Tema 1 - Concepto de sistemas dinámicos y estáticos PDF

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Concepto de sistemas dinámicos y estáticos...

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1.1 INTRODUCCIÓN Concepto de sistemas dinámicos y estáticos. Un sistema dinámico es aquél en el cual los “efectos” actuales (salidas) son el resultado de causas actuales y previas (entradas). En esta definición se introduce la noción de causa y efecto, que muchas veces se utiliza para describir los fenómenos de ingeniería y otros que no forman parte de esta disciplina. Es interesante observar que las ideas que se analizarán más adelante se aplican también a sistemas ajenos a la ingeniería. Un ejemplo esta en la población de un país o de una especie donde, en términos simples, el número presente (salida) es el resultado de los nacimientos y las muertes anteriores (entradas). La definición anterior difiere de la noción general de un sistema dinámico como aquél que está en movimiento, es decir, que cambia (normalmente de manera rápida) con el tiempo. Por lo general, en la mayoría de las poblaciones humanas el cambio parece ser muy gradual, ¡aunque el crecimiento de ciertas células y cultivos biológicos es otra cuestión! Del mismo modo, si bien la cantidad de dinero en un banco de cajeros automáticos puede permanecer fija durante el fin de semana, esta cantidad es producto de todos los depósitos y retiros ocurridos durante la semana laboral precedente. Un sistema estático es aquél en el que los efectos actuales (salidas) dependen solo de las causas actuales (entradas). En virtud de esta definición un sistema cuya salida cambia con el tiempo puede describirse como estático, siempre y cuando las entradas cambien en forma semejante. Observe que la escala de tiempo en la que se perciben los sistemas puede provocar una gran diferencia. Dado cualquier sistema es posible elegir una medición de tiempo lo bastante pequeña como para que el retardo inherente entre la entrada y la salida se convierta en algo apreciable, haciendo por tanto que el sistema aparente sea dinámico. En general, la elección de una escala de tiempo depende de los objetivos de la investigación del sistema. La figura 1.1 muestra un sistema de abastecimiento de agua que, por ejemplo, pudiera ser típico de una granja. Por ahora, sólo nos interesa el tanque y la válvula, como subsistemas o componentes. Si la presión en el tubo inmediatamente arriba de la válvula es la presión medida P, y la válvula se descarga a la atmósfera, entonces la caída de presión en la válvula es también P. Si la presión atmosférica es Po, la presión absoluta es (P+Po) de modo que la caída de presión es (P+Po)-Po. Si en este momento, se ignora la velocidad y la fricción del fluido en la tubería, P es proporcional a la densidad del agua ρ, y a la altura de la columna de agua.

Ρ= pg (h+H0 )

(1.1)

donde g es la aceleración de la gravedad, h y H0 se definen en la figura 1.1. Se ha supuesto que la parte superior del tanque está a la presión atmosférica (el tanque no esta completamente cubierto). La relación entre la caída de presión al cruzar una válvula y la razón de flujo volumétrico a través de la válvula es en general(para un flujo turbulento) de la siguiente forma

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(1.2)

Qsálida=C{P}1/2

Figura 1.1 Dinámica de un sistema de Abastecimiento de agua.

donde C es una constante empírica que representa la apertura y otras características de la válvula. Se supondrá que la apertura de la válvula es fija. Con base a la ecuación (1.1),

Q salida ( t) = C{(ρ g)[ h( t) + H0 ]}

1/ 2

(1.3)

Ya que son constantes todas las cantidades del lado derecho de la ecuación (1.3), excepto h, Qsalida y h guardan una relación algebraica. En otras palabras cualquier cambio en h se reflejará de inmediato con un cambio correspondiente en Qsalida. Así,se centra la atención en la válvula y la consideramos como el sistema, las ecuaciones (1.2) y (1.3) supondrán que la entrada es h o la presión P, la salida es el flujo Qsálida (observe que , en este caso, la caída de presión provoca un flujo), y la válvula un sistema estático. Aún cuando la caída de presión cambie, como sería el caso si se encendiera la bomba que eleva el agua desde el pozo hasta el tanque y aumentara el nivel h del tanque, el sistema según la definición seguirá siendo estático debido a que el flujo de salida actual Qsalida (t) continuaría dependiendo de la caída en la presión P(t), de acuerdo con las ecuaciones (1.2) o (1.3). Considere ahora el tanque como el sistema. Si se considera como entrada la razón neta de flujo de entrada (Qentrada - Qsalida), entonces la salida es el resultado en el cambio de nivel, o el propio nivel del cambio h. El nivel de agua en el tanque en cualquier momento es el resultado de todas las entradas y salidas anteriores de agua. Incluso si todas las operaciones se cerraran hoy, de manera que el nivel actual del tanque permaneciera constante, la cantidad de agua presente

