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LABORATORIO FISICA MECANICA

LAURA DANIELA BOTERO CARRERO /COD 7304352

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL BOGOTÀ D.C 2020

Practica No. 1 Práctica No. 1: Teoría de errores Objetivos a) Conocer los tipos de errores y su clasificación en un trabajo experimental, con el fin de aprender técnicas para minimizar éstos. b) Mediante el empleo de instrumentos de medida de precisión obtener una serie de datos experimentales donde se aplicará la teoría de errores. Procedimiento Si el número de datos experimentales lo representamos por �, � representa los valores de la variable física a medir, � es el promedio matemático de los valores, �� es el valor más aproximado al verdadero o resultado de la medida, ∆�0 representa el error de apreciación que, para experimentadores principiantes, se tomará como la mitad de la mínima división de la escala de lectura y � el error estándar, se tiene que: Cuando � = 1 entonces �� = � ± ∆�0 Para � ≤ 10 entonces �� = � ± ∆� donde, ∆� = si � > 1 entonces �� = � ± ∆� entonces �� = � ± 3� El promedio se calcula mediante la ecuación � = ∑ �� � y el error estándar � = √ 1 �−1 ∑|� − �� | 2

Resumen Este informe es tan solo un conjunto rápido y breve sobre las reglas fundamentales más usadas y los tipos que existen en la teoría de errores. Se conoce como teoría de errores al conjunto de reglas matemáticas, es tan necesario sacar todo el partido posible a un conjunto de datos experimentales como para evaluar la certeza de los mismos. Es necesario estimar un error cometido al efectuar una medida o series de medida.

Introducción Cuando se trata de determinar el valor de una magnitud, el número que se obtiene como el resultado de las medidas no es el valor exacto de dicha magnitud, si no que estará afectado por un cierto error debido a múltiples factores. Hablando en términos generales, se llama error de una medida a la diferencia entre el valor obtenido y el valor real de la magnitud medida. Si, repitiendo la experiencia, medimos varias veces la misma magnitud, obtendremos cada vez un valor distinto y se nos plantea el problema de decidir cuál de todos los valores hallados es el que ofrece mayores garantías de exactitud. A la resolución de este problema se encamina el contenido de este laboratorio. El que inicia su contacto con la experimentación, debe dejar de lado la idea de que puede obtener el valor exacto de una magnitud física. La premisa fundamental de la que se debe partir es que la exactitud total es inalcanzable. Con este punto de arranque y con la ayuda de la teoría de errores, las conclusiones deberían ir surgiendo solas a lo largo de la realización de las practicas, siendo alguna de ellas:  El resultado de una medida es de poco valor si no se conoce su precisión.  La precisión de una medida puede ser en si misma objeto de estudio.  El diseño de un experimento incluye el estudio previo de los errores que se cometerán.

MARCO TEORICO

Teoría de Errores La teoría de errores nos da un método matemático para calcular con una excelente aproximación una determinada cantidad de medida, a la cual la definimos como el valor real, aunque no sepamos el verdadero valor Para hablar de una medida precisa debemos de eliminar la mayoría de los errores sistemáticos y los errores casuales deben ser muy pequeños y este nos permite dar resultado con un gran número de cifras significativas.

Tipos de Errores de Medición Se clasifican en errores casuales y errores sistemáticos

 Errores Casuales o Aleatorios: Son aquellos que cada instante tienen presencia de cualquier magnitud física en la medición, siendo imposible obtener la causa de estos errores.

 Errores Sistemáticos Cuando calculamos errores se repiten constantemente en el transcurso de un experimento o bien durante una particular serie de medidas, se dice que los errores están presentes de manera sistemáticas efectuando así los resultados finales siempre en un mismo sentido.

Precisión La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos de otros.

Exactitud La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero.

Desviación Estándar La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?" La varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. Sensibilidad La sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Así, si la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada la balanza no presenta ninguna desviación. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división m s pequeña de la escala de medida.

Propiedades • Será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. • Si a todos los valores de la variable se suma un numero de desviación estándar no varía. • Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación estándar queda multiplicada por dicho número. Error absoluto y error relativo El error absoluto en una medida x de determinada magnitud es la diferencia entre dicho valor y el valor verdadero de la medida; se notará por ∆x y, por tanto, su expresión es:

donde x0 representa el valor verdadero de la medida. El error absoluto cuantifica la desviación en términos absolutos respecto al valor verdadero. No obstante, en ocasiones es más interesante resaltar la importancia relativa de esa desviación. Por ello, se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero; notándolo por ε su expresión es:

y suele expresarse porcentualmente sin más que multiplicar por 100.

