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TD3 Phase d'une onde...

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2014-2015

SFT- L2 PHYS302 – Optique Ondulatoire

TD3 Phase d'une onde Différence de marche , retard et déphasage

entre deux ondes

Exercice 1 : Phase d'une onde progressive dans un milieu homogène à une seule dimension spatiale On considère une onde se propageant suivant l’axe (Oz) dans le sens des z croissants, dans un milieu homogène d’indice n. Son amplitude dépend a priori de l'espace et du temps comme s(z,t). A- Dans un premier temps la forme de l'onde est quelconque... 1- Traduire mathématiquement le fait que l'onde se retrouve « dans le même état vibratoire un peu plus tard et un peu plus loin », soit à t > t' et z > z', et préciser alors la relation existant entre z, z', t, t' et la vitesse v de propagation de l'onde dans le milieu. 2-

Montrer alors que si l'on connaît l'enregistrement temporel e(t') = s(z 0,t') en un lieu d'abscisse z' = z0 de l'axe (Oz) (où e(t') = « histoire en z0 »), on peut reconstituer l'histoire s(z,t) en tout autre lieu d'abscisse z de l'axe. En exploitant le lien entre z, z', t et t', exprimer s(z, t) en fonction de l'histoire en z0. Justifier cette expression a postériori, en rappelant la comparaison des graphes de deux fonctions f et g, telles que g(x) = f(x - a) Enregistrement temporel par 3- A partir de l'« enregistrement temporel au lieu z0 » le capteur situé en z = z0 e(t) = s(z0,t) présenté ci-contre, retrouver et e(t')=s(z0,t') dessiner ci-dessous les « photographies spatiales » D Smax successives de la corde Pi(z) = s(z , ti), B qui montrent la propagation de l'onde le long de E t' l'axe (Oz) en sens croissant. A C 0 On posera les abscisses zi = v.ti + z0, on placera les t2 t3 t4 points correspondants sur le schéma spatial où t1 dessiner les photographies, et on dessinera pour chacune l'allure de la corde en supposant qu'elle est cachée en amont de z0, donc pour z < z0. Photographies successives, prises à t = ti P (z) = s(z,t ) Comparer alors la forme des graphes obtenus pour i i ces « photographies spatiales Pi » et pour Smax l'« enregistrement temporel e(t') ». capteur En déduire une justification du signe « - » dans z l'expression du §2. z0 1

4- On suit un « point de l'onde » d'amplitude donnée, par exemple ici le premier maximum B qui se déplace avec l'onde elle-même. * Où se trouve B à l'instant ti : Exprimer la position zBi ? * Calculer la quantité t' B(z,t) = t – (z-z0)/v pour le point B, sur toutes les photographies Pi où il apparaît. Montrer que cette quantité reste constante dans l'expression s(z,t), ce qui explique que cela corresponde à une amplitude constante et donc toujours au même point B. * Que vaut la quantité semblable t'C définie pour l'autre point de l'onde noté C et repérant le minimum central ? * Interpréter cette valeur constante de t' pour un point donné, à partir de l'enregistrement temporel e(t'). 5- Comment peut-on interpréter la durée (z-z0)/v dans l'expression précédente ? En déduire son expression en fonction du chemin optique L(z) parcouru par l'onde entre z0 et z. Réexprimer alors t' en fonction de t, L(z) et c. B- Désormais l'onde est sinusoïdale. On suppose en effet que le capteur situé en z0 indique e(t') = Smax .cos( t' + ). La constante est nommée « phase de l'onde à l'origine, en (z0 ; t' = 0) ». Pour alléger les notations, on choisit désormais l'origine O de l'axe spatial en z0 donc z0 = 0. 6- Déduire de e(t') l'expression du signal s(z,t) en n'importe quel autre point d'abscisse z sur l'axe et à un instant t ultérieur à t', en fonction des caractéristiques de l'onde : Smax , et . 7- On définit une nouvelle grandeur nommée « nombre d'onde k de l'onde dans le milieu d'indice n » pour désigner le facteur ω/v . Remplacer dans s(z,t). On nomme également k0 le « nombre d'onde de la même onde dans le vide » (même pulsation ). Exprimer k0 et établir le lien entre k et k0. 8- Comment pourrait-on caractériser un point M se déplaçant avec cette onde sinusoïdale ? (Exemples d'un minimum, d'un maximum du signal s(z,t) … s'inspirer du §4 ci-dessus !) On définit désormais la « phase (z,t) » de cette onde par s(z,t) = Smax.cos( (z,t) ). Expliciter (z,t), expliquer pourquoi il s'agit bien d'un angle en radians, puis comment utiliser cette quantité pour désigner le point M choisi. 9- En exprimant la périodicité de la fonction « cosinus », retrouver les liens entre T et d'une part, et entre et k d'autrepart. Réécrire alors l'expression de la vibration lumineuse s(z,t) au cours du temps t et au lieu z, en fonction de la période T,de la longueur d'onde dans ce milieu et de la phase à l'origine . Relier et comparer à 0, longueur d'onde de la même onde si elle se propage dans le vide. En déduire aussi la relation existant entre la période T, la longueur d'onde et la vitesse v de l'onde dans le milieu. Pourquoi appelle-t-on v la « vitesse de phase » ? C – Calcul de différents déphasages 10- Déphasage entre deux points A et B d'une même onde, définis par leurs états vibratoires. Rappeler les valeurs de la phase Max d'un point d'amplitude maximum et celle Min d'un minimum de l'onde sinusoïdale. * Quel est le déphasage AB entre deux maxima A et B séparés par 4 oscillations ? Cela change-t-il au cours du temps ? Lequel est en avance sur l'autre ?

