Teorema Della Media PDF

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teorema generale media...

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Teorema della media

Analisi

enunciato

Se una funzione ฀฀(฀฀) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [฀฀, ฀฀] allora esiste almeno un punto ฀฀ appartenente all’intervallo chiuso [฀฀, ฀฀] tale che:

y=f(x) f(c)

฀฀

∫฀ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ = (฀฀ − ฀฀) ∙ ฀฀฀(฀฀)

c

a

b

dimostrazione

Osserviamo che le ipotesi sono le stesse del teorema di Weierstrass per cui la funzione è dotata di un punto di minimo e di massimo assoluto nell’intervallo:

∃

฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀

Per definizione di minimo e massimo assoluto, ฀฀ ≤ ฀฀ (฀฀) ≤ ฀฀ per ogni punto ฀฀ ∈ [฀฀, ฀฀] della funzione si ha che: ฀฀ Applichiamo ai tre membri della disuguaglianza � ฀฀ ฀฀฀฀ l’integrale definito tra gli estremi [฀฀, ฀฀] ฀ ฀

฀฀ ฀

∀ ฀฀ ∈ [฀฀, ฀฀] ฀฀

฀฀฀฀ ≤ � ฀฀ ฀฀฀฀ ≤ � ฀฀(฀฀)

฀฀

฀

= ฀฀ ∙ � ฀฀฀฀= ฀฀ ∙ (฀฀ − ฀฀ )

฀

฀

฀฀

Sostituendo nella disuguaglianza otteniamo:

= ฀฀ ∙ � ฀฀฀฀= ฀฀ ∙ (฀฀ − ฀฀)

฀

฀

฀

฀฀

฀฀ ∙ (฀฀ − ฀฀ ) ≤ � ฀฀(฀฀) ฀

Dividiamo i tre membri per (฀฀ − ฀฀). ฀฀ ∫ ฀฀(฀฀)฀ Osserviamo che il termine centrale è un valore ฀฀ ≤ ฀ (฀฀ − ฀฀) compreso tra il minimo ed il massimo. ฀฀ Per il teorema di Bolzano esisterà almeno un ∫฀ ฀฀(฀฀)฀ punto ฀฀ appartenente all’intervallo chiuso [฀฀, ฀฀] (฀฀ − ฀฀) tale che:

Moltiplicando entrambi i membri per (฀฀ − ฀฀) ottieniamo la tesi

฀

฀฀

� ฀฀ ฀฀฀฀ ฀

฀

฀฀

� ฀฀ ฀฀฀฀ Osserviamo che:

฀

฀

฀

฀฀฀฀ ≤ ฀฀ ∙ (฀฀ − ฀฀ )

฀฀฀฀

≤ ฀฀

฀฀฀฀ = ฀฀(฀฀)

฀฀

� ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ = (฀฀ − ฀฀) ∙ ฀฀(฀฀) ฀

฀

฀฀(฀฀) viene dettovalore medio di ฀฀(฀฀) in [฀฀, ฀฀ ]

v 2.6

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Analisi

Teorema della media significato geometrico del teorema della media

Riportiamo per comodità l’enunciato del teorema della media: Se una funzione ฀฀(฀฀) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [฀฀, ฀฀] allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo chiuso [฀฀, ฀฀] tale che: ฀฀

∫฀ ฀฀(฀฀)฀฀฀฀ = (฀฀ − ฀฀) ∙ ฀฀฀(฀฀) y=f(x)

Il primo membro del teorema è l’area del trapezoide di base l’intervallo [฀฀, ฀฀] e delimitato superiormente dal grafico della funzione ฀฀(฀฀ ). a

b

y=f(x) f(c)

Il secondo membro del teorema è l’area del rettangolo di base [฀฀, ฀฀] ed altezza ฀฀(฀฀ ). a

c

b y=f(x)

Da un punto di vista geometrico il teorema afferma che esiste almeno una posizione del punto c nell’intervallo [฀฀, ฀฀] tale che l’area del trapezoide risulta uguale all’area del rettangolo di base [฀฀, ฀฀] ed altezza ฀฀(฀฀).

f(c)

a

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c

b

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