Tarea 5 Integración Multiple PDF

Preview

Summary

calculo vectorial Esime Zacatenco tarea...

Description

14

Integración múltiple

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8

Integrales iteradas y área en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia Área de una superficie Integrales triples y aplicaciones Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas Cambio de variables: jacobianos

Modelado de datos (Ejercicio 34, p. 1008)

Centro de presión sobre una vela (Proyecto de trabajo, p. 1001)

Glaciar (Ejercicio 60, p. 993)

Población (Ejercicio 57, p. 992) Producción promedio (Ejercicio 57, p. 984) En sentido horario desde la parte superior izquierda, AlexKZ/Shutterstock.com; Martynova Anna/Shutterstock.com; ValeStock/Shutterstock.com; Nataliya Hora/Shutterstock.com; Volodymyr Goinyk/Shutterstock.com

965

966

Capítulo 14

Integración múltiple

14.1 Integrales iteradas y área en el plano Evaluar una integral iterada. Utilizar una integral iterada para hallar el área de una región plana.

Integrales iteradas En los capítulos 14 y 15 estudió varias aplicaciones de integración que implican funciones de varias variables. Este capítulo es muy similar al capítulo 7, ya que ilustra el uso de la integración para hallar áreas planas, volúmenes, áreas de superficies, momentos y centros de masa. En el capítulo 13 vio cómo derivar funciones de varias variables con respecto a una variable manteniendo constantes las demás variables. Empleando un procedimiento similar puede integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, la derivada parcial fx(x, y) = 2xy. Considerando a y constante, puede integrar respecto a x para obtener f x, y

y

fx x, y dx

Integre respecto a x.

2xy dx

Mantenga y constante.

Saque y como factor constante.

2x dx

y x2 x2 y

La antiderivada de 2x es x2.

C y

C y es una función de y.

C y.

La “constante” de integración, C(y ), es una función de y . En otras palabras, al integrar con respecto a x, puede recobrar f(x, y ) sólo parcialmente. Cómo recobrar totalmente una función de x y y a partir de sus derivadas parciales es un tema que estudiará en el capítulo 15. Por ahora, lo que interesa es extender las integrales definidas a funciones de varias variables. Por ejemplo, al considerar y constante, puede aplicar el teorema fundamental del cálculo para evaluar 2y

2y

2xy dx

x2y

2y 2 y

1 2y

4y 3

y.

1

1

x es la variable de integración y y es constante.

Sustituya x por los límites de integración.

El resultado es una función de y.

De manera similar se puede integrar con respecto a y, manteniendo x fija. Ambos procedimientos se resumen como sigue. h2 y

h2 y

f x x, y dx h1 y

f h1 y , y

Con respecto a x

h1 y

g x

g x

2

2

f y x, y dy g1 x

f h2 y , y

f x, y f x, y

f x, g2 x

f x, g 1 x

Con respecto a y

g1 x

Observe que la variable de integración no puede aparecer en ninguno de los límites de integración. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir x

y dx. 0

Integrales iteradas y área en el plano

14.1

967

Integrar con respecto a y

EJEMPLO 1 x

2x2 y

Evalúe

2

2y dy.

1

Solución

Considere x constante e integre respecto a y , con lo que obtiene

x

2x 2y

2

2y dy

1

x

2x2 y

y2

2x 2 x

x2

3x 2

2x

Integre respecto a y.

1

2x 2 1

1

1.

En el ejemplo 1 observe que la integral define una función de x que puede ser integrada ella misma, como se muestra en el ejemplo siguiente.

La integral de una integral

EJEMPLO 2 2

x

2x 2 y

Evalúe Solución 2

2y dy dx.

Utilizando el resultado del ejemplo 1, tiene 2

x

2x2 y 1

2

1

1

2

3x2

2y dy dx

1

2x

1 dx

1

x3 2

x2

2

x

1

Integre respecto a x.

1

3. La integral del ejemplo 2 es una integral iterada. Los corchetes usados en el ejemplo 2 normalmente no se escriben. Las integrales iteradas se escriben normalmente como b a

g2 x g 1( x

d

f x, y dy dx y c

h2 y

f x, y dx dy.

h1 y

Los límites interiores de integración pueden ser variay y=x bles con respecto a la variable exterior de integración. R: 1 ≤ x ≤ 2 Sin embargo, los límites exteriores de integración 1≤y≤x deben ser constantes respecto a ambas variables de 2 integración. Después de realizar la integración interior, usted obtiene una integral definida “ordinaria” y la segunda integración produce un número real. Los 1 límites de integración de una integral iterada definen dos intervalos para las variables. Como en el ejemplo 2, x los límites exteriores indican que x está en el intervalo 1 2 1 ≤ x ≤ 2 y los límites interiores indican que y está en el intervalo 1 ≤ y ≤ x. Juntos, estos dos intervalos determi- La región de integración para 2 x nan la región de integración R de la integral iterada, f x, y dy dx como se muestra en la figura 14.1. 1 1 Como una integral iterada es simplemente un tipo Figura 14.1 especial de integral definida, en el que el integrando es también una integral, puede utilizar las propiedades de las integrales definidas para evaluar integrales iteradas.

