Tarea 4 - Parcial I - Diseño y Experimentacion PDF

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE HONDURASCatedrático:Ing. Alejandro MenocalAsignatura:Diseño y ExperimentaciónTema:Ejercicios Capitulo 2Alumno:Luis E Roque 201023010Campus:San Pedro SulaFecha:3 de Febrero, 2019Índice1. Pregunta # 11.............................................................................

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE HONDURAS Catedrático: Ing. Alejandro Menocal Asignatura: Diseño y Experimentación Tema: Ejercicios Capitulo 2 Alumno: Luis E Roque Campus: San Pedro Sula Fecha: 3 de Febrero, 2019

201023010

Índice

1.

Pregunta # 11...................................................................................................................................2

2.

Pregunta # 12...................................................................................................................................3

3.

Pregunta # 13...................................................................................................................................4

4.

Pregunta # 14...................................................................................................................................6

5.

Ejercicio # 15...................................................................................................................................9

6.

Ejercicio # 16..................................................................................................................................11

7.

Ejercicio # 17..................................................................................................................................12

8.

Ejercicio # 18..................................................................................................................................13

1|Page

1. Pregunta # 11 En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 50 kg de fuerza. Para garantizar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se aplicaba la fuerza de 50 kg y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza una prueba exacta, en la que mediante un equipo se aplica fuerza a la botella hasta que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó la botella.

a) ¿Qué ventajas y desventajas tiene cada método de prueba? El método antiguo era sencillo, rápido y fácil de aplicar. Sin embargo, no puedes saber la resistencia exacta de la botella. El método nuevo necesita un equipo más avanzado y caro, pero se pueden obtener las resistencias exactas que alcanzan las botellas. Otra desventaja es que puede ser mas caro.

b) Para evaluar la resistencia media de los envases se toma una muestra aleatoria de n = 20 piezas. De los resultados se obtiene que X = 55.2 y S = 3. Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la resistencia promedio de los envases? X −ta /2

1.73205 S =55.2 −2.09302 =55.2−0.81062= 54.3894 4.47214 n √

X +t a¿2

1.73205 S =55.2+2.09302 =55.2 + 0.81062=56.0106 √n 4.47214

Con una confianza de 95%, la resistencia media de los envases se encuentra en el intervalo [54.3894, 56.0106].

c) Antes del estudio se suponía que m = 52. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto? 2|Page

No, ya que la resistencia promedio se encuentra en 55.2 ±0.81062. d) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)?

Q2=

Q2=

( 20−1 )∗3 (n−1)S ² = =1.73505=√ 1.73505=1.31721 2 32.852 X a/2 , n−1 (n−1)S ² 2

X 1−a /2 , n−1

=

( 20 −1 )∗3 =6.39946 =√ 6.39946=2.52972 8.907

El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: [1.31721, 2.52972].

2. Pregunta # 12 Para evaluar el contenido de nicotina en cierto tipo de cigarros elaborados por un proceso, se toma una muestra aleatoria de 40 cigarrillos y se obtiene que X= 18.1 mg y S = 1.7. a) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la cantidad de nicotina promedio por cigarro? X −ta /2

S 1.30384 =18.1 −0.41698=17.683 =18.1 −2.02269 6.32455 √n

X +t a¿2

1.30384 S =18.1+ 0.41698=18.517 =18.1+2.02269 6.32455 √n

Con una confianza de 95%, el contenido de nicotina promedio por cigarro se encuentra en el intervalo [17.683, 18.517].

3|Page

b) Antes del estudio se suponía que µ = 17.5. Dada la evidencia de los datos, ¿se puede rechazar tal supuesto? No, ya que la resistencia promedio se encuentra en el intervalo [17.683, 18.517].

c) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso)?

Q2=

Q2=

(n−1)S ² 2

X a/2 , n−1

=

( 40 −1 )∗1.7 =1.14074 =√ 1.14074 =1.06805 58.1200

(n−1)S ² 2

X 1−a /2 , n−1

=

( 40 −1 )∗1.7 =2.80287=√ 2.80287 =1.67418 23.65432

El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: [1.06805, 1.67418].

