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Topografía. Tema 2. Escalas, distancias y ángulos

TEMA 2. ESCALAS, DISTANCIAS Y ÁNGULOS 2.1.

ESCALAS

2.1.1. ESCALA NUMÉRICA Tanto un mapa como un plano, al ser representaciones exactas del terreno pero de dimensiones considerablemente menores a la superficie a la que representan, habrán de dibujarse de forma que constituyan una figura semejante, de tal modo que cualquier magnitud medida en el plano y su homóloga del terreno estarán en una relación de semejanza constante independientemente del plano en que se encuentren. Así, se denomina escala a la relación o razón de semejanza entre las distancias reales sobre el terreno y las distancias en su representación (mapa o plano). Para facilitar los cálculos, generalmente se toma esta razón de semejanza como un cociente en el que:   -

El numerador es la unidad. El denominador es, normalmente, un múltiplo de 100.

Ejemplos: 1:1.000, 1:25.000, 1:200.000, etc…

En cualquier escala, el denominador nos indica cuántas unidades del terreno son equivalentes a una unidad en la representación (mapa o plano). -

Ejemplo: Una escala 1:50.000 indica que 1 cm en el plano equivale o representa a 50.000 cm (500 m ó 0,5 km) reales del terreno, o, lo que es lo mismo, 1 m del plano representa 50 km reales del terreno.

Dos son los problemas que se nos plantean con el uso de las escalas: 1) dada una magnitud en el plano, deducir lo que representa en la realidad, y 2), dada ésta última, calcular su homóloga del plano. Para ello podemos establecer la siguiente fórmula:

1 P  D T -

siendo:

D: denominador de la escala P: distancia tomada sobre la representación T: distancia real existente sobre el terreno 1/D : escala

Aplicando la fórmula anterior, y conocidos 2 de los 3 valores, se puede calcular el tercero. EJEMPLOS: 1) En un mapa, realizado a escala 1:50.000, la distancia que separa 2 puntos es de 6 cm. ¿Qué distancia real separará a estos 2 puntos sobre el terreno?

2) La distancia sobre el terreno entre 2 puntos es de 4,5 km. ¿Qué distancia separará a ambos puntos sobre un mapa si éste está hecho a escala 1:30.000?

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3) Si la distancia que separa a 2 puntos en el mapa es de 6 cm, y sobre el terreno es de 300 m, ¿a qué escala está hecho el mapa?

4) Tenemos un plano a escala 1:300, en el que la distancia entre 2 puntos es de 10 cm. Realizamos una fotocopia reducida en la que la distancia que separa a los 2 puntos anteriores pasa a ser de 6 cm. ¿A qué escala estará la fotocopia reducida?

2.1.2. ESCALA GRÁFICA La escala gráfica es una representación de la escala numérica, de forma que con esta representación se puede medir directamente, sobre el plano o mapa, las distancias reales que separan a esos puntos en el terreno. Se obtiene a partir de una recta sobre el papel, que se divide en unidades equivalentes según la escala utilizada. Así, si la escala gráfica a obtener es la 1:50.000, tendremos que cada cm de la recta equivale a 500 m en la realidad.

Si se van a calcular distancias menores de 500 m, se toma a la izquierda del origen otro cm adicional, que se divide en 10 partes (1 mm cada parte), obteniendo divisiones de 50 m.

Para utilizar esta escala, por ejemplo en el caso de deducir en la realidad una magnitud del plano, se hace lo siguiente: con un compás se toma en el plano la magnitud cuya equivalencia en el terreno queremos hallar; se apoya una de las puntas del compás en la división exacta de la escala que corresponda para que la otra punta del compás caiga en la división de la izquierda del cero; la primera punta nos dará las centenas de metros, las decenas corresponderán al número de divisiones completas comprendidas entre el cero y la punta izquieda del compás, y las unidades se apreciarán, a la estima, en la última de las divisiones.

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2.1.3. ESCALAS MÁS FRECUENTES En general, para que un mapa pueda recibir el nombre de topográfico, es preciso que su escala no sea menor de 1:50.000, que es la utilizada en el Mapa Nacional. A la hora de comparar escalas, y dado que el numerador va a ser siempre la unidad, la escala será mayor cuanto menor sea el denominador. Así, cuanto más detalle necesitemos, menor tiene que ser el denominador de la escala, es decir, la escala será mayor. -

Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes escalas: 1:400, 1:25.000, 1:100, 1:15.000, 1:200.000 y 1:50.000. Solución: 1:100 > 1:400 > 1:15.000 > 1:25.000 > 1:50.000 > 1:200.000