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seguiría siendo el producto de todas las entradas y salidas ocurridas antes. Por lo tanto, el sistema es dinámico. Matemáticamente, la entrada y salida se relacionan a través del volumen del agua en el tanque: (1.4) t

Volumen(t ) = ∫{Qentrada (t ) − Qsalida (t )}dt +Volumen (0) 0

El volumen y el nivel de agua en el tanque guardan una relación algebraica:

h(t ) = Función algebraica del volumen (t)

(1.5a)

Observe que, en el presente análisis, el volumen de agua en el tanque es también una salida lógica para el sistema. Tal posibilidad de intercambio de variables se sugiere muchas veces, como se verá, cuando la relación entre ellas es estática – por ejemplo, la ecuación (1.5a). Para el caso especial en que la sección transversal del area del tanque A es independiente del nivel, (1.5b)

Volumen( t) = Ah( t) y se tiene entonces que t ⎛1⎞ h (t ) = ⎜ ⎟∫ {Qentrada (t ) − Qsalida (t )}dt + h (0) ⎝ A ⎠0

(1.5c) Operadores dinámicos básicos. El tanque de agua nos proporciona un modelo muy sencillo de un sistema dinámico básico conocido como integrador. A veces nos referiremos a un sistema dinámico como un “acumulador”. El tanque de la figura 1.1 “acumula” la entrada neta (flujo), que es positiva cuando el flujo de entrada supera al de salida. La acumulación es negativa cuando el flujo de salida es mayor que el de la entrada; sin embargo, el término sigue siendo aplicable. La integración especificada en la ecuación (1.5 c) se interpreta usualmente como el área bajo la curva de la figura 1.2. En este caso, es (1 / A) veces la diferencia entre el área bajo las curvas Qentrada y Qsalida , desde el momento cero hasta el tiempo presente t. Esto es la zona sombreada de la figura 1. 2. Con base en estos resultados es clara la dependencia del nivel actual h(t) respecto de las entradas anteriores.

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Figura 1.2 El tanque de agua Como un integrador.

El nivel presente del tanque ( h en el tiempo = t ) es como se muestra, ya que el tanque “recuerda” todos los flujos anteriores de entrada y salida. Así, nos referiremos también a un sistema dinámico como aquel que tiene memoria. Observe de nuevo que el nivel del agua en el tanque no ha cambiado en el periodo identificado como hoy, aunque el sistema es, en este contexto, dinámico. La palabra memoria describe a otro modelo de sistema dinámico básico, que llamaremos operador de retardo (en el tiempo). Un ejemplo de un operador de retardo es el abastecimiento de agua caliente en una mañana fría de invierno. Si se considera como entrada el acto de abrir la llave- el caudal de agua caliente sale del calentador en respuesta a la señal de la presión en el grifo y como flujo la salida de agua caliente que sale de la llave, entonces sabemos por experiencia que el agua caliente no aparece de inmediato al abrir la llave (el agua que sale del grifo no está caliente al principio).

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El agua fría se descarga de la tubería hasta que el agua caliente llega del calentador hasta el grifo. El tiempo que esto requiere es el período de retardo o retraso de transporte o tiempo muerto T, y es evidente que se trata de un sistema dinámico. En términos matemáticos, si el flujo de agua caliente desde el calentador se representa como Q (t), entonces el flujo de agua caliente del grifo esta dado por Q( t - T) es la misma que Q( t ), pero trasladada T unidades de tiempo a la derecha. Ambos operadores dinámicos básicos se ilustran en la figura 1.3.

Figura 1.3 Operadores dinámicos básicos.

1.2 DESARROLLO DE LA INSTRUMENTACIÓN INDUSTRIAL. La automatización de los procesos industriales a través de los años ha dado lugar a un avance espectacular de la industria. Todo ello ha sido posible gracias a una serie de factores entre los que se encuentran las nuevas tecnologías en el campo mecánico, la introducción de los computadores y sobre todo el control y la regulación de sistemas y procesos. La aparición de la microelectrónica y de los microprocesadores ha facilitado el desarrollo de técnicas de control complejas, la robotización, y otros aspectos como la implementación de sistemas de gobierno y la planificación. Todos estos elementos llevan consigo la reducción de costos, el aumento de la productividad y la mejora del producto.

