3

1 ' f ( x ) = x 3−2 x2 + x +1 3 1 2 ' f ( x ) = 3 x −4 x +1 3 ' 2 f ( x ) =x −4 x+1

f ( x ) ' =0 f ( x ) ' =x 2−4 x+1 =0 −b ± √ b −4 ac 2a 2

x=

x=

−(−4)± √ (−4 )2−4 (1)(1) 2(1)

x=

4 ± √ 16− 4 2

x=

4 ± √ 12 2

x=

4 ± 2 √3 2

x 1=

4+2 √ 3 =2+√ 3 2 x 1=2+ √ 3

x 2=

4−2 √3 =2−√ 3 2

x 2=2− √ 3 f ( x) =

x3 −2 x 2 + x+1 3

√3 2+¿ ¿ ¿3 ¿ f ( 2+√ 3 )=¿ √3

¿ ¿ √3 ¿ ¿ ¿3 ¿ √3 ¿ 2 3 ( 2 +3 ( 2) √3 )+3(2)¿ ¿ f ( 2+ √3 )=¿ f ( 2+√ 3 ) =

8+ 12 √ 3+18 + 3 √ 3 −2 ( 4 +4 √ 3+3 ) +3+√ 3 3

f ( 2+√ 3 ) =

26+ 15 √ 3 −2 ( 7+ 4 √ 3) +3+ √3 3

f ( 2+√ 3 ) =

26+ 15 √ 3 −14 −8 √ 3+3+ √ 3 3

( 2+√ 3) = 26+15 √3 −11 −7 √ 3 3 f¿

Minimo (2+√ 3 ,

26 + 15 √3 −11 −7 √ 3) 3

3

x 2 f ( x ) = −2 x + x+1 3

√3 2−¿ ¿ 3 (2−√ 3) f ( 2−√ 3 )= −2 ¿ 3

√3

¿ ¿ √3 ¿ ¿ ¿3 ¿ 2 23−3 (2 ) ( √3 )+ 3(2)¿ f ( 2− √3 )=¿ f ( 2−√ 3 )=

26−15 √3 −2( 4−4 3+3) − 3+ 3 √ √ 3

f ( 2−√ 3 )=

26−15 √3 −2 (7 −4 √ 3)−√ 3+3 3

f ( 2−√ 3 )=

26−15 √3 −14 + 8 √3−√ 3+3 3

f ( 2−√ 3 )=

26−15 √3 +7 √ 3−11 3

Máximo (2− √3 ,

26 −15 √ 3 +7 √3−11) 3

Punto de inflexión: ' 2 f ( x ) =x −4 x+1

Hallamos: f ( x ) '' =2 x−4 2 x −4=0 2 x =4 x=

4 2

x=2

f ( 2)

es la función:

f ( x) =

2 x3 −2 ( x ) + x+1 3

3

2 2 f ( 2)= −2( 2 ) + 2+ 1 3 8 f ( 2)= −8+3 3 8 f ( 2)= −5 3 f ( 2)=

8−15 3

f ( 2)=

−7 3

Cuando x=2 Geogebra:

y=

−7 3

( 2 , −73 )

los puntos de inflexión:...