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Técnicas de graficación LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante traza la gráfica de funciones (incluyendo las seccionadas) utilizando las técnicas de graficación, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.

CONTENIDO

MOTIVACIÓN 1.1.

Técnicas de graficación • Reflexión con respecto al eje 𝑥 • Reflexión con respecto al eje 𝑦 • Alargamientos y compresiones verticales

1.2.

Practiquemos en clase • Ejercicios

1.3.

Practiquemos más en casa • Ejercicios

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Motivación Existen diversos métodos para graficar funciones, como el método simple de tabulación (no siempre adecuado) y otros más avanzados y precisos que utilizan conceptos de cálculo diferencial. También, a partir de la gráfica de una función y transformaciones como la traslación, reflexión, alargamiento o compresión de la gráfica es posible tener la gráfica de una nueva función de forma precisa y sobre todo simple.

TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN Reflexión respecto al eje 𝒙 La gráfica con ecuación 𝑦 = −𝑓(𝑥) es el reflejo (como un espejo) de la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto al eje 𝑥.

y = f (x)

y = - f (x)

Ejemplo: Usando las técnicas de graficación trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = −|𝑥| Solución:

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Paso 1: Función básica: 𝑓(𝑥) = |𝑥|

Paso 2: Reflexión respecto al eje 𝑥: 𝑓(𝑥) = −|𝑥|

Reflexión respecto al eje 𝒚 La gráfica con ecuación 𝑦 = 𝑓(−𝑥) es el reflejo (como un espejo) de la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto al eje 𝑦.

y = f (-x)

y = f (x)

Ejemplo: Usando las técnicas de graficación trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = √−𝑥 Solución:

En este caso tenemos una reflexión con el eje 𝑦. Para obtener la gráfica de y = − x a partir de la gráfica de 𝑦 = √𝑥 fijamos (por ejemplo) los valores 0 , − 1 y − 4 del eje 𝑥 y evaluamos de la siguiente manera: 𝑥

0

1 4

𝑦 = √𝑥 𝑦 = √0 = 0 𝑦 = √1 = 1 𝑦 = √4 = 2

𝑦 = √−𝑥 𝑦 = √−0 = 0, así tenemos (0; 0)

𝑦 = √−(−1) = 1, así tenemos (−1; 1) 𝑦 = √−(−4) = 2, así tenemos (− 4; 2)

Este proceso lo podemos hacer mental. Pero es importante que conozcamos tres o más puntos por donde pasa la función básica 𝑦 = √𝑥. Observe los puntos fijados en la gráfica siguiente:

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Alargamientos y compresiones verticales ✓ Si 𝑐 > 1, la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑐 . 𝑓(𝑥) es un alargamiento vertical en un factor de c respecto a la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). ✓ Si 0 < 𝑐 < 1, la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥) es una compresión vertical en un factor de c respecto a la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ejemplo: Trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 Solución: En este caso tenemos un alargamiento vertical. Para obtener la gráfica de 𝑦 = 2√𝑥 a partir de la gráfica de 𝑦 = √𝑥 fijamos (por ejemplo) los valores 0 , 1 y 4 del eje 𝑥 y evaluamos de la siguiente manera: 𝑥

0

1 4

𝑦 = √𝑥 𝑦 = √0 = 0 𝑦 = √1 = 1 𝑦 = √4 = 2

𝑦 = 2√𝑥 𝑦 = 2√0 = 0, así tenemos (0; 0) 𝑦 = 2√1 = 2(1) = 2, así tenemos (1; 2)

𝑦 = 2√4 = 2(2) = 4, así tenemos (4; 4 )

Este proceso lo podemos hacer mental. Pero es importante que conozcamos tres o más puntos por donde pasa la función básica 𝑦 = √𝑥. Observe los puntos fijados en la gráfica siguiente:

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Ejemplo: Usando las técnicas de graficación trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 1)2 + 5 Solución: Mostrar tres o más puntos de referencia para trazar la gráfica. Paso 1: Función básica: 𝑦 = 𝑥 2

Paso 3: Alargamiento vertical de un factor 2: 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2

Paso 2: Traslación horizontal de 1 unidades hacia la izquierda: 𝑦 = (𝑥 + 1)2

Paso 4: Reflexión respecto al eje 𝑥: 𝑦 = −2(𝑥 + 1)2

Paso 5: Traslación vertical de 5 unidades hacia arriba: 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 1)2 + 5 En la última gráfica debemos hallar corte con los ejes coordenados Corte con el eje 𝒙: (𝑦 = 0) −2(𝑥 + 1)2 + 5 = 0 (𝑥 + 1)2 = 5/2 = 2,5 𝑥 + 1 = ±√2,5 ⇒ 𝑥1 = −1 − √2,5 ; 𝑥2 = −1 + √2,5

Por lo tanto, los puntos de corte con el eje 𝑥 son: (−1 − √2,5; 0) y

(−1 + √2,5; 0).

Corte con el eje 𝒚: (𝑥 = 0)

𝑦 = −2(0 + 1)2 + 5 = 3 Por lo tanto, los puntos de corte con el eje 𝑦 es: (0; 3)

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PRACTIQUEMOS EN CLASE 1. Dadas las funciones con reglas de correspondencia:

1

b. 𝑔(𝑥) = 2√−𝑥 c. ℎ(𝑥) = − 𝑥+2 − 4 a. 𝑓(𝑥) = 5 − (𝑥 + 4)2 En cada una de ellas, describa los pasos que se deben seguir para graficar las funciones usando las técnicas de graficación. Nota: ✓ Comience identificando la función básica. ✓ En este ejercicio no debe graficar, solo debe describir cada uno de los pasos.

2. Usando las técnicas de graficación trace la gráfica de las siguientes funciones con reglas de correspondencia: c. ℎ(𝑥) = 1 + √−𝑥 a. 𝑓(𝑥) = 3 − |𝑥 + 2| b. 𝑔(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 − 1 En la gráfica final calcule e indique los puntos de corte con los ejes coordenados. 3. Trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = {

3 − |𝑥| si 𝑥 ≤ 1 2 si 𝑥 > 1 𝑥−1

En la gráfica final calcule e indique los puntos de corte con los ejes coordenados. RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS EN CLASE 1. a. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥 2 Paso 2: Traslación de 4 unidades hacia la izquierda 𝑦 = (𝑥 + 4)2 Paso 3: Reflexión respecto al eje x 𝑦 = −(𝑥 + 4)2 Paso 4: Traslación de 5 unidades hacia arriba 𝑦 = 5 − (𝑥 + 4)2

b. Paso 1: Función básica 𝑦 = √𝑥 Paso 2: Reflexión al eje y 𝑦 = √−𝑥 Paso 3: Alargamiento vertical en un factor de 2 unidades 𝑦 = 2√−𝑥 1

c. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥

Paso 2: Traslación de 2 unidades hacia la izquierda 𝑦 = 1

Paso 3: Reflexión respecto al eje x 𝑦 = − 𝑥+2

1 𝑥+2

1

Paso 4: Traslación de 4 unidades hacia abajo 𝑦 = − 𝑥+2 − 4

2.

a. Para graficar use técnicas de graficación, además los puntos de corte con el eje 𝑥 son (-5;0) y (0;1); el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;1).

b. Para graficar use técnicas de graficación, además los puntos de corte con el eje 𝑥 son (2,29;0) y (3,71;0); el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;17). c. Para graficar use técnicas de graficación, además el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;1).