3. Pregunta # 13 En un problema similar al del ejercicio 11, es necesario garantizar que la resistencia mínima que tiene un envase de plástico en posición vertical sea de 20 kg. Para evaluar esto se han obtenido los siguientes datos mediante pruebas destructivas: 28.3 26.8 26.6 26.5 28.1 24.8 27.4 26.2 29.4 28.6 24.9 25.2 30.4 27.7 27.0 26.1 28.1 26.9 28.0 27.6 25.6 29.5 27.6 27.3 26.2 27.7 27.2 25.9 26.5 28.3 26.5 29.1 23.7 29.7 26.8 29.5 28.4 26.3 28.1 28.7 27.0 25.5 26.9 27.2 27.6 25.5 28.3 27.4 28.8 25.0 25.3 27.7 25.2 28.6 27.9 28.7

4|Page

a) Esta variable, forzosamente tiene que evaluarse mediante muestreo y no al 100%, ¿por qué? Se debe realizar mediante muestreo porque son pruebas destructivas y se dañarían todos los envases, de igual forma el costo seria mayor por realizar al 100% de los envases.

b) Haga un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamiento de los datos obtenidos).

Según los datos del histograma, la resistencia de los envases presenta una mayor incidencia en los intervalos centrales, entre 26 y29 Kg.

c) Estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la resistencia promedio de los envases?

X −ta /2

1.41761 S =27.24643−1.96 =27.24643 −0.37129=26.8751 7.48331 √n

X +t a¿2

1.41761 S =27.24643+1.96 =27.24643+ 0.37129=27.6177 √n 7.48331 5|Page

Con una confianza de 95%, la resistencia mínima que tiene un envase de plástico en posición vertical se encuentra en el intervalo [26.8751, 27.6177]. d) Antes del estudio se suponía que µ = 25. Dada la evidencia de los datos, ¿tal supuesto es correcto? No, µ ≠ 25, en vista que la resistencia promedio que tiene un envase de plástico en posición vertical se encuentra en el intervalo [26.8751, 27.6177]. e) Con los datos anteriores estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional (del proceso

2

Q=

Q2=

( 56−1 )∗2.04616 (n−1)S ² = =1.45436 =√ 1.45436 =1.20597 2 77.3804 X a/2 , n−1 (n−1)S ² 2

X 1−a /2 , n−1

=

( 56 −1 )∗2.04616 =3.09189 =√ 3.09189 =1.75838 36.3981

El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: [1.20597, 1.75838].

4. Pregunta # 14 En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO (gas) por envase esté entre 2.5 y 3.0. Los siguientes datos son obtenidos del monitoreo del proceso: 2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2.69 2.53 2.67 2.66 2.63 2.52 2.61 2.60 2.52 2.62 2.67 2.58 2.61 2.64 2.49 2.58 2.61 2.53 2.53 2.57 2.66 2.51 6|Page

2.57 2.55 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.73 2.51 2.61 2.71 2.64 2.59 2.60 2.64 2.56 2.60 2.57 2.48 2.60 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.64 2.67 a) Haga un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamiento de los datos obtenidos). Según los datos del histograma, el porcentaje de CO por envase presenta una mayor incidencia en los intervalos centrales, entre 2.52 y 2.67.

b) Estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es el CO promedio por envase?

X −ta /2

0.05592 S =2.59338−0.01329 =2.5800 =2.59338−1.96 8.2462 √n

X +t a¿2

0.05592 S =2.59338+1.96 =2.59338 + 0.01329= 2.6067 √n 8.2462

7|Page

Con una confianza de 95%, el porcentaje de CO por envase se encuentra en el intervalo [2.5800, 2.6067].

c) Se supone que µ debe ser igual a 2.75. Dada la evidencia, ¿se puede rechazar tal supuesto? En vista que u ≠ 2.75, entonces se rechaza el supuesto.

d) Con los datos anteriores estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar del proceso?

Q2=

( 68−1 )∗0.00312 (n−1)S ² = =0.10473=√ 0.10473 =0.32362 2 1.9960 X a/2 , n−1

Q2=

( 68 −1 )∗0.00312 (n−1)S ² = =0.00452 =√ 0.00452 =0.067231 46.26103 X 1−a /2 , n−1 2

El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: [0.32362, 0.067231].

e) El análisis de los datos muestrales establece que el mínimo es 2.48 y el máximo es 2.73, ¿por qué el intervalo obtenido en el inciso a) tiene una menor amplitud? Porque en un promedio los extremos tienen a desaparecer.

8|Page

5. Ejercicio # 15 Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se fijó como estándar mínimo que el producto que recibe directamente de los establos lecheros es de 3.0%. Por medio de 40 muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvo que X – = 3.2 y S = 0.3.

a) Estime con una confianza de 90% el contenido promedio poblacional de grasa.

