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Ing Yamil Armando Cerquera Rojas [email protected] TEORÌA DE ERRORES1 Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – [email protected] Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila – Julio 2008 Contenido LISTA DE FIGURAS.............................................

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TEORÌA DE ERRORES1 Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – [email protected] Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila – Julio 2008

Contenido LISTA DE FIGURAS............................................................................................................ 3 Nociones básicas de errores en cálculo numérico .................................................... 4 Nociones básicas de errores en cálculo numérico .................................................... 4 Porque son importantes los errores numéricos .................................................................. 4 El fallo de un misil Patriot.................................................................................................................... 4 La explosión del cohete Ariane 5 ........................................................................................................ 6 El hundimiento de la plataforma petrolífera Sleipner A ................................................................. 7 Las vibraciones del puente del Milenio en Londres. ........................................................................ 8

Introducción. ....................................................................................................................... 9 Definiciones ............................................................................................................................... 14 Cifras significativas................................................................................................................... 14 Aritmética finita........................................................................................................................ 15 Representación de números en el ordenador ................................................................... 16 Números naturales y la regla de Horner .......................................................................................... 16 Números enteros en binario ............................................................................................................... 17 Representación de fracciones en computador................................................................................ 19 Fracciones binarias: ................................................................................................................................ 19 Números reales en punto flotante............................................................................................................ 20 El formato en punto flotante IEEE-754 .................................................................................................. 22

Fuentes de error. ............................................................................................................. 24 Errores, condicionamiento y estabilidad numérica ......................................................... 25 Errores en las entradas. Propagación. ................................................................................ 26 Propagación del error.......................................................................................................................... 26

Errores de truncamiento o discretización.......................................................................... 27 Error de redondeo. .................................................................................................................. 28 Ejemplo.................................................................................................................................................. 29 Ejemplo.................................................................................................................................................. 31 Ejemplo.................................................................................................................................................. 33

Error absoluto y Error relativo. ............................................................................................ 34 Error Absoluto ...................................................................................................................................... 34 1

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Error relativo........................................................................................................................................ 35 Observaciones: ..................................................................................................................................... 35

Operación en punto flotante ................................................................................................. 36 Problemas con operaciones en punto flotante ................................................................. 38 Ejemplos con operaciones .................................................................................................................. 39 Pérdida de cifras significativas.......................................................................................................... 40 Ejemplo.................................................................................................................................................. 41 Ejemplo.................................................................................................................................................. 41 Rango, "Overflow " y "Underflow"...................................................................................................... 42 Inestabilidad numérica........................................................................................................................ 43 Problema bien o mal condicionado................................................................................................... 44

Definición del

ε

de la máquina ........................................................................................... 45

Costo operativo y eficiencia .................................................................................................. 46

Conclusiones ...................................................................................................................... 47 Problemas propuestos:............................................................................................................ 48

Recursos Bibliográficos .................................................................................................. 52

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LISTA DE FIGURAS Figura 1 Misiles Patriot americanos en Dharan .............................................................. 5 Figura 2 Cohete Ariane 5.................................................................................................... 6 Figura 3 Plataforma petrolífera Sleipner A ..................................................................... 7 Figura 4 Millenium Bridge................................................................................................... 8 Figura 5 Intervalo asociado al resultado de una medición. Note que, en lugar de dar un único número, se define un intervalo. Al valor representativo del centro del intervalo (x ) se le llama el mejor valor de la magnitud en cuestión. El semiancho del intervalo (x D ) se denomina la incertidumbre o error absoluto de la medición......................................................................................................................... 12 Figura 6 Tratamiento de la información........................................................................ 13 Figura 7 Análisis del error ................................................................................................ 13 Figura 8 Representación de los números flotantes positivos en un sistema (m; e) = (3; 2). Los números con asterisco y círculo son normales y subnormales, respectivamente................................................................................................................ 21

