Tema 04. Series Numéricas PDF

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Apuntes Series Numéricas...

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Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ a tica Prof. Miguel Walker Ure˜ na

Dpto. Matem´ a tica Aplicada MA-1002: C´ a lculo 2 Ciclo 2-2015

Tema 4. Series Num´ericas [ versi´ on 0.6’, compilado el 12/10/2015]

Contenidos 1 Introducci´ on a las series num´ ericas

2

2 Criterios de convergencia 2.1 Series Geom´etricas y propiedades de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Series Telesc´opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Condici´on necesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Criterio de la integral y error de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 p-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Comparaci´on directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Criterio del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Criterio del l´ımite y equivalencia asint´otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Aplicando Desarrollos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Criterios de la Raz´on y de la Ra´ız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 La f´ormula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Criterio de Condensaci´on de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 11 13 15 19 22 26 26 32 36 39 40 41 43 44

Referencias

45

1

Tema 4. Series Num´ericas

1

2

Introducci´ on a las series num´ ericas

Definici´ on 1.1 (Serie Num´erica). Sea (an )n∈IN una sucesi´ on real, entonces la Serie Num´ erica de t´ermino general “an ” corresponde al l´ımite S = lim

m→∞

lo cual se suele denotar como S=

m X

an

n=0

+∞ X

an

n=0

Tambi´en es una serie num´erica +∞ X

an = lim

m→∞

n=k

m X

an

n=k

Adem´as, la suma parcial de la serie num´erica S es la sucesi´on de sumatorias Sm =

m X

an

n=0

que corresponde a la suma de los t´erminos an hasta el ´ındice n = m. En tal caso el resto o “cola” de la serie num´erica S es R m = S − Sm =

+∞ X

an

n=m+1

que corresponde a la diferencia entre el l´ımite S y la suma parcial Sm . Ejemplo 1.1. La serie S=

+∞ X

n=0

es la serie de t´ermino general an =

2n . 5n+1

2n 5n+1

Definici´ on 1.2 (Convergencia de la serie). La serie num´erica S=

+∞ X

an

n=k

es llamada serie num´erica convergente si existe y es finito el l´ımite lim Sm = lim

m→+∞

m→+∞

m X

an

n=k

En tal caso el valor num´erico del l´ımite anterior es llamado valor de convergencia o “suma de la serie”. Si el l´ımite es infinito o no existe, se dice entonces que la serie num´erica S es divergente. En otras palabras, la serie num´erica S es convergente si y solo si la sucesi´on Sm es convergente.

Tema 4. Series Num´ericas

3

Ejemplo 1.2. Considere la serie num´erica S=

+∞ X

n = 1+2+3+4+...

n=1

Note que

m X

n=1

entonces

n = 1 +2 +3 +··· +m = S = lim

m→+∞

m(m + 1) 2

m(m + 1) = +∞ 2

Por lo tanto la serie num´erica S es divergente. Ejemplo 1.3. Considere la serie num´erica S=

+∞ X (−1)n n=0

en tal caso

S0 = 1 S1 = 1 − 1 = 0

S2 = 1 − 1 + 1 = 1 S3 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 .. . o sea que Sm =

( 1

0

si m es par si m es impar

como la sucesi´on Sm es divergente, entonces S es una serie num´erica divergente. Ejemplo 1.4. Resuelva los siguientes ejercicios: (a) Demuestre por inducci´on que Sm =

m X 1 1 =1− m n 2 2 n=1

(b) Determine la convergencia de la serie S=

+∞ X

1 n 2 n=1

Soluci´ on: (a) Por inducci´ on sobre m = 1, 2, . . . m=1 1 X 1 1 1 = 1 = n 2 2 2 n=1

m → m+1

∧



1−

1 2m



m=1

=1−

1 1 = 2 2



X



Tema 4. Series Num´ericas

4

La hip´otesis de inducci´on y lo que hay que demostrar son de manera correspondiente:  m X 1 1   h.i : Sm =  =1− m  n 2  2 n=1     h.q.d :

