Teoría-De- Errores PDF

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Una explicación con procedimiento, gráficos, objetivos y conclusiones sobre la teoría de errores ...

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TEORÍA DE LOS ERRORES

Peralvo Andrick, Toctaguano Erick, Yanza Cristian. Departamento de Física, Universidad de las Fuerza Armadas ESPE. Departamento de la Ciencias Tierra y Construcción

Resumen Mediante las indicaciones adecuadas, la recolección de datos en el laboratorio y los materiales de precisión fijados para diferente función como el calibrador – vernier para medir la altura, el tornillo micrométrico para medir el diámetro y la balanza para medir la maza del cuerpo, procedemos a calcular la densidad, tomando como base de datos 10 medidas de altura y diámetro para poder sacar un margen de error bajo y que el caculo sea lo más acertado posible. Palabras claves: Errores, cifras significativas, calibrador.

Abstrac Using the appropriate indications, the data collection in the laboratory and the precision materials set for different functions such as the calibrator - vernier to measure the height, the micrometer screw to measure the diameter and the balance to measure the body mallet, we proceed to calculate the density, taking as a database 10 measurements of height and diameter to be able to draw a low margin of error and that the calculation is as accurate as possible. Keywords: Errors, significant figures, calibrator.

I.

INTRODUCCIÓN

Mediante este informe se detalla los diferentes errores existente con tablas de apoyo, también se plantearan los objetivos, se redactara la fundamentación teórica, se detallaran los materiales utilizados y se conocerán los resultados que obtuvimos en base a la experimentación y practica realizadas en el laboratorio, basados en la teoría de errores Con la teoría de errores se puede dar a conocer los resultados más exactos de la experimentación ya que en toda clase de experimento siempre va a variar las muestras, y tomar diferentes muestreos nos evita accidentes futuros.

II.

OBJETIVOS

El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta (medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).

III.

MARCO TEÓRICO

La medición de distintas cantidades físicas que intervienen en determinado fenómeno físico es de vital importancia en la física Este procedimiento es frecuente en la física y se lo realiza mediante mediciones directas o indirectas. Las medicines directas serán aquellas cantidades que se obtienen directamente mediante la utilización de instrumentos de medición. b) Las mediciones indirectas se la obtiene a través de la medición de otras cantidades medida directamente, las cuales se expresan mediante ecuaciones matemáticas. a)

Debido a un conjunto de consideraciones físicas no es posible obtener el valor verdadero de una magnitud y en consecuencia es necesario asociar cierto grado de error. Existen factores como los errores sistemáticos: que se relacionan con los instrumentos, condiciones externas y personales, y los errores casuales: su causa no está perfectamente definida. Entonces la exactitud con que obtengamos cierta medición dependerá de la manipulación de estos

Δ X =Δ X S +Δ X a

factores y del método de medición que utilicemos, por lo tanto podemos afirmar que el valor numérico de cualquier medida es solo una aproximación.

Donde:

ΔXS

Si se efectúa un gran número de mediciones de la misma magnitud física, bajo las mismas condiciones, su representación gráfica será la de campana, esta será entonces la Curva de Gauss, cuya expresión es:

h −h x G= e √π 2

Donde:

h=

1 σ √2

Δ X a Es el error aleatorio que se lo calcula con técnicas estadísticas. b) Error aparente Es la diferencia entre la lectura y el valor más probable de ella. Generalmente expresa exactitud con la que se ha obtenido dicha lectura.

2

es el módulo de precisión

´ δ=Xi− X

Para datos mayores que 30 utilizaremos una distribución normar y el error cuadrático medio el

√

σ=

cual es:

n ∑ i=1

c)

( Xi− X´ ) n

2

√

Si admitimos como valor representativo de la cantidad medida el correspondiente máximo de la curva, veremos que este valor coincide con el promedio de todas las lecturas, en consecuencia este será el valor más probable.

d) Error porcentual (Ep) Refleja la precisión de una medida y no es sino el valor relativo multiplicado por cien y dependerá del valor numérico de la cantidad medida y de la apreciación del instrumento utilizado.

1 1 X´ = ( X 1 +X 2 + X 3+ …+ X n ) = ∑ Xi n n

TIPOS DE ERRORES a)

Error absoluto

Es un valor ∆ a que se sabe que es mayor que la diferencia entre el valor real y el aproximado

∆ a=|x−a | Δ X es la incertidumbre del valor Si representativo de un conjunto de mediciones y es igual

ΔX X´

Representa la incerteza que en la medición le corresponde a cada unidad y constituye una expresión de la calidad realizada con ese instrumento, esto es, la apreciación relativa de cada lectura.

