Tema 3 - Estimación puntual - Métodos de construcción de estimadores PDF

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Apuntes de la asignatura Estadística Económica II, GECO Universidad de Murcia, curso 2017/2018...

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Tema 3. Estimación Puntual: método de construcción de estimadores. Contenido Método de los momentos muestrales:................................................................... 2 Método de Máxima Verosimilitud........................................................................ 2 Propiedades: ...................................................................................................... 4

1

Método de los momentos muestrales: 6/3/2018

Método de Máxima Verosimilitud. Sea X~𝑓(𝑥, 𝜃); 𝜃 ∈ 𝛩 ; 𝜃 desconocido, y una m.a.s. (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ), obtener

𝜃(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 )~𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃); 𝑛 + 1 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.

𝜃~𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) que es una función de θ a la que llamaremos función de

Verosimilitud, 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃).

El criterio de 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) será buscar el valor de θ que maximiza la

probabilidad de la realización muestral que ha ocurrido. Este método es mejor que el de momentos bajo un supuesto: que la realización sea la más probable para estimar θ.

«Para cada valor de θ, la densidad de probabilidad para un valor x de la muestra, pues encontrar el θ que maximiza la densidad de probabilidad, de todos los posibles.» Obtención: El estimador 𝜃𝑀𝑉 es aquel que 𝑀𝑎𝑥. 𝐿 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)

𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃𝑀𝑉 ) = 𝑀𝑎𝑥. 𝐿 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)

1) Obtener la función de verosimilitud. 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = ∏ 𝑓 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = ∑{𝑃(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)} → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 2

𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) → 𝐿𝑛 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)

2) Convertir

porque

simplifica

las

operaciones y conserva los máximos y mínimos de la función original. 3) Calcular la derivada primera respecto de θ e igualar a cero para encontrar el óptimo.

𝜕𝐿𝑛 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) =0 𝜕𝜃 𝜃 = 𝜃(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )

4) Calcular la derivada segunda respecto de θ para comprobar si el óptimo hallado es un máximo o no lo es.

𝜕 2 𝐿𝑛 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) | < 0, estamos ante un máximo. 𝜕𝜃 2 𝜃=𝜃

Ejemplo 1: Sea 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎0 ) Obtener el estimador Máximo Verosímil de μ. 1) Construir 𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃): 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = ∏ 𝑓𝑛 (𝑥𝑖 , 𝜃) = ∏

1

𝜎0 √2𝜋

1 𝑥 −𝜇 2 − ( 𝑖 ) 𝑒 2 𝜎0

=(

1

𝑛

) 𝑒 𝜎0 √2𝜋

−

1 ∑(𝑥𝑖 −𝜇 )2 2𝜎0 2

2) Obtener el 𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)]:

1 𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜇)] = 𝐿𝑛1 − 𝑛 ∙ 𝐿𝑛(𝜎0 √2𝜋) − ( 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ) 𝐿𝑛 𝑒 2𝜎0 𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜇 )] = −𝑛 ∙ 𝐿𝑛(𝜎0 √2𝜋) − ( 3) Derivar respecto de μ e igualar a cero →

1 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 ) 2𝜎0 2

𝜕𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 ,𝑥2 ,…,𝑥𝑛 ,𝜃)] 𝜕𝜃

=0

𝜕𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜇)] 1 (∑ 2(𝑥𝑖 − 𝜇)(−1)) = =0− 2𝜎0 2 𝜕𝜇 =

1 1 (∑(𝑥𝑖 − 𝜇)) = (∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝜇) = 0; 2 𝜎0 𝜎0 2 ∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝜇 = 0; ∑ 𝑥𝑖 = 𝑛𝜇; 𝜇 𝑀𝑉=

∑ 𝑥𝑖 = X𝑛 𝑛

3

4) Comprobar si 𝜇 es un máximo→

𝜕 2 𝐿𝑛 𝐿(𝑥1 ,…,𝑥𝑛 ,𝜃)

𝜕 2 𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , , … , 𝑥𝑛 , 𝜇)] 𝜕𝜇2

𝜕𝜃2

|

𝜃=𝜃

0; 𝜃 > 0 𝜃 𝑥~𝐸𝑥𝑝(𝜆 = 1⁄𝜃 𝜆 = 1⁄𝜃)

Obtener el estimador Máximo Verosímil de 𝜃. Comprobar si es

insesgado, consistente y eficiente. Obtener el estimador Máximo Verosímil de 𝜃.

4

1) Construir 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃):

𝑛

𝑥𝑖 1 𝑥𝑖 𝐿(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃) = ∏ 𝑒 − 𝜃 1 𝑒 − ∑ 𝜃 𝜃 = 𝜃𝑛 𝑖=1

2) Obtener el 𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)]:

𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃)] = 𝐿𝑛1 − 𝑛𝐿𝑛𝜃 − ∑

3) Derivar respecto de 𝜃 e igualar a cero →

𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝐿𝑛𝑒 = −𝑛𝐿𝑛𝜃 − ∑ 𝜃 𝜃

𝜕𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 ,𝑥2 ,…,𝑥𝑛 ,𝜃)]

=0

𝜕𝜃

𝜕𝐿𝑛[𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝜃 )] 𝑛 𝑥𝑖 =− + ∑ 2 = 0; 𝜃 𝜕𝜃 𝜃 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑛 = 𝑛 → ∑ 𝑥𝑖 = 𝑛𝜃 ∑ 2= → 2 = → 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 ∑ 𝒙𝒊  𝒏 𝜽𝑴𝑽= =𝐗 𝒏

4) Comprobar si 𝜃 es un máximo→

𝜕 2 𝐿𝑛 𝐿(𝑥1 ,…,𝑥𝑛 ,𝜃) | 𝜕𝜃2 𝜃=𝜃...