X −ta /2

S =3.2−1.6848 0.3 =3.2 −0.079918=3.1200 6.3245 √n

X +t a¿2

0..3 S =3.2+1.6848 =3.2+ 0.079918=3.2799 √n 6.3245

Con una confianza de 90%, el porcentaje de CO por envase se encuentra en el intervalo [3.1200, 3.2799].

b) ¿Cuál es el error máximo de estimación para la media? ¿Por qué?

E=Z

( )

0.3 α S =1.6848∗0.04743 =0.0799=7.99 % =1.6848 6.3245 2 √n

El error máximo es 7.99% porque la desviación estándar es mas pequeña. 9|Page

c) Estime, con una confianza de 95%, ¿cuál es la desviación estándar poblacional?

Q2=

Q2=

( 40 −1 )∗0.09 (n−1)S ² = =0.06039=√ 0.06039=0.24574 2 58.12006 X a/2 , n−1 (n−1 ) S 2 ( 40−1 )∗0.09 =0.14838= √ 0.14838=0.3852 = a 23.6543 2 X 1− , n−1 2

El intervalo en el que se encuentra la desviación estándar poblacional del proceso es: [0.24574, 0.3852].

d) ¿Qué puede decir sobre la cantidad mínima y máxima de grasa en la leche? ¿Es posible garantizar con suficiente confianza que la leche tiene más de 3.0% de grasa? Según los resultados arrojados por el análisis estadístico: dado que la media poblacional con un nivel de confianza del 90% va de 3.12 a 3.27, podemos garantizar que la leche tiene mas de 30% de grasa requerida.

10 | P a g e

6. Ejercicio # 16 En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de 1.5 micras. Se sabe por experiencia que la densidad mínima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32, 40 y 48. Se hacen siete lecturas en cada radio dando un total de 35 lecturas, de las cuales sólo se usa la mínima. A continuación, se presenta una muestra histórica de 18 densidades mínimas: 1.81, 1.97, 1.93, 1.97, 1.85, 1.99, 1.95, 1.93, 1.85, 1.87, 1.98, 1.93, 1.96, 2.02, 2.07, 1.92, 1.99, 1.93. a) Argumente estadísticamente si las densidades mínimas individuales cumplen con la especificación de 1.5 micras. b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima. c) Dé un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de cajas para estos datos. Interprete lo que observa.

11 | P a g e

7. Ejercicio # 17 En una auditoría se seleccionan de manera aleatoria 200 facturas de las compras realizadas durante el año, y se encuentra que 10 de ellas tienen algún tipo de anomalía. a) Estime con una confianza de 95% el porcentaje de facturas con anomalías en todas las compras del año. n=20 0 ^p=0. 05 α =0. 05

α 1− 0.05 =0.4 75 1− = 2 2 α Z =1. 95996 2

[

P 0.6166−1.95996

√

√

0. 05 ( 1−0.0 5) 0.05 (1−0. 05) ≤ p ≤ 0.6166 + 1.95996 20 0 20 0

]

P [ 0.513352 ≤ p ≤ 0.7198 ]=0.95

b) ¿Cuál es el error de estimación? ¿Por qué? E=Z

√

√

p^ (1− ^p ) 0.05 (1−0.05 ) α = =1.95996 =0.0302 2 n 200

c) ¿Qué tamaño de muestra se tiene que usar si se quiere estimar tal porcentaje con un error máximo de 2%?

12 | P a g e

Z n=

α ^p (1−^p ) 1.95996 (0.05( 1−0.05 ) ) 2 = =456.1738 2 E 0.022

8. Ejercicio # 18 En la producción de una planta se está evaluando un tratamiento para hacer que germine cierta semilla. De un total de 60 semillas se observó que 37 de ellas germinaron. a) Estime con una confianza de 90%, la proporción de germinación que se logrará con tal tratamiento. b) Con una confianza de 90%, ¿se puede garantizar que la mayoría (más de la mitad) de las semillas germinarán? c) Conteste los dos incisos anteriores, pero ahora con 95% de confianza. n=6 0 ^p=0.616 6 α=0.1 α 1− 0.1 =0.45 1− = 2 2 α Z =1.64485 2

[

P 0.6166−1.64485

√

√

]

√

]

0.6166 ( 1−0.6166 ) 0.6166 (1−0.6166 ) ≤ p ≤0.6166 + 1.64485 60 60

P [ 0.513352 ≤ p ≤ 0.7198 ] α Z =1.95996 2

[

P 0.6166−1.95996

√

0.6166 ( 1−0.6166 ) 0.6166 (1−0.6166 ) ≤ p ≤ 0.6166 +1. 95996 60 60 13 | P a g e

P [ 0. 49357 ≤ p ≤0.7 396 ] =0.95

14 | P a g e...