Tenemos que

Sm+1 =

m+1 X n=1

Sm+1 =

m+1 X n=1

1 1 = 1 − m+1 2 2n

m

X 1 1 h.i 1 1 1 + = = 1 − m + m+1 2 2 2n n=1 2n 2m+1

luego Sm+1

  1 1 1 1 1 =1− m · 1− = 1 − m · = 1 − m+1 2 2 2 2 2



X



Se concluye por inducci´on matem´atica, que para todo natural m ≥ 1 m X 1 1 =1− m 2n 2

n=1

(b) Note que

  m X 1 1 =1−0=1 = lim 1 − m→+∞ m→+∞ 2m 2n n=1

S = lim

existe y es finito, por lo tanto la serie num´erica S es convergente. Adem´as el valor de convergencia de la serie S es 1.  Ejemplo 1.5 (Una serie num´erica para e). Recordemos que la funci´ on ex tiene f´ormula de Taylor ex = 1 + x +

xm eθ xm+1 x2 +··· + + , θ ∈ V (0, x) 2! m! (m + 1)!

Tomando x = 1 y cambiando de lado el resto de la f´ ormula obtenemos 1+1+

eθ 1 1 1 =e− + +··· + , θ ∈ V (0, 1) = [0, 1] 2 3! m! (m + 1)!

En otras palabras, tenemos que Sm =

m X eθ 1 =e− , θ ∈ [0, 1] n! (m + 1)! n=0

es la suma parcial de la serie num´erica S=

+∞ X

n=0

Luego

1 n!

eθ , θ ∈ [0, 1] m→+∞ (m + 1)!

S = e − lim

Tema 4. Series Num´ericas

Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 0 ≤

5

eθ ≤ m→+∞ (m + 1)! lim

lim

m→+∞ (m

e = 0, entonces + 1)!

S =e−0 =e As´ı tenemos una serie num´erica convergente de l´ımite e: +∞ X 1 =e n! n=0

Ejemplo 1.6 (Una serie num´erica para π). Recordemos que la funci´ on arctan(x) tiene f´ormula de Taylor arctan(x) = x −

x3 x5 (−1)m+1 x2m+3 (−1)m x2m+1 , + + − ··· + (2m + 3)(1 + θ)m+2 3 5 2m + 1

θ ∈ V (0, x2 )

Tomando x = 1 obtenemos la f´ ormula 1−

1 1 (−1)m+1 (−1)m , = arctan(1) − + − ··· + (2m + 3)(1 + θ)m+2 3 5 2m + 1

θ ∈ [0, 1]

O lo que es lo mismo m X (−1)n π (−1)m+1 , = − (2m + 3)(1 + θ)m+2 2n + 1 4 n=0

θ ∈ [0, 1]

Entonces +∞ X

π (−1)n (−1)m+1 = − lim , 2n + 1 4 m→+∞ (2m + 3)(1 + θ)m+2 n=0

1 1 ≤1 ≤ 1 =⇒ ∀m ∈ IN, (1 + θ)m+2 1+θ     (−1)m+1 1 1 = −−−−−→ 0 ≤ 0 ≤   m+2 m+2 2m + 3 m→+∞ (2m + 3)(1 + θ) (2m + 3)(1 + θ)

Como θ ∈ [0, 1] =⇒ Luego

Por lo tanto

θ ∈ [0, 1]

+∞ X (−1)n π π = −0= 4 2n + 1 4 n=0

Al final tenemos la siguiente serie num´erica convergente a π +∞ X

(−1)n

n=0

4 =π 2n + 1

Tema 4. Series Num´ericas

2

6

Criterios de convergencia

2.1

Series Geom´ etricas y propiedades de las series

Criterio 2.1 (Series Geom´etricas). Si r ∈ IR es una constante, entonces la serie num´ erica S = 1 + r + r2 + r3 + · · · + rn + . . .