´ )2 (Xi− X n s n−1= ∑ i=1 n−1

IV.

Error relativo (Er) Como el cociente probable entre la incertidumbre o error absoluto y el valor más probable.

Er=

Para datos menores que 30 podemos utilizar una distribución y podemos encontrar la desviación típica muestral.

Pero sabemos que ninguna medición es exacta, entonces será necesario determinar un intervalo de incerteza que debe estar relacionado con la calidad del proceso de medición.

Es el error sistemático y

Ep= ( Er ×100 ) % V.

PROPAGACIÓN DE ERRORES:

Cuando se tratan de mediciones indirectas, se presentan dificultades en cuanto se refieren al tratamiento que debe hacer con los errores experimentales Toda magnitud física directa quedara definida así:

´x ± Δx Pero si tenemos una función indirecta z que depende de algunas otras variables directas x, y, z, w,…decimos que z=(x,y,..) Entonces, esta cantidad indirecta se caracteriza de la siguiente manera.

Δz=

VI.

√(

)

( )

az 2 az 2 ⋅ Δ x2+ ⋅ Δ y 2+ … ⋅ ax ay

tornillo micrométrico y que sirve para medir las dimensiones de un objeto con alta precisión, del orden de centésimas de milímetros (0,01 mm) y de milésimas de

EQUIPOS Y MATERIALES Materiales: - Cuerpo de prueba Herramientas: - Calibrador – vernier - Tornillo Micrométrico - Balanza

milímetros (0,001mm). FFIGURA 4. La balanza es un instrumento de laboratorio que mide la masa de un cuerpo o sustancia química, utilizando como medio de comparación la fuerza de la gravedad que actúa sobre el cuerpo.

VII.

PROCEDIMIENTO a) Determine 10 veces, una misma magnitud lineal de la altura del cuerpo de prueba, utilizando para ello el calibrador – vernier.

FIGURA 1.

El cuerpo de prueba, es un objeto pequeño de metal y en forma de cilindro, al cual deberán analizarlo en sus diferentes magnitudes.

b) Determine

FIGURA 2.

c) Determine una vez, una magnitud de

10 veces, una misa magnitud lineal del diámetro del cuerpo de prueba, utilizando para ello el tornillo micrométrico.

la masa del cuerpo de prueba, utilizando para ello una balanza.

Calibrador o también llamado pie de rey es un instrumento de precisión usado para medir pequeñas longitudes. Cuando usted desee tomar una medida de precisión puede usar el nonio del calibrador con el fin de obtener una lectura con un margen de error de apenas una milésima de pulgada, el nonio es una reglilla que puede deslizarse sobre la escala base.

d) Registre los datos en las unidades que dan los instrumentos con las apreciaciones del instrumento en la hoja técnica de datos.

VIII.

TABLA 1. Datos de la altura. Medicione s n

FIGURA 3. El micrómetro Instrumento para medir con gran precisión cantidades lineales o angulares muy pequeñas, cuyo funcionamiento está basado en el

Lectura sx (m)

1

31,60

2

31,75

3

31,80

4

31,85

IX.

5

31,90

6

31,70

7

31,75

8

31,65

9

31,60

10

31,70

V =994.226 Densi m p= dad V kg / 0,00768 p(¿¿ p= 9.94226 ×10− ¿ p=0,077246

TABLA 5. Datos de la densidad experimental, y teórica y su error.

TABLA 2. Datos del diámetro. Mediciones n

X.

2

6,316

3

6,318

4

6,317

5

6,319

6

6,315

7

6,312

8

6,314

9

6,316

10

6,317

XII.

Lecturas x ( Kg)

1

0.00768

3

(m )

2

V =πh r 3,158 ¿ ¿ V =π . 31.73. ¿

DE

Substancia

7,7%

Metal

APRENDIZAJE

A.- ¿Considerando la teoría de mediciones y Propagación de errores, determine el volumen y la densidad del cuerpo de prueba con sus respectivos errores relativos, porcentuales y sus respectivas incertidumbres? Realizando los cálculos respectivos determinamos q el volumen del cuerpo de prueba aproximado es −4 3 y la densidad es 1,007 ×10 m

TABLA 4. Datos del cálculo del volumen y densidad con sus respectivas incertezas

X´

RESULTADOS OBTENIDOS

Error (%)

XIII. PREGUNTAS

Mediciones n

Experimental

kg / m (¿¿ 3) ¿ 0,0772

En resultado no se puede obtener valores exactos, existen herramientas con menor error que otras. Además los resultados muestran que aquel instrumento que posea menor error sistemático, el error de cálculo también será menor.