Las escalas más frecuentemente utilizadas en los mapas son las siguientes: -

Mapas nacionales: 1:1.000.000 ó 1:500.000. Mapas autonómicos: 1:40.000 y 1:200.000. Mapas provinciales: 1:200.000. Otros mapas o planos: 1:100.000 – 1:50.000 – 1:25.000 – 1:10.000 – 1:5.000 – 1:1.000. Representaciones más detalladas: 1:500 – 1:250 – 1:100. En la Comunidad de Madrid:  Mapas de asociaciones de suelos, de productividad forestal potencial, de capacidad potencial de uso agrícola, mapa litológico: 1:200.000.  Mapas de cultivos y aprovechamientos: 1:200.000 (total) y 1:50.000 (por partes u hojas). 2.1.4. LÍMITE DE LA PERCEPCIÓN VISUAL. SU RELACIÓN CON LA ESCALA

Se admite que la vista humana normal puede alanzar a percibir sobre un papel magnitudes hasta 1/4 mm, con un error en la percepción no superior a 1/5 mm (0,2 mm). Es decir, que invariablemente existe un error de 0,2 mm, magnitud a partir de la cual dos puntos que están separados esa distancia los vemos juntos. Así, se conoce como límite de la percepción visual a la distancia a partir de la cual el ojo humano deja de percibir los dos puntos extremos de esa distancia, viendo un único punto. Este límite es, como acabamos de decir, de 0,2 mm. Significa que dos puntos separados por una distancia de 0,2 mm o menor, no pueden ser distinguidos por el ojo humano, que sólo percibe una fusión de ambos. El límite de percepción visual viene relacionado con la escala, ya que en función de ésta nosotros podremos distinguir o no dos puntos separados una cierta distancia en la realidad. En todos los casos, el producto de 0,2 mm por el denominador de la escala nos da la distancia en el terreno que resulta despreciable y por debajo de la cual no vamos a distinguir dos puntos representados en el mapa. Así, si trabajamos, por ejemplo, con una escala de 1:100, nosotros podremos distinguir dos puntos que se encuentren separados por 2 cm ó más (0,2 x 100 = 20 mm = 2 cm). Luego el límite de percepción visual de un plano a escala 1:100 son 2 cm. En cambio, en un mapa a escala 1:50.000, se podrán distinguir dos puntos separados en la realidad 10 m ó más (0,2 x 50.000 = 10.000 mm = 10 m).

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2.2.

DISTANCIAS

Para levantar un mapa o plano tendremos que medir unas magnitudes sobre un terreno, que serán de tipo lineal, superficial y angular. Para ello, nosotros vamos a utilizar siempre el Sistema Métrico Decimal, en el que la unidad de longitud es el metro (m) y la de superficie el metro cuadrado (m2). 2.2.1. UNIDADES DE LONGITUD 1 km = 10 Hm = 100 Dm = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm -

Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por 10. Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide por 10.

2.2.2. UNIDADES DE SUPERFICIE 1 km2 cm2 = -

= 100 Hm2 = 10.000 Dm2 = 1.000.000 m2 = 100.000.000 dm2 = 10.000.000.000 1.000.000.000.000 mm2 Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por 100. Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide por 100.

También se suelen emplear la hectárea, área y centiárea: 1 ha = 1 Hm2 = 10.000 m2

1 ha = 1 Dm2

1 ca = 1 m2

2.2.3. DISTANCIA NATURAL Y DISTANCIA REDUCIDA Como ya se ha comentado en otros momentos, cualquier punto del terreno que queramos representar viene definido por 3 coordenadas: longitud (meridianos), latitud (paralelos) y altitud. Al representar el terreno en una superficie plana (papel), esas 2 coordenadas se reducen a tan solo 2. También hemos comentado ya que la representación topográfica del terreno en planos acotados sobre el papel en mapas, planos y croquis se realiza proyectando, perpendicularmente, los diversos puntos del terreno sobre un plano horizontal de comparación P, de tal modo que un punto A se representa por su proyección a, un punto B por su proyección b y la recta AB por ab. Al ser el plano de comparación P horizontal, las distancias representadas en el plano también lo serán, y normalmente son menores que las distancias reales. Así, se denomina distancia natural a la distancia real entre dos puntos tomada sobre el terreno, mientras que la distancia reducida es la distancia horizontal que existe entre dos puntos del terreno; es decir, la distancia reducida es la representación de la distancia natural sobre un plano de comparación horizontal, y su medida viene dada por la proyección de los dos puntos entre los que se quiere medir la distancia. Siempre se tiene que cumplir: Distancia reducida ≤ Distancia natural. Serán iguales cuando los dos puntos entre los que queremos medir la distancia que los separa se encuentran situados en un plano horizontal (a la misma cota), así como todos los puntos de esa alineación entre ellos. Se denomina desnivel a la diferencia de cotas entre los dos puntos cuya distancia queremos medir. 2.2.4. CONCEPTO DE PENDIENTE Antes de continuar con el tema, es preciso antes establecer el concepto de pendiente, tanto entre dos puntos del terreno como del terreno en su conjunto.