es llamada Serie Geom´ etrica. Luego S es convergente si y solo si |r| < 1, o sea que S es divergente si y solo si |r| ≥ 1. Si |r| < 1, entonces 1 S= 1−r Nota 2.1. Para todo r ∈ IR \ {0, 1} se cumple que m X

rn =

n=0

por lo tanto, para todo r 6= 0, 1

S=

+∞ X

n=0

r n = lim

m→+∞

1 − r m+1 1−r

Entonces +∞ X

n

r =

n=0

1 − r m+1 1−r

 1   1 − r

+∞    ∄

 1−0   , si |r| < 1  1 − r  = 1 − ∞ , si r > 1   1−r    ∄ , si r ≤ −1 , si |r| < 1 , si r ≥ 1

, si r ≤ −1 1 . Adem´as r = 0 =⇒ 1 + r + r 2 + · · · + r m + · · · = 1 = 1+0 Lo cu´al verifica el criterio 2.1 Ejemplo 2.1. La serie S= es una serie geom´etrica convergente, pues S=

+∞ X

n=0

luego

S= Ejemplo 2.2. La serie

2 5

+∞ X n

2 5n n=0

n

∧

2 1 5

Tema 4. Series Num´ericas

7

Teorema 2.1. Considere una sucesi´ on real (an )n∈IN, en tal caso para toda constante k ∈ IN se cumple que +∞ +∞ X X an es convergente ⇐⇒ an es convergente n=0

n=k

o lo que es lo mismo

+∞ X

n=0

an es divergente ⇐⇒

+∞ X

an es divergente

n=k

Nota 2.2. El teorema anterior es justificado por la igualdad m X

an =

+∞ X

an =

n=0

k−1 X

an +

k−1 X

an +

n=0

m X

an

+∞ X

an

n=k

pues al aplicar l´ımites se obtiene

n=0

n=0

n=k

Teorema 2.2 (Cambio de ´ındice). Para todo k, ℓ ∈ IN y dada una sucesi´ on (an )n∈IN se cumple que +∞ X

an =

+∞ X

an =

+∞ X

an+ℓ

+∞ X

an−ℓ

n=k−ℓ

n=k

o lo que es lo mismo

n=k+ℓ

n=k

Nota 2.3. Para todo r 6= 0, 1 y dado k > 0, se cumple que m X

rn =

n=k

m−k X n=0

r n+k = r k ·

luego si |r| < 1, se cumple que

m−k X n=0

+∞ X

rn = rk ·

rn =

n=k

r k − r m+1 1 − r m−k+1 = 1−r 1−r

rk 1−r

Ejemplo 2.3. La serie num´erica S= es serie geom´etrica convergente pues S=

+∞ X n=3

luego S=



7 25

3

·

7 25

+∞ X

7n 52n n=3

n

∧

7 0 entonces la serie num´erica S=

+∞ X

(−1)n r n

n=k

es llamada Serie Geom´ etrica Alternada, en tal caso es convergente si y solo si r < 1 y divergente si y solo si r ≥ 1. Cuando |r| < 1 se cumplen las igualdades +∞ X

(−1)n r n =

n=0

1 1+r

∧

+∞ X

(−1)n r n =

n=k

(−1)k r k 1+r

Ejemplo 2.4. La serie num´erica S=

+∞ X

(−1)n · 2n 9n n=1

es una serie geom´etrica alternada convergente pues 2/9 < 1, cumpli´endose que  n +∞ X 2 2 1 2 9 2 n S= =− · (−1) · =− · =− 9 11 9 1 + 2/9 9 11 n=1 Teorema 2.3. Sean (an )n∈IN y (bn )n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR. Si se cumple que +∞ +∞ X X bn es convergente an es convergente ∨ n=0

n=0

entonces tenemos la igualdad

+∞ X

[ α · an + bn ] = α

n=0

+∞ X

an +

n=0

+∞ X

bn

n=0

Nota 2.5. Sean (an )n∈IN y (bn )n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR. (a) +∞ X

an es convergente

n=0

+∞ X

∧

n=0

bn es convergente =⇒

+∞ X

[α an + bn ] es convergente

n=0

En tal caso +∞ X

[α an + bn ] = α

n=0

+∞ X

n=0

an +

+∞ X

bn

n=0

(b) +∞ X

n=0

an es convergente

∧

+∞ X

bn es divergente =⇒

n=0

Calcule la suma en caso de ser convergente.