* Quelle distance dAB sépare ces deux points A et B à un instant donné ? * Quel délai AB sépare leurs passages en un lieu donné de l'axe ? 11- Déphasage entre deux situations (z1, t1) et (z2, t2) pour le passage d'une même onde : On pose la distance d = z2 – z1 et le retard = t2 – t1 entre ces situations. Ecrire l'expression générale du déphasage = 2 - 1 entre ces deux situations. a) On a suivi le même point A de l'onde : que vaut ? En déduire le lien entre d et . b) On fait une photo en t0 : les lieux z1 et z2 ne voient donc pas passer le même point de l'onde à t1 = t2 = t0. Calculer le déphasage ' entre les oscillations observées au lieu z1 et au lieu z2. , en fonction de d, puis du chemin optique L(z1 → z2). Application au cas où d = /4, et n = 1,5. c) On enregistre le signal en un lieu fixe z0 de l'axe. Ce sont donc bien deux points différents qui passent à t1 et à t2 sur le lieu z1 = z2 = z0 . Calculer le déphasage '' observé entre ces points. Application au cas où = T/2. 12- Déphasage entre deux points fixes de l'espace, situés sur le passage d'une même onde. * Faire un schéma représentant deux plans d’onde P 1 et P2, distants de d à l’instant t. * On notera 1 (r,t) et 2 (r,t) les phases associées à ces deux plans d’onde. Donner l’expression de chacune de ces phases. * Exprimer alors la différence de phase entre ces deux plans d’onde, en fonction du chemin optique L1,2 qui les sépare. * Si l’on note 0 la phase du premier plan d’onde, exprimer la phase du second plan d’onde en fonction de 0 . * Exprimer également le retard du passage de l'onde en P2 par rapport à celui en P1. 7 * Comparer l'état vibratoire de l'onde en P1 et P2 lorsque le déphasage vaut = 2 13- Déphasage entre deux ondes différentes arrivant en un lieu M par deux chemins optiques différents. On notera et ' les phases à l'origine des deux ondes W et W' émises par des sources différentes situées en O et O'. a) Exprimer les phases et ' de chaque onde en (z,t) en fonction des chemins optiques L(OM) et L(O'M), de et de ' . On notera la différence de marche : = L(O'M) – L(OM), et = ' – le déphasage à la source. b) Exprimer alors le déphasage entre ces deux ondes observées en M au même instant t. c) Comparer des états vibratoires des ondes W et W' en M selon leur déphasage (On pourra aussi comparer à la longueur d'onde 0). Interféreront-elles constructivement on destructivement ?

Exercice 2 : Généralisation pour la propagation d'une onde progressive dans un milieu à 2 ou 3 dimensions. 1) Comment peut-on écrire la phase  r , t  d'une onde plane si la position d'un lieu M dans  ? l'espace à 3 dimensions est désormais désignée par le vecteur r=OM On définira son vecteur d'onde  k en précisant sa direction et son sens, et on exprimera le fait que M appartienne à un plan d'onde donné par une condition sur un produit scalaire. 2) Même question pour une onde sphérique ? On s'attachera d'abord à écrire la condition explicitant que M appartienne à une surface d'onde. Comparaison à la situation précédente ? 3

Exercice 3 : Division du front d'onde Déphasage entre deux ondes planes ayant suivi des trajets différents. Une onde progressive plane se propage initialement dans un milieu d'indice n0 . Elle rencontre à l'aplomb du point I, et sur une portion seulement de son front d'onde, un milieu d'indice n, qu'elle aborde sous incidence normale, et qu'elle traverse sur une épaisseur e. L'onde est ainsi divisée en deux selon la ligne de séparation (z'z). On suppose que chacune des deux ondes reste plane, celle dans le milieu n0 comme celle dans le milieu n. Après passage en I' sur le dioptre de sortie, chaque onde se propage de nouveau dans le milieu homogène identique à celui du départ.