968

y

Capítulo 14

Integración múltiple

Área de una región plana

La región está limitada por a≤x≤b y g 1(x) ≤ y ≤ g 2(x)

En el resto de esta sección verá desde una perspectiva nueva un viejo problema, el de hallar el área de una región plana. Considere la región plana R acotada por a ≤ x ≤ b y g1(x) ≤ y ≤ g2(x), como se muestra en la figura 14.2. El área de R está dada por la integral definida

g2

b

g2 x

R

∆x

x

a

Usando el teorema fundamental del cálculo, puede reescribir el integrando g2(x) – g1(x) como una integral definida. Concretamente, si considera x fija y deja que y varíe desde g1(x) hasta g2(x) puede escribir

b Área =

b a

g2 x

g 1(x)

y

g1 x

dy dx

Región verticalmente simple. Figura 14.2

g2 x

dy

g (x) 2

Área de R

g1 x dx.

a

g1

g2 x

g1 x

g1 x .

Combinando estas dos integrales, puede expresar el área de la región R mediante una integral iterada b

g2 x

b

dy dx a

a

g1 x

b

g2 x

y

g1 x

g2 x

dx

g1 x dx.

Área de R

a

Colocar un rectángulo representativo en la región R La región está acotada por c ≤ y ≤ d y ayuda a determinar el orden y los límites de integrah1( y) ≤ x ≤ h2( y) ción. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, y donde los límites interiores corresponden a los límites superior e inferior del rectángulo, como se muesd tra en la figura 14.2. Este tipo de región se llama R verticalmente simple, porque los límites exteriores de integración representan las rectas verticales x=a

∆y

c

y x=b

De manera similar, un rectángulo horizontal implih1 h2 ca el orden dx dy, donde los límites interiores están d h (y) 2 determinados por los límites izquierdo y derecho Área = dx dy c h (y) 1 del rectángulo, como se muestra en la figura 14.3. Este tipo de región se llama horizontalmente Región horizontalmente simple. simple, porque los límites exteriores representan Figura 14.3 las rectas horizontales

x

y=c y y=d Las integrales iteradas utilizadas en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue. Área de una región en el plano

COMENTARIO Observe que el orden de integración de estas dos integrales es diferente, el orden dy dx corresponde a una región verticalmente simple, y el orden dx dy corresponde a una región horizontalmente simple.

1. Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g1(x) ≤ y ≤ g2(x), donde g1 y g2 son continuas en [a, b], entonces el área de R está dada por b

g2 x

dy dx. Figura 14.2 (verticalmente simple)

A a

g1 x

2. Si R está definida por c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ x ≤ h2(y), donde h1 y h2 son continuas en [c, d], entonces el área de R está dada por d

h2 y

dx dy. Figura 14.3 (horizontalmente simple)

A c

h1 y

Integrales iteradas y área en el plano

14.1

969

Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular, como ocurre en el ejemplo 3.

Área de una región rectangular

EJEMPLO 3

Utilice una integral iterada para representar el área del rectángulo que se muestra en la figura 14.4. Solución La región de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple, por tanto puede emplear cualquier orden de integración. Eligiendo el orden dy dx, obtiene lo siguiente.

y

Región rectangular d

b

d

b

dy dx

d−c

R

a

d

c

Integre respecto a y.

dx

y c

a b

d c

c dx

a b

a

d

x

b

Integre respecto a x.

cx a

d

b−a

c b

a

Observe que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometría.

Figura 14.4

Hallar el área por medio de una integral iterada

EJEMPLO 4

Utilice una integral iterada para hallar el área de la región acotada por las gráficas de f x

sen x

La curva seno constituye el límite superior.

gx

cos x

La curva coseno constituye el límite inferior

y

R: y

entre x = p/4 y x = 5p/4.

π 5π ≤x≤ 4 4 cos x ≤ y ≤ sen x

Solución Como f y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectángulo representativo vertical, y puede elegir dy dx como orden de integración, como se muestra en la figura 14.5. Los límites exteriores de integración son

y = cos x x π 4

π 2

−1

3π 2

π

∆x

y = sen x Área =

Figura 14.5

cos x

x

5 . 4

Además, dado que el rectángulo está limitado o acotado, superiormente por f(x) = sen x e inferiormente por g(x) = cos x, tiene 5

5π /4 sen x π /4

4

dy dx

4

sen x

Área de R

dy dx 4 5

cos x 4

sen x

y 4 5

cos x

Integre respecto a y.

dx

4

sen x

cos x dx

4 5

cos x

sen x

4 4

Integre respecto a x

2 2. La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por rectas. Por ejemplo, la región de integración que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente simple aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que la región sea verticalmente simple es que está acotada superiormente e inferiormente por gráficas de funciones de x.

970

Integración múltiple

Capítulo 14

Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de integración sea más sencillo de como resulta con el otro orden de integración. Por ejemplo, haga de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; le sorprenderá ver que la tarea es formidable. Sin embargo, si llega al resultado, verá que la respuesta es la misma. En otras palabras, el orden de integración afecta la complejidad de la integración, pero no el valor de la integral.