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3. Para graficar use técnicas de graficación, además el punto de corte con el eje 𝑥 es (-3;0) y el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;3). PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA Resuelve los siguientes ejercicios y si tienes dudas aprovecha la asesoría virtual con tu profesor AAD para asegurar que tus soluciones son correctas y retroalimentar tu aprendizaje. 1. Dadas las funciones con reglas de correspondencia: a. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 2)2 − 1

b. 𝑔(𝑥) =

1 √−𝑥 2

c. ℎ(𝑥) = −|𝑥 + 2| − 3

+1

En cada una de ellas, describa los pasos que se deben seguir para graficar las funciones usando las técnicas de graficación. Nota: ✓ Comience identificando la función básica. ✓ En este ejercicio no debe graficar, solo debe describir cada uno de los pasos.

2. Usando las técnicas de graficación trace la gráfica de las siguientes funciones con reglas de correspondencia: b.

𝑓(𝑥) = 4 −

1

𝑥+2

b. 𝑔(𝑥) = 1 − 2(𝑥 + 1)2

c. ℎ(𝑥) = 2 − √−𝑥

En la gráfica final calcule e indique los puntos de corte con los ejes coordenados.

−(𝑥 + 3)2 ; 𝑥 < 1 −√𝑥 + 3 ; 1 ≤ 𝑥 En la gráfica final calcule e indique los puntos de corte con los ejes coordenados.

3. Trace la gráfica de la función con regla de correspondencia: ℎ(𝑥) = {

RESPUESTAS PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA 1. a. Paso 1: Función básica 𝑦 = 𝑥 2 Paso 2: Traslación de 2 unidades hacia la derecha 𝑦 = (𝑥 − 2)2 Paso 3: Alargamiento vertical en un factor de 3 unidades 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 Paso 4: Traslación de 1 unidad hacia abajo 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 − 1 b. Paso 1: Función básica 𝑦 = √𝑥 Paso 2: Reflexión al eje y 𝑦 = √−𝑥 Paso 3: Traslación de 1 unidad a la derecha 𝑦 = √−𝑥 + 1 1 Paso 4: Compresión vertical en un factor de 1/2 unidades 𝑦 = √−𝑥 + 1 2

c. Paso 1: Función básica 𝑦 = |𝑥| Paso 2: Traslación de 2 unidades hacia la izquierda 𝑦 = |𝑥 + 2| Paso 3: Reflexión respecto al eje x 𝑦 = −|𝑥 + 2| Paso 4: Traslación de 3 unidades hacia abajo 𝑦 = −|𝑥 + 2| − 3

2.

a. Para graficar use técnicas de graficación, además el punto de corte con el eje 𝑥 es (-1,75;0) y el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;3,5).

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b. Para graficar use técnicas de graficación, además los puntos de corte con el eje 𝑥 son (-1,71;0) y (-0,29;0); el punto de corte con el eje 𝑦 es (0; -1). c. Para graficar use técnicas de graficación, el punto de corte con el eje 𝑥 es (-4;0) y el punto de corte con el eje 𝑦 es (0;2)

3. Para graficar use técnicas de graficación, además los puntos de corte con el eje 𝑥 son (-3;0) y (9;0); el punto de corte con el eje 𝑦 es (0; -9). EJERCICIOS RESUELTOS EN VIDEO

Habilidad

Enlace

Trazar la gráfica de una función usando las técnicas de graficación.

https://tinyurl.com/y3dxw9xb

Describir los pasos que permiten graficar una función mediante las técnicas de graficación.

https://tinyurl.com/y2gssphg

Graficar una función seccionada usando técnicas de graficación.

https://tinyurl.com/y4tstkbb

Graficar una función usando técnicas de graficación.

https://tinyurl.com/y67hf53f

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MÁS EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS EN: Bibliografía básica: STEWART James, Redlin, Lothar; WATSON, Saleem y ROMO MUÑOZ, Jorge Humberto (2017) Precálculo: matemáticas para el cálculo. México, D.F.: Cengage Learning. (515 STEW/P 2017) TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN: Revisar páginas desde 198 hasta 203, Pág. 206 ejercicios: 1-16,19-28, Además, desde 207 hasta 209.

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