MAGNITUDES INDIRECTAS

Magn itud Volu men V

Experimental

0.0976 6,319

TABLA 3. Datos de la masa.

XI.

Teórico

Lecturas x (m)

1

V =1.025 ×10− m p= V −4 1× 10 p= 1.025 × 10− p=0.0976

Incertidumbre

∆X 2 V =πh r 0.0545 ¿ ¿ V =π . 0,1098 .

kg / m 0,119 (¿¿ 3). ¿

(las

tablas

están

en

los

ANEXOS 3 y 4) B.- ¿Qué entiende por Cifras Significativas y demuestre como las utilizo ene esta experiencia? Las cifras significativas de un número son las que aportan alguna información

En este caso utilizamos las cifras significativas para hallar una medida que se aproxime a un resultado. C.- ¿En un parámetro físico de medición directa si en lugar de 10 hiciera 100 mediciones , ¿qué efecto tendrían los errores aleatorios en sus resultados? La mayoría de las mediciones serian casi iguales ya que va a tener desde un rango mínimo hasta un rango máximo que las mediciones se repetirán varias veces

√

σn=

n ( Xi− ´X ) ∑ i=1 n−1

2

5. Error sistemático Es el error que posee todo instrumento, debido a que tiene una lectura mínima.

mientras más medidas mejor serán para calcular los errores. D.- ¿En qué criterios se fundamenta la Teoría de Errores y la Propagación de errores? El error de medición se define como la diferencia entre el valor medido y el "valor verdadero". Los errores de medición afectan a cualquier instrumento de medición y pueden deberse a distintas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan deterministas o sistemáticos y se relacionan con la exactitud de las mediciones. Los que no se pueden prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios y están relacionados con la precisión del instrumento. 1. Error de medida Es la diferencia entre el valor obtenido, al utilizar un equipo, y el valor verdadero de la magnitud medida.

6. Error estadístico Este error es el que se genera al realizar dos o más mediciones de una magnitud física. El Error estadístico se puede calcular al igual que la desviación estándar.

7. Combinación de errores sistemático estadístico o Error efectivo

y

Este error representa una combinación de los errores principales de medición, el sistemático y estadístico.

2. Valor verdadero Es el valor ideal que se obtendría al utilizar equipos de medición perfectos.

8. Error relativo

3. Valor Medio o Valor promedio

Este error resulta del cociente entre el error efectivo y el valor medio.

Como su nombre indica es un promedio aritmético, o media aritmética, de un conjunto de medidas realizadas a una determinada magnitud física. 9. Error relativo porcentual

4. Desviación estándar o Error cuántico medio

σ n da una idea global acerca de la dispersión ´ . Si la de los X alrededor del promedio X distribución es ancha σ n será grande y si es afilado su valor será pequeño.

Este error es definido para otorgar un mejor significado al error relativo. Por tal motivo es el error relativo expresado en porcentaje.

10. Propagación de errores Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en

forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro. Para un caso general, supongamos que V es una función de los parámetros, x, y, z, etc.

Además x, y, z se midieron directamente. Entonces

El angstron (Å) es una unidad de longitud típica de los sistemas atómicos que equivale a 10-10m. La determinación de la posición de un electrón con una precisión de 0,01 Å es más que razonable. En estas condiciones, calcular la indeterminación de la medida simultánea de la velocidad del electrón. (Dato: la masa del electrón es 9,1096 · 10-31 Kg). Solución: Según el principio Heisenberg,

de se

indeterminación de tiene:

E.- ¿Averigüe en qué consiste el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, ponga un ejemplo de medición aplicando el principio? W. Heisenberg (Premio Nobel de Física 1932) enunció el llamado principio de incertidumbre o principio de indeterminación, según el cual es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. Esto significa, que la precisión con que se pueden medir las cosas es limitada, y el límite viene fijado por la constante de Planck.

: Indeterminación en la posición : Indeterminación en la cantidad de movimiento

h: constante de Planck (h=6,626 · 10-34 J · s) Es importante insistir en que la incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida, sino del propio hecho de medir. Con los aparatos más precisos imaginables, la incertidumbre en la medida continúa existiendo. Así, cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de estas magnitudes mayores será la incertidumbre en la medida de la otra variable complementaria. La posición y la cantidad de movimiento de una partícula, respecto de uno de los ejes de coordenadas, son magnitudes complementarias sujetas a las restricciones del principio de incertidumbre de Heisenberg. También lo son las variaciones de energía ( E) medidas en un sistema y el tiempo, t empleado en la medición.