Comparar diferentes órdenes de integración

EJEMPLO 5

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Dibuje la región cuya área está representada por la integral 2

4

dx dy. 0

y2

Después encuentre otra integral iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma área y demuestre que ambas integrales dan el mismo valor. Solución

y

R: 0 ≤ y ≤ 2 y2 ≤ x ≤ 4

3

y2

1

0

∆y x

1

3

2

−1

Área =

4

0 y

Límites interiores de integración.

2

y

Límites exteriores de integración.

sabe que R está acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en la figura 14.6(a). El valor de esta integral es 2

2 4 2

4

lo cual significa que la región R está acotada a la izquierda por la parábola x = y 2 y a la derecha por la recta x = 4. Además, como

(4, 2)

x = y2

2

De acuerdo con los límites de integración dados, sabe que

x

4

2

4

dx dy

dx dy

0

y2

x

Integre respecto a x.

dy y2

0 2

(a)

y 2 dy

4 0

y 3 2

y=

1

1 −1

Área =

(b)

Figura 14.6

2 ∆x 3 4 0 0

x

dy dx

x

4

2 0

Integre respecto a y.

16 . 3

(4, 2)

x

y3 3

4y

R: 0 ≤ x ≤ 4 0≤y≤ x

Para cambiar el orden de integración a dy dx, coloque un rectángulo vertical en la región, como se muestra en la figura 14.6(b). Con esto puede ver que los límites constantes 0 ≤ x ≤ 4 sirven como límites exteriores de integración. Despejando y de la ecuación x = y 2 puede concluir que los límites interiores son 0 y x. Por tanto, el área de la región también se puede representar por 4

x

dy dx. 0

0

Evaluando esta integral, observe que tiene el mismo valor que la integral original. 4

4

x

dy dx 0

0

x

y

dx

0

0

Integre respecto a y.

4

x dx 0

2 3 x 3 16 3

2

4 0

Integre respecto a x.

Integrales iteradas y área en el plano

14.1

971

Algunas veces no es posible calcular el área de una región con una sola integral iterada. En estos casos se divide la región en subregiones, de manera que el área de cada subregión pueda calcularse por medio de una integral iterada. El área total es entonces la suma de las integrales iteradas.

TECNOLOGÍA Algunos paquetes de software pueden efectuar integración simbólica de integrales como las del ejemplo 6. Si cuenta con acceso a alguno de estos paquetes, utilícelo para evaluar las integrales de los ejercicios y ejemplos dados en esta sección.

Área representada por dos integrales iteradas

EJEMPLO 6

Determine el área de la región R que se encuentra bajo la parábola y

x2

4x

La parábola forma el límite superior.

sobre el eje x, y sobre la recta y

3x

6.

La recta y el eje x forman el límite inferior.

Solución Para empezar divida R en dos subregiones, como se muestra en la figura 14.7. y

y = − 3x + 6

4

y = 4x − x 2 (1, 3)

3

R1

COMENTARIO

En los ejemplos 3 a 6, observe la ventaja de dibujar la región de integración. Se recomienda que desarrolle el hábito de hacer dibujos como ayuda para determinar los límites de integración de todas las integrales iteradas de este capítulo.

R2

2

∆x 1

1

Área =

2

4x − x 2 −3x + 6

1

x

∆x

2

dy dx +

4

4

4x − x 2

2

0

dy dx

Figura 14.7

En ambas regiones es conveniente usar rectángulos verticales y obtiene 2

4x

4 4x

x2

Área

x2

dy dx 1

3x

dy dx 2

6

0

2

4

4x

x2

3x

6 dx

4x

1

7x 2 2 14

x2 dx

2 2 x3 6x 3 1 8 7 12 3 2

x3 3

2x 2 1 3

6

4 2

32

64 3

8

8 3

15 . 2 El área de la región es 15/2 unidades cuadradas. Trate de comprobar el resultado usando el procedimiento para hallar el área entre dos curvas, que se presentó en la sección 7.1. En este punto, usted se puede preguntar para qué se necesitan las integrales iteradas. Después de todo, ya sabe usar la integración convencional para hallar el área de una región en el plano. (Por ejemplo, compare la solución del ejemplo 4 de esta sección con la del ejemplo 3 en la sección 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas será más clara en la sección siguiente. En esta sección se presta especial atención a los procedimientos para determinar los límites de integración de las integrales iteradas, y el conjunto de ejercicios siguiente está diseñado para adquirir práctica en este procedimiento importante.

972

Integración múltiple

Capítulo 14

Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar.

14.1 Ejercicios

En los ejercicios 1 a 10, evalúe la in-

Evaluar una integral tegral.

x2

x

1.

2y dy

x

2.

0

x

2y

3. 1

y dx, x

4.

5.

6.

1

2 2

3y dy

x

y

y ln x dx, y > 0 x

ey

2

x2

y2

1

x3

9.

y2

1

8.

y2 d x

dy

0

1

x 0