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a)

Se denomina pendiente entre dos puntos del terreno (pendiente de una recta) a su inclinación respecto a un plano horizontal. Se puede expresar en porcentaje (%) o a partir del ángulo de elevación o depresión . La pendiente de la alineación AB se calculará midiendo el ángulo  formado en A, o bien aplicando la siguiente fórmula: B P

 C

BC AC

100 

Desnivel tg  Dist.reducida

A

Si la pendiente viene dada en %, indica que por cada 100 m horizontales que avancemos, subimos o bajamos el % dado. Por ejemplo, si es del 9%, quiere decir que por cada 100 m que avancemos en horizontal, subimos 9 m. Si la pendiente viene dada en forma de ángulo y queremos pasarla a %, se calcula la tangente del ángulo y se multiplica por 100. Por el contrario, se la tenemos en % y queremos pasarla a angular, habrá que calcular la arcotangente de la pendiente en tanto por uno.

b)

La pendiente del terreno es la máxima pendiente de dicho terreno, es decir, su línea de máxima pendiente (recta que une las curvas de nivel con menor distancia reducida). 2.2.5. MEDIDA DIRECTA DE DISTANCIAS

La medida directa de distancias se utiliza para cortas distancias, empleándose una cinta métrica que se extiende entre los puntos sobre los que queremos calcular la distancia que los separa. Hay dos métodos de cálculo, en función del valor de la pendiente: a) Pendiente ≤ 5%: La distancia se medirá directamente sobre el terreno, ya que el error que se comete se puede considerar despreciable. 5m

h2  c 2 c2

 25  10.000 100,1249m

100 m

100,1249  100 Error  100 0,1249% 100 b) Pendiente > 5%: La distancia se mide por el procedimiento de resaltos horizontales. Este método consiste en dividir la alineación a medir en varios tramos y en ir midiendo cada uno de esos tramos por separado. Se comienza en la parte más alta, midiendo con la cinta métrica, o mejor aún con una mira, colocada de forma completamente horizontal. Se coloca en el otro extremo una plomada y se determina hasta qué punto hemos medido la distancia, y que será el punto desde donde volveremos a empezar a medir. Se repite el método hasta llegar al punto final de la medición. La distancia total reducida que separa a ambos puntos será la suma de las distancias parciales medidas. 2.2.6. MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS Página 5 de 10

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Para utilizar este método de medida de distancias es necesario tener un aparato que disponga de un anteojo estadimétrico, como puede ser un nivel, teodolito o taquímetro. El procedimiento de la medida indirecta de distancias se basa en la semejanza de triángulos. A

C O

P

M

D

B

Al ser semejantes los triángulos OCD y OAB, se puede establecer la siguiente relación:

OP OM  CD AB La distancia que queremos medir, OM, será:

OP OM  AB CD Pero la relación OP/CD depende exclusivamente de las características constructivas del aparato, por lo que es una relación fija, que se conoce como constante del aparato (K). Luego:

OM K AB En la Escuela, el nivel tiene una constante K = 100. Así, siendo OM la distancia D a medir, queda:

D 100  AB Funcionamiento del nivel: El aparato a utilizar está formado básicamente por un anteojo estadimétrico montado sobre un trípode y con varias burbujas para comprobar la perfecta nivelación del mismo. En el anteojo estadimétrico y a una cierta distancia del ocular hay un cristal plano, con un hilo vertical y 3 hilos horizontales equidistantes; este cristal plano se llama retículo. La distancia del ocular al retículo es K veces mayor que la distancia entre los hilos extremos.

Además, necesitamos una mira, que es una regla dividida, generalmente, en metros, decímetros y centímetros. Suelen tener una longitud de 4 m, plegándose o desmontándose cada metro, o son telescópicas para facilitar el transporte. Las miras Página 6 de 10

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pueden ser directas o inversas, empleándose cada tipo según el aparato que vayamos a utilizar. También pueden ser parlantes o mudas, dependiendo de que vengan indicadas las numeraciones de las divisiones o no. En las miras los metros pueden indicarse por puntos o por números, pero siempre de color rojo. Los decímetros vienen indicados mediante su número en color negro. Los centímetros no vienen numerados, aunque sí representados. El procedimiento a seguir para medir la distancia del punto O al punto M es el siguiente: 1. Abrir las patas del trípode y colocar en el suelo, en el punto O. 2. Sacar de la funda el nivel y ajustarlo con el tornillo superior en la parte superior del trípode. Al situar el aparato es conveniente hacerlo de tal forma que la altura del anteojo sea aproximadamente la altura de los ojos del operador, para facilitar las lecturas. 3. Nivelar el aparato mediante las burbujas que lleva incorporado, por un lado porque las distancias que vamos a obtener son distancias reducidas y por lo tanto horizontales, y por otro lado porque para que los triángulos sean semejantes el retículo (CPD) tiene que ser paralelo a la mira (AMB), lo que se consigue situando la mira completamente vertical y la visual totalmente horizontal. Primero se ajusta en el centro la burbuja “grosa” moviendo las patas y el tornillo de ajuste del nivel. Posteriormente se nivela la ………… o burbuja de detalle. 4. Situar la mira en el punto M, cuya distancia al punto O queremos medir. 5. Una vez situado el aparato totalmente nivelado, dirigiremos una visual a la mira, graduando los ejes de la lente hasta marcar las unidades del metro. 6. Tomamos la lectura de los 3 hilos sobre la mira, con lo que podremos calcular la distancia AB como diferencia de lecturas entre los hilos extremos (hilo inferior – hilo superior). Así, la distancia que separa el punto O del punto M es:

D 100 ( hi  hs) En nuestro caso, vamos a utilizar un nivel y una mira inversa, puesto que nuestro nivel nos va a invertir la imagen. Y siempre hay que comprobar que el hilo medio realmente es la media aritmética de los hilos extremos, ya que son equidistantes. - Ejemplo: Al mirar a través del nivel sobre la mira vemos lo siguiente:

En este caso la lectura del hilo superior (hs) será de 125 cm, la del hilo medio 142 cm (hm) y la del hilo inferior (hi) de 159 cm.

2.3.

ÁNGULOS

2.3.1. DEFINICIÓN Página 7 de 10

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Se define ángulo como la porción de espacio limitada por dos líneas que se cortan. Los ángulos se pueden medir por diversas unidades, como los radianes y los grados, existiendo principalmente dos tipos de graduación: la sexagesimal y la centesimal. 2.3.2. UNIDADES a) Radianes: Es el arco cuya longitud es igual al radio. Una circunferencia tiene 2 radianes. Se cumple que: 1 radian = 3438’ = 206265’’ 1 radian = 63g,6620 b) Grados:



Sistema sexagesimal (grados º, minutos ’ y segundos ’’): Se consideran las siguientes equivalencias:

-

1 circunferencia = 360º Dividida en 4 cuadrantes (ángulo recto) de 90º. 1º = 60’ 1’ = 60’’



Sistema centesimal (grados g, minutos

m

y segundos s):

Se consideran las siguientes equivalencias: -

1 circunferencia = 400g Dividida en 4 cuadrantes (ángulo recto) de 100g. 1g = 100m 1m = 100s

2.3.3. MEDIDAS DE ÁNGULOS Los ángulos se pueden medir por distintos métodos en función del tipo de ángulo que queramos calcular: a) Ángulos horizontales: Son los proyectados sobre un plano horizontal. Se necesita un norte de referencia, así: -

Norte geográfico  Medimos azimutes. Norte magnético  Medimos rumbos.

Los instrumentos para medir ángulos horizontales son: -

Sobre una representación, mapa o plano: Con un semicírculo graduado o transportador de ángulos.

-

En la realidad:  

Mediante una brújula, por diferencia de los ángulos medidos. Mediante un aparato topográfico que tenga un sistema de medida de ángulos: nivel, taquímetro o teodolito.

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b) Ángulos verticales: Son los proyectados sobre el plano vertical. El punto que se encuentra en la vertical sobre nosotros es el Zénit, y el de la vertical bajo nosotros es Nadir. Así, los ángulos verticales son el ángulo cenital, ángulo nadiral y ángulo de pendiente, que podrá ser positivo o negativo. Los instrumentos para medir ángulos verticales son: -

Sobre una representación, mapa o plano: No se puede.

-

En la realidad:  

Mediante un clisímetro. Mediante un aparato topográfico que tenga un sistema de medida de ángulos verticales: taquímetro o teodolito.

2.3.4. CONVERSIÓN DE UN SISTEMA DE MEDIDA A OTRO. EJEMPLOS En algunas ocasiones vamos a necesitar pasar de ángulos sexagesimales a centesimales y viceversa. En estos casos tenemos que utilizar una relación de conversión de un sistema a otro. La relación de conversión va a depender de las unidades con las que queramos trabajar. a) Conversión de unidades centesimales a sexagesimales: 1. GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES: 100g ----------------- 90º Ag -------------------- Xº Xº = 0,9 x Ag

2. MINUTOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES: 100g = 10.000m ----------------- 90º x 60 =5.400’ Am ---------------------------------- X’

X' 

54 A m  0,54 A m 100

3. SEGUNDOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES: 100m = 10.000s ----------------- 54’ x 60 =3.240’ As ---------------------------------- X’’

X '' 

324 A s  0,324 A s 1000

b) Conversión de unidades sexagesimales a centesimales: 1. GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES:

X

g



100 A s 90

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