Expresión del error En Física, presentar una medida experimental significa dar el valor de dicha cantidad y expresar cuál es su error; no tiene sentido establecer un determinado valor si no se acota debidamente el mismo. Así, la expresión correcta de una medida debe ser:

Dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste siempre se expresa con una única cifra significativa, es decir, con el primer dígito por la izquierda distinto de cero; este número ser redondeado por exceso en una unidad si la segunda cifra significativa es 5 o mayor de 5. Este convenio de expresión del error encuentra dos excepciones: que la primera cifra significativa sea un 1 o que siendo la primera un 2, la segunda no llega 5; en estos casos, el error vendrá dado por las dos primeras cifras significativas, procediéndose al redondeo de la segunda en el mismo sentido que ya se ha explicado. Hay que resaltar que el valor de una magnitud debe tener el mismo orden decimal que el error absoluto. Esto es razonable dado que no tendría sentido encontrar el valor de una magnitud con un grado de precisión superior al del error de la medida. Así, no podemos medir décimas de milímetro con una regla cuya sensibilidad es del milímetro. Finalmente, se acepta como criterio que, si el valor de una medida es leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se tomará como error una unidad del orden de la última cifra con que se expresa; por ejemplo, si en una tabla aparece que el valor de una medida es de 0.056 sin ninguna

indicación de error, se conviene en que el mismo es de ±0.001. En la siguiente tabla se dan distintos ejemplos.

Determinación de errores en medidas directas. Como ya se ha explicado, cuando se realice la medida de cualquier magnitud hay que indicar el error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor verdadero de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimación del mismo y de su cota de error. Con el fin de alcanzar cierta validez estadística en los resultados de las medidas es muy conveniente repetir varias veces su determinación; por convenio, se ha establecido en 3 este número mínimo. No obstante, es posible que en alguna ocasión no tenga sentido llevar a cabo estas repeticiones, en cuyo caso se considera que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. En el caso habitual, cuando son 3 las medidas tomadas, pueden presentarse poco o muy dispersas y en función de esta dispersión ser conveniente aumentar o no el número de determinaciones del valor de la magnitud. Para decidir número determinaciones del valor de una magnitud física que se desea medir se sigue el

siguiente procedimiento: se realizan las 3 mediciones xi de la magnitud en cuestión y se calcula su valor medio:

A continuación, se determina su dispersión D, esto es, la diferencia entre los valores extremos de las medidas:

Finalmente, se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que viene dado por:

Con estos parámetros se pasa al siguiente cuadro que establece la casuística que puede darse; S representa la sensibilidad del aparato de medida, D6 es la dispersión para seis medidas y N el número de medidas necesarias en cada caso. Así, por ejemplo, si se ha obtenido que la dispersión es mayor que la sensibilidad y el tanto por ciento de dispersión está comprendido entre el 2% y el 8%, son necesarias 6 medidas; el valor verdadero queda establecido en la media aritmética de las 6 medidas y su error corresponde al máximo de entre la dispersión de las seis medidas dividido por 4 o la sensibilidad.

Si se han realizado 15 o más medidas, en realidad se está buscando que el conjunto de las mismas sea una distribución gaussiana o normal, en cuyo caso, el error que se considera corresponde con el error cuadrático medio (ECM) o desviación standard; el significado de este parámetro puede encontrarse en cualquier volumen de estadística básica, aunque podemos sintetizarlo de forma cuantitativa como sigue. En el intervalo:

se encuentra el 68,3% de las medidas realizadas en una gran serie de las mismas. De igual forma, es posible demostrar que en el intervalo:

se encuentra el 95,4% de las medidas realizadas. Por último, en el intervalo:

se encuentra el 99,7% de las medidas realizadas en una gran serie de las mismas.

Determinación de errores en medidas indirectas.