[α an + bn ] es divergente

n=0

Ejemplo 2.5. Analice la convergencia de la serie S=

+∞ X

+∞ X

3 · 4n − 1 3n+2 n=2

Tema 4. Series Num´ericas

9

Soluci´ on: Note que +∞ X

3 · 4n − 1 32 · 3n n=2  +∞ X  4n 1 = − 3 · 3n 9 · 3n n=2 +∞  n +∞ 1 X 4 1 X 1 = · − · 3 n=2 3 9 n=2 3n

S=

que es la suma de una serie geom´etrica divergente y de una serie convergente, pues 4/3 > 1 y 1/3 < 1, Luego S es una serie num´erica divergente.  Ejemplo 2.6. Analice la convergencia de la serie S=

+∞ X n−2

2

n=3

+ (−1)n+1 + 6 5n+1

Calcule la suma en caso de ser convergente. Soluci´ on: Tenemos que  +∞  1 X 2n−2 (−1)n+1 6 · + + n 5 n=3 5n 5n 5 # " +∞ +∞ +∞   X 1 X 2 n X (−1)n 1 1 − +6· = · 2· 5n 5 5n 2 n=3 5 n=3 n=3

S=

es suma de series geom´etricas convergentes, pues 2/5 < 1 ∧ 1/5 < 1, luego # "  3 1 1 1 (−1)3 2 1 1 1 · +6· 3 · − S= · 2· · 53 1 + 1/5 5 1 − 1/5 1 − 2/5 2 5 5   1 1 5 1 5 2 5 = · 3 · + 3 · +6· 3 · 5 3 5 6 5 4 5   1 3 2 1 = 3· + + 3 6 2 5 7 = 3 · 53 Ejemplo 2.7. Halle una representaci´on fraccionaria del n´ umero peri´odico 4.175 = 4.175175175 . . .



Tema 4. Series Num´ericas

10

Soluci´ on: Tenemos que 4.175 = 4 + 0.175 + 0.000 175 + 0.000 000 175 + . . . 175 175 175 +... =4+ + + 10003 1000 10002 +∞ X 1 = 4 + 175 · 1000n n=1 = 4 + 175 · 175 999 4171 = 999

1 1 · 1000 1 − 1/1000

=4+



Tema 4. Series Num´ericas

2.2

11

Series Telesc´ opicas

Criterio 2.2 (Series Telesc´ opicas). Si (bn )n=k, k+1, k+2, ... es una sucesi´ on real, entonces la serie num´ erica S=

+∞ X

n=k



bn − bn+1



es llamada Serie Telesc´ opica. Luego S es convergente si y solo si existe y es finito el l´ımite lim bm

m→∞

Adem´ as se cumple que +∞ X

n=k



 bn − bn+1 = bk − lim bm m→+∞

Nota 2.6. Si (bn )n=k, k+1 , k+2, ... es una sucesi´on real, entonces para todo m ∈ IN se cumple que m−1 X n=k



         bn − bn+1 = bk − bk+1 + bk+1 − bk+2 + bk+2 − bk+3 + bk+3 − bk+4 + . . .

      · · · + bm−3 − bm−2 + bm−2 − bm−1 + bm−1 − bm       = bk + − bk+1 + bk+1 + − bk+2 + bk+2 + − bk+3 + bk+3 + . . .     · · · + − bm−2 + bm−2 + − bm−1 + bm−1 − bm

= bk + 0 + 0 + · · · + 0 − bm = bk − bm

Note entonces que m−1 X n=k



 bn − bn+1 = bk − bm

Se concluye de lo anterior que, si b∞ = lim

m→+∞

+∞ X  n=k



bn − bn+1 = bk − b∞

∧

m−1 X n=k



bm entonces

∧

 bn+1 − bn = bm − bk

+∞ X  n=k

 bn+1 − bn = b∞ − bk

Ejemplo 2.8. Determine la convergencia de la serie num´erica  +∞ X 1 1 S= − n+3 n+4 n=4 En caso de ser convergente calcule la suma. Soluci´ on: Note que si