EJEMPLO

Si se supone que la masa del electrón está bien definida y es m = 0,91096 · 10-30 Kg

Puede observarse, a partir de este resultado, como conocer la posición del electrón con una buena precisión (0,01 Å) supone una indeterminación en la medida simultanea de su velocidad de 2,1 · 108 Km · h-1, es decir, la indeterminación en la medida de la velocidad del electrón es del mismo orden, o mayor, que las propias velocidades típicas de estas partículas.

XIV.

CONCLUSIONES

Se concluye con éxito la obtención de los resultados, cabe recalcar que los cálculos tuvieron que realizarse con total exactitud, para no tener una alteración máxima y que los resultados cuadren con lo esperado, todo fue de gran ayuda, ya que se trabajó en equipo y la comprensión fue muy basta en los integrantes del grupo.

XV. 

RECOMENDACIONES Manejar de forma adecuada las herramientas para obtener las medidas



 



Utilizar de manera adecuada las herramientas para realizar un trabajo con ética Realizar más de 10 medidas del diámetro como el de la altura Al momento de calcular los resultados, tener cuidado de no equivocarse ya que eso alterara los resultados a obtenerse Trabajar en equipo para que el conocimiento sea equitativo.

.

XVI. BIBLIOGRAFÍA https://sites.google.com/site/laboratoriodefisicaifiluz/prac ticas-de-laboratorio/practica-no-1/instrumentos-demedicin/el-tornillo-micromtrico

http://webpersonal.uma.es/~jmpeula/teoria_de_erro res.html https://www.fisicalab.com/apartado/cifrassignificativas-y-redondeo#contenidos http://miciencia.info/mecanica/puj/Cifra/E rrores.htm https://www.monografias.com/trabajos84/teoriaerrores/teoria-errores.shtml

ANEXOS ANEXO 1 Cuerpo de prueba: cilindro Mediciones Lecturas Xi n

Magnitud: altura Valor Probable X

1 2 3

0,09959 0,100 0,100

31,60 31,75 31,80

Desvió

ɓ=X− X 31,50041 31,65 31,7

Desví o2

ɓ2 (m 2 ) 9,923* 10−4 1,0017* 10−3 1,00489* −3

10 4 5

31,85 31,90

0,100 0,100

31,75 31,8

1,0081* 10−3 1,01124*

10−3 6 7 8 9 10 n=10 Δ X s=¿ 0,01

31,70 31,75 31,65 31,60 31,70 ΣX=317,3 ∆ X a =0,0998

0,0999 0,100 0,0997 0,09959 0,0999

31,6001 31,65 31,5503 31,50041 31,6001 Σɓ=316,30132 ∆ X =¿ 0,109 Er=3,497*

8 X ± ∆ X=¿

0.0999

9,986* 10−4 1,0017* 10−3 9,954* 10−4 9,923* 10−4 9,986* 10−4

∆ ɓ2 =0.01 Ep=0,35

−3

10

± 0.1098

ANEXO 2 Cuerpo de prueba: cilindro Mediciones Lecturas Xi n

Magnitud: Diámetro Valor Probable Desvió ɓ=X− X X

Desvi o2

1

0,100

38,68

6,319

6,219

ɓ2 (m 2 )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10

6,316 6,318 6,317 6,319 6,315 6,312 6,314 6,316 6,317 ΣX=63,163

Δ X s=¿ 0,01

0,099 0,100 0,100 0,100 0,099 0,099 0,099 0,099 0,100

6,217 6,218 6,217 6,219 6,216 6,213 6,215 6,217 6,217 Σɓ=62,168

∆ X =¿ 0,10

∆ X a =0,099

38,65 38,66 38,65 38,68 38,64 38,60 38,63 38,65 38,65 2 ∆ ɓ =¿ 386,

49 Ep=110.1

Er=1,101

9 X ± ∆ X=¿

0.099

±

0.109

ANEXO 3 Cuerpo de prueba: Cilindro Mediciones n

Magnitud: Masa

Lecturas x ( Kg)

Desvío

Valor probable

X´ (Kg)

Desvío2 δ2(kg2)

´ δ=Xi− X (Kg)

1

0.00768

0.00768

0

�x=0.00768

n=1

∆ X S=1 ×10

−4
<...