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1.3 SISTEMAS DE CONTROL. Un sistema de control, es un conjunto de elementos interconectados que al recibir una señal cada uno de los elementos que constituyen el sistema, realizan una función específica, que es necesaria para que dicho elemento controle determinadas funciones del sistema. Diferentes pasos de un sistema de control: o Comparación de la señal medida o La desviación de la magnitud del valor prefijado, se envía al controlador o El controlador evalúa la desviación y da salida a una señal de corrección o Esta señal de corrección llega al elemento final de control (EFC) y respondiendo este a ella modificando las condiciones del proceso o Detección del cambio de magnitud bajo control, por los elementos primarios de medida o Transmisión de la variación de la magnitud de control al modelo de comparación. o La señal de entrada al controlador queda modificada en consecuencia.

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1.3.1

DIAGRAMA A BLOQUES DE SISTEMAS DE CONTROL.

Circuito de control abierto.

Figura 1.1.1 Circuito de control pre-alimentado.

Figura 1.2.1 Circuito de control retroalimentado.

Figura 1.3.1 Diagrama a bloques de sistemas de control

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1.3.2

SISTEMA DE CONTROL ABIERTO (LAZO ABIERTO). Maneja información pura, tiene control manual así como un control de tiempo.

1.3.3

SISTEMA DE CONTROL PRE-ALIMENTADO (LAZO CERRADO).

En contraste con el circuito de control abierto, una medición en la entrada permite hacer una corrección en los aditivos usados y obtener así el objetivo deseado. Este tipo de control se parece al circuito abierto en cuanto a la predicción, pero difiere en cuanto a que no tiene un programa fijo, sino que se regula de acuerdo a las necesidades, ya que cualquier cambio en la entrada produce una acción correctiva en el proceso, este tipo de control forma realmente un circuito cerrado en el que intervienen un instrumento de medición o sensor, un computador o controlador, un regulador de aditivos, y el proceso, los cuatro elementos ligados. 1.3.4

SISTEMA DEL CONTROL POR RETROALIMENTACIÓN.

Si para un sistema dinámico la salida presente depende de las entradas anteriores, entonces, al introducir las entradas apropiadas en el presente, es posible influir en la salida en un futuro inmediato. Las palabras clave son apropiado e influir. ¿Cómo se determina una entrada apropiada? ¿La influencia es importante, insignificante, buena o mala? Es razonable esperar que la especificación de la entrada adecuada requiera al menos de cierto conocimiento sobre el funcionamiento del sistema y que sea posible lograr los resultados deseados (la salida subsecuente) si se conoce la salida presente. Por lo general, la operación del sistema se representa con algún modelo de su comportamiento, y la determinación más directa de la salida presente es una medición. Considere de nuevo el abastecimiento de agua de la figura 1.1. Con base en el análisis anterior, es evidente que la operación del sistema del tanque de agua esta bastante bien determinada. Como lo demostró la ecuación (1.3), el flujo de un grifo, y ciertamente en cualquier punto en el que se emplee el agua, es una función del nivel del tanque de agua, h. Algunas de las aplicaciones del abastecimiento de agua (tomando una vez más la granja como ejemplo) pudieran ser bastante sensibles al flujo o presión de agua en el punto en el que se emplea. Las boquillas de presión para lavar el equipo o para limpiar los productos o los componentes del sistema de irrigación por aspersores son dos buenos ejemplos.

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Figura1.4 Control de lazo abierto de un sistema De abastecimiento de agua.

