Tema 1 y 3 Bases matemáticas PDF

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TEMA 1. NÚMERO NATURAL Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1. NÚMERO En las matemáticas escolares se usan los números para: • Valorar cantidades: -Magnitudes discretas: objetos -Magnitudes continuas: unidades de medida • Ordenar 2. TIPOS DE NÚMERO -Naturales: 1, 2, 3… -Enteros: -1, -2, -3, 1, 2, 3… -Racionales: ½, 1/3, 1 (1/1) -Decimales: 0.23, 0.78… Los decimales son solo racionales. -Reales: √2, Π… -Complejos: i = √-1 El Número no es igual que la cifra 123 – Nº; 1 – cifra; 2 – cifra; 3 – cifra 3. EMPAREJAMIENTOS O CORRESPONDENCIAS -Aplicación Biyectiva: cuando todos los elementos de un conjunto se corresponden con otros de otro elemento. -Aplicación Subyectiva: esto se da cuando falta algún elemento sin emparejar del primer conjunto. -Aplicación Inyectiva: cuando falta algún elemento sin emparejar del segundo conjunto 4. CARDINAL DE UN CONJUNTO El cardinal de un conjunto finito expresa el Nº de elementos que tiene. Se representa: #(A); n(A); card(A) Dos conjuntos con igual cardinal son coordinables entre sí. 5. NÚMERO NATURAL Un número natural es la idea que recoge lo común de los conjuntos coordinables entre sí. El número no es el signo, es la IDEA. A las representaciones del Nº se llaman numerales. 6. SÍMBOLOS Y SIGNOS Todos y cada uno de los conjuntos tiene asociado un valor numérico, que podemos representar mediante un símbolo y un nombre. Conjunto Símbolo Nombre 1 Uno 2 Dos 7. PROPIEDADES CARDINALES -Todo término de la secuencia numérica se obtiene añadiendo una unidad al anterior. -Todo número natural es mayor que los que le preceden. Estas dos propiedades son conocidas como el 2º y 3º axiomas de Peano 8. NOCIONES DEL Nº NATURAL -Cardinal: por emparejamiento de conjuntos coordinables entre sí -Ordinal: cada número se relaciona con el anterior. 9. USOS -Usos de la secuencia numérica: contar, ordenar, cronometrar. -Usos como cardinal: magnitudes discretas. -Etiquetar: matrículas, DNI, códigos de barras…

-Medir: magnitudes continúas.

10. CONTAR. PRINCIPIOS DEL CONTEO -Principio del orden estable: empezar en el 1 y seguir en orden. -Principio de correspondencia: a cada elemento se le asigna un número -Principio de biunivocidad: asociar a cada elemento una palabra. -Principio de cardinalidad: el último número da el cardinal del conjunto, es decir, el número de elementos del conjunto. -Principio de irrelevancia del orden: no importa el orden en el que seleccione los elementos del conjunto. -Principio de generalidad: todos los conjuntos finitos se pueden contar. 11. FORMAS DE CUANTIFICAR -Contar -Subitizar: contar de un golpe de vista, teniendo un referente. -Estimar -Calcular 12. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Los sistemas de numeración los constituyen un conjunto finito de signos o símbolos y reglas, que hacen posible representar los infinitos números naturales. Por ejemplo el sistema Babilónico está basado en la cardinalidad y el romano en la ordinalidad. Se usa el sistema sexagesimal para las horas y los grados. -Base: la base de un sistema de numeración es el número de unidades que se han de agrupar dentro de un orden para obtener una cantidad del orden inmediatamente superior. Sistema decimal – base 10 • Principios del sistema de numeración: -Se puede representar cualquier número de forma única con los signos definidos en el Sistema de numeración. -Los signos no solo representan unidades, sino grupo de unidades. -A cada uno de los grupos se les llama unidad de orden superior. -Al número de unidades que se agrupan para formar una unidad superior se le llama Base del Sistema de Numeración. -Cada unidad de orden superior representa una potencia de la base. • Características del sistema de numeración: -Principio aditivo: el valor de un número se obtiene como suma del valor de todos sus símbolos -Principio multiplicativo: utiliza nuevos signos para indicar las veces que se repite alguno de los símbolos, para evitar repeticiones. -Principio posicional: el valor de un signo o cifra es relativo, depende del lugar que ocupa en la escritura del número. Cada potencia de la base tiene asociado una posición. Es necesario el 0 para indicar las posiciones vacías. 13. SISTEMA DECIMAL -tiene base 10, es decir, tiene diez símbolos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. -Aditivo, multiplicativo y posicional. -Incluye el 0 para indicar las posiciones vacías. -Todo número puede expresarse como una suma de productos de potencia de la base y recibe el nombre de desarrollo polinómico.