Como ya se ha indicado, la medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida. Debe tenerse muy presente que si en la expresión matemática que relaciona las magnitudes aparecen números irracionales (tales como π o e) se deben elegir con un número de cifras significativas que no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar. En cualquier caso, esta elección determinará el valor del error asignado a dicha constante; en muchas ocasiones, sobre todo cuando se trabaja con calculadora u ordenador, lo más conveniente es tomar todos los decimales que aparecen para el número en cuestión: de esta manera, su error es muy pequeño y puede despreciarse frente a los del resto de las magnitudes que intervengan. El procedimiento para determinar el error de la medida hecha de manera indirecta es el siguiente. Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionadas con ellas por la expresión genérica:

Supongamos, además, que se han realizado medidas de las variables, xi, y se han determinado su valor y su error. Se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables xi:

A continuación, se asimilan las diferentes diferenciales a los errores absolutos y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, el error mayor posible; así, se tomarán los valores absolutos de las derivadas parciales con el fin de tener una suma de términos positivos. Por tanto, el error en F viene dado por:

En el caso en el que la función considerada sea de la forma:

con αi constantes positivas o negativas, se presenta una notable simplificación si se procede a tomar logaritmos neperianos antes de llevar a cabo el análisis anterior. En efecto, si se lleva a cabo esta operación se tiene que:

de donde, obteniendo su diferencial:

Ahora, teniendo en cuenta la diferencial del logaritmo neperiano, se concluye que:

Finalmente, asimilando de nuevo los diferenciales totales a los errores absolutos se obtiene:

que en función del error relativo quedaría:

El siguiente ejemplo sirve para ver de forma práctica las actuaciones descritas hasta aquí. Supongamos que se quiere determinar el volumen de un cilindro; para ello, puesto que este parámetro viene dado por:

se procederá a calcular el radio r y la altura h del cuerpo. Supongamos que tales valores son r = 5.00 ± 0.05 y h = 100.0 ± 0.5. Entonces, el volumen vale V = 7853. 9816…. Para expresar correctamente este resultado hay que determinar cuánto vale su error; así, se calcula el valor de la diferencial de V:

y se sustituyen los diferenciales por errores:

de donde obtenemos que ∆V = 196.34954.... Por tanto, el resultado de la medición del volumen es V = 7900 ± 200.

TRATAMIENTO DE LOS DATOS En muchas ocasiones, los resultados obtenidos de los datos se interpretan mejor con ayuda de una representación gráfica. Además, este procedimiento muestra una tendencia que permite estimar los valores en otros puntos diferentes a los experimentales o demuestra una determinada relación matemática entre las variables representadas. Por ello, conviene exponer el método de ajuste de datos más frecuente, el de mínimos cuadrados, y resumir las características que debe tener una buena gráfica. Para acabar, es muy posible que a menudo encontremos datos en unas tablas y no se encuentre en ellas el valor exacto en el que estamos interesados; para tal fin, se exponen las reglas de interpolación básica en tablas de simple o doble entrada.

ANEXOS

PRECISION Y EXACTITUD

TEORIA DE ERRORES

ACTIVIDAD

En el laboratorio se midió con el calibrador la longitud y con el tornillo micrométrico el diámetro de la cabeza a 30 puntillas. Estas 9.6mediciones se presentan a continuación:

PUNTILLAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

TORNILLO PIE DE REY MICROMETRICO LONGITUD (mm) DIAMETRO (mm) 9.40 4.22 9.85 4.25 9.80 4.11 9.60 4.03 9.50 4.26 9.70 4.29 8.70 4.1 9.80 4.24 10.00 4.04 9.00 3.44 9.55 4.11 9.40 4.03 9.60 3.54 9.40 3.35 9.40 3.70 9.55 3.41 9.15 4.12 9.10 3.36 9.45 3.52 9.00 3.74 9.10 4.10 9.00 3.58 8.90 3.77

24 25 26 27 28 29 030

8.70 8.30 9.10 8.70 9.00 9.60 9.10

3.55 3.45 3.34 3.15 3.41 3.49 3.40

1. Con estos datos, realice la actividad que se encuentra en la guía de laboratorio, tanto para la medición realizada por el calibrar y otra para el tornillo micrométrico. Debe tomar datos para � = 1, � = 9 y � = 30 2. Tomar 10 datos de puntillas de longitudes y diámetros diferentes, y presentan esta medida con ayuda de los simuladores. Deben tomar imagen donde registre la medida de cada una de las diez puntillas utilizadas. SOLUCION

PUNTO NUMERO 1 PARA N=1 PUNTILLA No 1 (LONGITUD 9.40 mm) pie de rey xv=9.40 ± 0.05 9.35 mm−¿ ¿