¿Cómo asegurar que el nivel del tanque de agua permanezca suficientemente alto y con regularidad adecuada para estas aplicaciones? Una manera sencilla, suponiendo que durante lapsos significativos el volumen de agua empleado en los diversos lugares es más o menos uniforme y predecible, y que es posible tolerar en las aplicaciones cierta variación en la presión, y por tanto en el desempeño, sería operar la bomba y llenar el tanque con el agua del pozo con base en cierto tipo de programa de tiempos. En la figura 1.4a muestra la forma en que el nivel real del tanque depende de la operación programada de la bomba o del nivel deseado del tanque. Si bien el programa de operación de la bomba puede deducirse de, por ejemplo, el análisis estadístico de los datos pasados del uso del agua en la granja, no hay nada en el esquema de control de la figura 1.4a que prescriba relación alguna entre una variable del tanque y la otra (en este caso, las variables son Qentrada y h. El término Qsalida se relaciona con h mediante el parámetro de apertura de la válvula, C, que en este caso se toma como una perturbación del sistema o entrada de perturbación). Ciertamente, si en algún momento la forma de usar el agua (la apertura equivalente de la válvula) debiera desviarse de manera significativa de aquél en el que se basa el programa de la bomba, el sistema de control fallaría u operaría muy deficientemente. Este tipo de esquema de control se conoce como control de lazo abierto. En la figura 1.4b se observa la estructura de un sistema de lazo abierto. La característica o variable específica del sistema, la salida que se desea controlar, se conoce como variable controlada, en tanto que la característica o variable que se determina por medio de la acción de control se conoce como entrada de control. De manera colectiva los elementos de control pueden ser llamados controladores, aunque, como se verá más adelante pueden encontrarse en otros subgrupos. Por lo general la entrada de referencia supone el valor deseado de la variable controlada. El lazo es abierto en el sentido de que la entrada de control no puede determinarse en términos de la variable controlada, es decir el controlador no prescribe una relación entre la entrada de control y la variable controlada.

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Estructura del control por retroalimentación. Otra manera de tratar el control de nivel del tanque de agua es tener un operador que encienda la bomba cada vez que el nivel del tanque baje del nivel de referencia y la apague de nuevo cuando el tanque sobrepase dicho nivel. Para facilitar el trabajo del operador, es posible conectar al tanque un sistema de medición y transmisión, y un indicador de nivel (TN e IN), y emplearlos para mostrar el nivel del tanque al operador (véase la figura 1.5a). El resultado es un sistema de control de lazo cerrado, ya que existe una relación prescrita (aunque de interruptor) entre el nivel del tanque y el flujo de entrada.

Figura1.5 Control manual y automático Del nivel del agua en el tanque.

El operador que observa el nivel del tanque proporciona la vía para cerrar el lazo. Sin embargo un sistema de control con un ser humano como un elemento del controlador es manual, es decir, no es automático. En una granja ocupada, en la que un empleado no se puede dedicar exclusivamente a la operación de la bomba, es obvio que tal control sería inadecuado o insatisfactorio. La figura 1.5b muestra un ejemplo de sistema de control automático (de lazo cerrado) para el nivel del tanque. En este caso, la comparación de la

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señal del nivel del tanque con el valor deseado ( que se proporciona al sistema como el punto de calibración y el encendido y apagado de la bomba lo realiza el equipo apropiado en el controlador. Sin embargo observe que los sistemas manuales y automáticos descritos arriba suponen: 1. Mantener (a pesar de ciertas interferencias externas) cierta relación prescrita de una variable del sistema con otra, empleando el resultado de una comparación entre estas variables; 2. Transmitir alguna señal o información desde una etapa posterior (salida) del sistema a otra previa (entrada); es decir, cerrar el lazo mediante una retroalimentación. El concepto que interviene aquí es el de control por retroalimentación. En el control por retroalimentación se utiliza una medición de la salida del sistema para modificar la entrada, de tal forma que la salida permanezca próxima al valor deseado. Existen muchos sistemas tanto de los que ocurren de manera natural como artificial, cuya operación apropiada depende del control por retroalimentación. Por lo general en todos los casos existe un instrumento de medición (sensor) o elemento de retroalimentación que mide la variable de salida o del sistema que interesa y transmite la medida a un controlador. Este compara la señal con el valor deseado o punto de calibración, y envía las instrucciones pertinentes al mecanismo actuador ( o elemento final de control) que a su vez actúa sobre el sistema u objeto de control (o planta), para adecuar las salidas subsecuentes (relación prescrita) con el punto de calibración. Lo que se ha descrito es la estructura típica de un control por retroalimentación ( o de lazo cerrado) (véase figura 1.6). Al comparar la estructura de control por retroalimentación que aparece en la figura 1.6 con la estructura de lazo abierto que aparece en la figura 1.4b, note que el actuador puede, dependiendo de las circunstancias, considerarse parte del controlador o de la planta. La entrada del actuador, procedente del controlador se conoce como variable manipulada. Con la estructura de control por retroalimentación como guía podemos analizar sistemas que sospechamos operan como sistemas de control por retroalimentación.

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La idea consiste en identificar componentes de un sistema, que funcionan como elementos de estructura del control por retroalimentación -controlador, actuador, objeto de control y sensor , así como establecer la variable controlada y el v...