indice n

z'

I'

I

F'

z indice n0

1) Calculer les phases 0 et de chacune des deux ondes à l'aplomb du plan de sortie du milieu d'indice n. Dessiner les rayons lumineux, et dessiner les plans de tous les points en phase avec le plan d'onde à l'entrée (on prendra pour le dessin un rapport d'indices n / n0 = 1,5 et une épaisseur de 7 longueurs d'onde : e = 7. dans n0 ). 2) Expliquer ce qu'on appelle déphasage entre ces deux ondes sortantes, et leur différence de marche entre les deux trajets parcourus. Donner la relation entre et . Laquelle de ces deux ondes sort en retard sur l'autre ? Exprimer également le retard en fonction des grandeurs précédentes et de tout paramètre utile. Ces trois grandeurs varient-elles par la suite, au cours de la propagation rectiligne après I' ? 3) Calculer alors leur expression pour la situation étudiée, en fonction des indices n et n0 , et de l'épaisseur e. Exprimer également ce qu'on appelle l'ordre d'interférence p = . 4) A quelle condition sur p, sur ou sur les deux portions d'ondes sortent-elles en phase à l'aplomb de I' ? En opposition de phase ? Résumez vos réponses dans le tableau ci-dessous. Comparaison des ondes 1 et 2

: différence de marche Déphasage

Retard

p : ordre d'interférence

Observation en F' (cf §6)

Ondes en phase Ondes en opposition de phase Qu'en est-il, dans le cas de votre dessin de la question §1 ? 5) On place une lentille convergente (L) après I' sur le trajet de ces deux ondes, en prenant soin de la centrer sur la séparation (z'z) entre les deux ondes, et on regarde ce qui arrive en son foyer image F'. Cette lentille apporte-t-elle un nouveau déphasage entre les deux ondes planes, lors de la propagation entre I' et F' ? Pourquoi ? 6) Décrire alors ce que l'on peut espérer observer en F', selon les deux situations mentionnées à la question §4.

Exercice 4 : Amplitude complexe d'une onde. Utilité du déphasage. En remarquant qu'on peut réécrire, sous forme de la partie réelle d'un complexe, l'amplitude de l'onde W en M(z, t) ainsi : s(z,t) = Smax.cos( t – kz + ) = Re ( Smax.exp[ j.( t – kz + )] ), on peut retrouver l'amplitude complexe S(z) de la sinusoïde temporelle observée au cours du passage de l'onde au lieu z : S(z) est définie par s(z,t) = Re ( S(z) . exp [j t] ) . 1) Exprimer S(z) par identification, et préciser son module et son argument. 2) Adapter cette expression lorsque le trajet parcouru par l'onde depuis la source O jusqu'au lieu M est mesuré par son chemin optique L(OM). 3) Une seconde onde W' partie d'une autre source O', de même amplitude mais avec une phase à l'orgine ', a parcouru un chemin optique L(O'M) pour arriver au même lieu M que la première. a) Donner l'expression de s'(z, t) en M de la vibration lumineuse de cette seconde onde W'. b) Montrer qu'on peut exprimer simplement S'(z), en fonction de S(z) et du déphasage entre les deux ondes constaté au lieu M. 4) Sommer les deux vibrations lumineuses s(z,t) et s'(z,t) arrivant au lieu M en tenant compte de la relation précédente. Quelle amplitude complexe totale Stot(M) obtient-on ? 5) Expliquer l'influence du déphasage montré par cette dernière relation, en dessinant sur le cercle trigonométrique les points d'affixe 1 , exp(j. ) ainsi que leur somme. En déduire la valeur max (Stot)max et la phase à l'origine tot de la sinusoïde résultante des deux ondes, observée au point M au cours du temps. 6) Que se passe-t-il si les deux ondes n'ont pas la même amplitude ? S ' max et on reprend les questions §3 à §5... On pose : = S max

Exercice 5 :

(à chercher en temps libre, hors TD... )

Lieu des points de déphasage constant entre les ondes issues de deux sources ponctuelles synchrones (Trous d'Young). Deux sources ponctuelles S1 et S 2 sont situées symétriquement, chacune à distance a/2 d'un axe (Oz), où O est le milieu de S 1S2. Elles émettent chacune une onde sphérique sinusoïdale, de manière synchrone. Le milieu est d'indice homogène n, donc la propagation est rectiligne. 1- Définir la différence de marche (M) entre les deux ondes parvenant en un point M(x,y,z) quelconque de l'espace, puis l'exprimer en fonction des coordonnées de M. 2- Quelle allure possède le lieu des points où ces deux ondes ont un déphasage constant ?

5...