1 1 =⇒ bn+1 = n+4 n+3 por lo tanto S es una serie telesc´opica convergente pues  +∞ X  1 1 1 1  − lim S= = −0= bn − bn+1 = b4 − b∞ =  m→+∞ 7 n + 3 n=4 m+3 7 bn =

n=4



Tema 4. Series Num´ericas

12

Ejemplo 2.9. Determine la convergencia de la serie num´erica S=

+∞ X

ln

n=5



2n + 5 2n + 3



En caso de ser convergente calcule la suma. Soluci´ on: Por propiedades de los logaritmos, tenemos que S=

+∞ X

n=5



ln(2n + 5) − ln(2n + 3)



Note que si bn = ln(2n + 3) =⇒ bn+1 = ln[2(n + 1) + 3] = ln(2n + 5) por lo tanto S es una serie telesc´opica divergente pues S=

+∞ X  n=4

 bn+1 − bn = b∞ − b5

  = lim ln(2m + 3) − ln(2n + 3) m→+∞

n=5

= +∞ − ln(13) = +∞ Entonces la serie es divergente.



Tema 4. Series Num´ericas

2.3

13

Condici´ on necesaria

Criterio 2.3 (Criterio de la Condici´on Necesaria). Sea (an )n∈IN una sucesi´ on real, entonces: +∞ X

n=0

an es Convergente =⇒ an es Convergente ∧

lim an = 0

n→+∞

O lo que es lo mismo: lim an 6= 0 =⇒

an es Divergente ∨

n→+∞

+∞ X

an es Divergente

n=0

Nota 2.7. El criterio de la condici´ on necesaria es un criterio de divergencia nada m´as, es decir que no determina si una serie num´erica es convergente. Note entonces que si (an )n∈IN una sucesi´on real convergente, entonces lim an = 0 =⇒ No hay criterio para determinar la convergencia de

n→+∞

+∞ X

an .

n=0

Nota 2.8 (Sobre la condici´on de Cauchy). Dada (an )n∈IN una sucesi´on real, sean S=

+∞ X

an

∧

n=0

Sm =

m X

an

n=0

Tenemos que S

es convergente ⇐⇒ Sm es una sucesi´on convergente   ⇐⇒ ∀p ∈ IN, lim Sm+p − Sm = 0 ( Cond. Cauchy ) m→+∞   ⇐⇒ ∀p ∈ IN, lim am+1 + am+2 + · · · + am+p = 0 m→+∞

Como consecuencia se tiene que S

es convergente =⇒

lim

m→+∞

=⇒

n→+∞

am+1 = lim

m→+∞

lim an = 0

lo cual corresponde a la condici´on necesaria. Ejemplo 2.10. Determine la convergencia de la serie num´erica S=

+∞ X

n sen (4/n)

n=2

Soluci´ on: El coeficiente general de la serie num´erica S corresponde a an = n sen (4/n)

  Sm+1 − Sm = 0

Tema 4. Series Num´ericas

entonces

14

lim an = lim n sen (4/n)

n→+∞

n→+∞

sen(4x) , siendo x = 1/n x sen(4x) = 4 · lim+ x→0 4x =4·1 = 4 6= 0

= lim+ x→0

Se concluye entonces que S es divergente, pues no satisface la condici´on necesaria.



Ejemplo 2.11. Determine la convergencia de la serie num´erica S=

+∞ X

n=0



n+2 ln n+3



Soluci´ on: El coeficiente general de la serie num´erica S corresponde a     n+2 n+2 =⇒ lim an = lim ln an = ln n→+∞ n→+∞ n+3 n+3   n+2 = ln lim n→+∞ n + 3 = ln[1] =0 Luego el criterio de la condici´on necesaria NO concluye nada! ( NO hay criterio ). Por otro lado note que S es una serie telesc´ opica de manera tal que S=

+∞ X

n=0



ln(n + 2) − ln(n + 3)

= ln(0 + 2) − lim

m→+∞



ln(m + 2)

= −∞ En este caso tenemos que S es una serie num´erica que SI satisface la co...