TEMA 3. NUMEROS RACIONALES. 1. SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES -Fracción: es un par ordenado de números enteros, escritos a/b, con b distinto de 0, donde a es el numerador y b el denominador a) Parte-todo -En a/b se relacionan un todo con alguna parte -b son las partes en las que se divide el todo -a es el número de partes que tomo. Ej.: Las ¾ partes de la Tierra son agua. Aquí dividimos la unidad (Tierra) en 4 partes de las que 3 son agua. b) Reparto -a/b representa un reparto -a es lo que tengo que repartir del todo -b es las partes en las que reparto Ej.: Tres trozos de tela son trabajados por 5 sastres

- 3/5 c) Operador -a/b actúa sobre una situación inicial que lleva al estado final -La situación final se logra mediante multiplicaciones y divisiones -Se puede referir a ampliaciones o reducciones Ej.: Tomo 1/3 de la mitad que quedaba. 1/3 x ½ = 1/6 Vendió la mitad de ¾ de carne. ½ x ¾ = 3/8 Me tocan 2/3 de 10.000€. 2/3 x 10.000 = 20.000/3 d) Razón o proporción -a/b representa una relación entre dos cantidades -a es una cantidad y b es la otra cantidad Ej.: Uno de cada tres estudiantes es de familia numerosa. 1/3 El mapa está a escala 1:50.000. 1/50.000 Se mezclan 2 de azul con 3 de verde. 2/3 2. REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES -Simbólica: 1/5 -Representación pictórica o modelos -Verbal: la quinta parte 3. MODELOS • Modelo lineal: continua -La fracción es un punto en la resta o en el segmento -Se marcan el 0 y las unidades -Cada unidad se divide en tantas partes como indique el denominador -Empezando en el 0 se toman tantas partes como marque el numerador

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Modelo de área -La unidad es el área de una región plana -La fracción es una parte de esa área

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Modelo de conjunto -Discreto

4. TIPOS DE FRACCIONES -Fracción Unitaria: el numerador vale 1 -Fracción Propia: el numerador es menor que el denominador. ¾ -Fracción Impropia: el numerador es mayor que el denominador. 5/4 -Número Mixto: fracción impropia que se expresa como un número más una fracción. -Fracción Irreducible: numerador y denominador son primos entre sí. 4/5 -Fracción equivalente: aquellos que tienen igual fracción irreducible. Son fracciones que representan la misma cantidad, lo único que hay que hacer para buscarlas es multiplicar numerador y denominador por el mismo número. 2/6, 6/18, 1/3 son equivalentes. 5. OPERACIONES CON FRACCIONES • Suma -Propiedades: *Clausura *Asociativa *Conmutativa *Elemento Neutro: 0/n *Elemento simétrico: a/b = -a/b Ej.: 1/6 + ½ = 4/6

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½ hacemos el equivalente multiplicando por 3 Resta -Propiedades *Clausura *No es asociativa *No es conmutativa *Elemento Neutro: 0/n *Elemento simétrico: a/b = -a/b Ej.: 2/5 – ¼ = 3/20

Multiplicación -Hacer fracción de fracción Ej.: Obtener ½ de la cuarta parte

-Calcular el área de un rectángulo Ej.: ¿Cuál es el área de un rectángulo de lado 1/3 y ½?

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División -Resta repetida Ej.: ¿Cuántos 1/8 caben en ½? – ½ : 1/8

1/8 son 2 cuadraditos – cabe 4 veces -Producto cartesiano inverso Ej.: ¿Cuánto mide el lado si el área es 3/8 y el otro lado ½?

6. RAZÓN Y PROPORCIÓN. MAGNITUDES PROPORCIONALES Sean M y N dos magnitudes, a y b dos cantidades de M y una función. M y N son proporcionales si: - a es menor que b, entonces f (a) es menor que f (b) - f (a + b) es igual a f (a) + f (b) • Razón Par de números que expresa una comparación multiplicativa Ej.: En la proporción 30/18 = 5/x, ¿cuál es el valor de x? • Regla de Tres Igualdad entre razones -Directa: a/b = c/d -Inversa: a/b = d/c -Compuesta: combinación de Directa e Inversa 7. NÚMEROS DECIMALES -Número decimal: conjunto de números con entidad propia -Notación decimal: forma de representar números decimales. Fraccionar las partes de la unidad. Se usa la coma para separar números Ej.: 15,23€ = 15€ y 23 cént. = 1523 céntimos. • Ordenación y densidad -0.2 es mayor que 0.128

-1.005 es mayor que 0.15 • Relación notación decimal – fracción A toda fracción le corresponde una notación decimal -Decimal limitado: si se acaba la división -Decimal periódico: puede ser mixto o puto. • Obtener fracciones a partir del decimal -Limitado: el denominador es una potencia de 10 Ej.: 0.356 = 356/1000 = 89/280 -Periódico: eliminar el período Ej.: 2.35 α= 2.353535…; 100 α = 235.353535… 100 α – α = 233 99 α = 233 α = 233/99 -Período mixto: Ej.: 3.54 α = 3.54444…; 100 α= 354.4444… 100 α - 10 α = 319 90 α = 319 α = 319/90 •

Algoritmos con decimales...