9.45mm)

(DIAMETRO 4.22mm) tornillo milimetrado xv=4.22± 0.01

4.21 mm−¿ ¿

4.23mm)

PARA N=9 PARA PIE DE REY PUNTILLA 2 PUNTILLA 3 PUNTILLA 4 PUNTILLA 5 PUNTILLA 6 PUNTILLA 7 PUNTILLA 9 PUNTILLA 10 PUNTILLA 18

9.85 mm 9.80 mm 9.60 mm 9.50 mm 9.70 mm 8.70 mm 10.00 mm 9.00 mm 9.10 mm

0 ¿ X v ´x =Δ x ¿ Δ x0

Δ x0= ´x =∑

x1 n

=

xmax − xmin 2

10.00− 8.70 2

= 0.65

=9.47 promedio

TORNILLO MILIMÉTRICO PUNTILLA 2

4.25 mm

PUNTILLA 3 PUNTILLA 4 PUNTILLA 5 PUNTILLA 6 PUNTILLA 7 PUNTILLA 9 PUNTILLA 10 PUNTILLA 18

4.11 mm 4.03 mm 4.26 mm 4.29 mm 4.1 mm 4.04 mm 3.44 mm 3.36 mm

0 ¿ X v ´x =Δ x ¿ Δ x0

Δ x0= ´x =∑

x1 n

=

xmax − xmin 2

4.29 −3.36 2

= 3.98 promedio

PARA N=30 PARA PIE DE REY

= 0.465

PUNTILLAS

X

X-XI

X-XI^2

1

9,4

-0,12

0,0144

2

9,85

-0,57

0,3249

3

9,8

-0,52

0,2704

4

9,6

-0,32

0,1024

5

9,5

-0,22

0,0484

6

9,7

-0,42

0,1764

7

8,7

0,58

0,3364

8

9,8

-0,52

0,2704

9

10

-0,72

0,5184

10

9

0,28

0,0784

11

9,55

-0,27

0,0729

12

9,4

-0,12

0,0144

13

9,6

-0,32

0,1024

14

9,4

-0,12

0,0144

15

9,4

-0,12

0,0144

16

9,55

-0,27

0,0729

17

9,15

0,13

0,0169

18

9,1

0,18

0,0324

19

9,45

-0,17

0,0289

20

9

0,28

0,0784

21

9,1

0,18

0,0324

22

9

0,28

0,0784

23

8,9

0,38

0,1444

24

8,7

0,58

0,3364

25

8,3

0,98

0,9604

26

9,1

0,18

0,0324

27

8,7

0,58

0,3364

28

9

0,28

0,0784

29

9,6

-0,32

0,1024

30

9,1

0,18

0,0324

9,28166667

x ´x =∑ 1 n

=9.28

∑|´x − x i|

2

4,7225

=4.722

√

σ=

=

√

1 (4.722) 29

=0.4035

2 1 Σ | ´x −X 1| n−1

Δ x =3 σ

=1.2105

PARA TORNILLO MILIMETRICO PUNTILLAS X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

´x =∑

x1 n

X-XI 4,22 4,25 4,11 4,03 4,26 4,29 4,1 4,24 4,04 3,44 4,11 4,03 3,54 3,35 3,7 3,41 4,12 3,36 3,52 3,74 4,1 3,58 3,77 3,55 3,45 3,34 3,15 3,41 3,49 3,4 3,77

=3.77

X-XI^2 -0,45 -0,48 -0,34 -0,26 -0,49 -0,52 -0,33 -0,47 -0,27 0,33 -0,34 -0,26 0,23 0,42 0,07 0,36 -0,35 0,41 0,25 0,03 -0,33 0,19 0 0,22 0,32 0,43 0,62 0,36 0,28 0,37

2

∑|´x − x i|

0,2025 0,2304 0,1156 0,0676 0,2401 0,2704 0,1089 0,2209 0,0729 0,1089 0,1156 0,0676 0,0529 0,1764 0,0049 0,1296 0,1225 0,1681 0,0625 0,0009 0,1089 0,0361 0 0,0484 0,1024 0,1849 0,3844 0,1296 0,0784 0,1369 3,7492

=3.749

√

σ=

2 1 Σ | ´x −X 1| n−1

=

√

1 (3.749) 29

Δ x =3 σ

=0.3595

=1.0786

PUNTO NUME...