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Nociones básicas de errores en cálculo numérico Porque son importantes los errores numéricos Turing 2 demostró en 1936 que el conjunto de los números calculables o computables mediante ordenador (tales que existe un programa capaz de calcular sus dígitos uno a uno) es de cardinal numerable, como lo es el de los números algebraicos (los que son raíces de polinomios), los racionales (cociente de enteros) o los mismos naturales. El conjunto de números reales es no numerable, por lo que elegido un número real aleatoriamente, este es imposible de calcular mediante un ordenador. Este hecho quizás parezca sorprendente, teniendo en cuenta que se utilizan los ordenadores para resolver todo tipo de problemas prácticos sin que este hecho sea relevante. Afortunadamente, el conjunto de los números calculables (igual que el de los racionales) es denso en el de los reales, es decir, dado un real, existe un número calculable tan próximo a este como se quiera. Ese es el secreto de que los ordenadores sean útiles en computación científica. Aún así, y por ello, los ordenadores siempre cometen errores a la hora de representar un número. Los ordenadores trabajan con una aritmética que utiliza un número finito de dígitos. Un número real tiene, salvo pocas excepciones, infinitos dígitos. Para representar este número en un ordenador se tiene que elegir un número finito de dígitos, lo que introduce un error en la representación de dicho número. Tener en cuenta estos errores introducidos por el ordenador es muy importante, sobre todo en aplicaciones en las que se realizan muchas operaciones aritméticas. Conforme se realizan estas operaciones el error se propaga, se acumula y en algunos casos puede llegar a crecer exponencialmente, provocando grandes errores en el resultado final. En este tema se estudiará que errores comete un ordenador, como se puede analizar su propagación, como detectar cuando van a ser perniciosos y, solo en algunos casos como evitar sus efectos negativos. Para empezar, se presentan varios problemas de la vida real que se han debido a la propagación de errores numéricos. Se hará mención a algunos conceptos, como representación en punto flotante, redondeo, aritmética binaria, etc., que serán introducidos mas adelante en este tema. El lector puede relegar la lectura de estos problemas hasta el final del tema.

El fallo de un misil Patriot El 25 de febrero de 1991, durante la guerra del Golfo, una batería de misiles Patriot americanos en Dharan (Arabia Saudí) no logró interceptar un misil Scud iraquí. Murieron 28 soldados americanos. La causa: los errores numéricos por

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Turing realizó en 1948 uno de los primeros análisis de propagación de errores para el método de Gauss para resolver sistemas lineales.

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utilizar truncado en lugar de redondeo en el sistema que calcula el momento exacto en que debe ser lanzado el misil3.

Figura 1 misiles Patriot americanos en Dharan

Los ordenadores de los Patriot que han de seguir la trayectoria del misil Scud, la predicen punto a punto en función de su velocidad conocida y del momento en que fue detectado por última vez en el radar. La velocidad es un número real. El tiempo es una magnitud real pero el sistema la calculaba mediante un reloj interno que contaba décimas de segundo, por lo que representaban el tiempo como una variable entera. Cuanto mas tiempo lleva el sistema funcionando mas grande es el entero que representa el tiempo. Los ordenadores del Patriot almacenan los números reales representados en punto flotante con una mantisa de 24 bits. Para convertir el tiempo entero en un número real se multiplica este por 1/10, y se trunca el resultado (en lugar de redondearlo). El número 1/10 se almacenaba truncado a 24 bits. El pequeño error debido al truncado, se hace grande cuando se multiplica por un número (entero) grande, y puede conducir a un error significativo. La batería de los Patriot llevaba en funcionamiento más de 100 horas, por lo que el tiempo entero era un número muy grande y el número real resultante tenía un error cercano a 0.34 segundos. Vea el cálculo en detalle. El número 1/10 es 1/24 + 1/25 + 1/28 + 1/29 + 1/212 + 1/213 +…, (explicar porque?) es decir, (0.0001100110011001100110011001100 …)2, que almacenado en un registro de 24 bits conduce al número que introduce un error de (0.00011001100110011001100)2 (0.0000000000000000000000011001100 …)2, igual en decimal a 0.000000095. En 100 horas este pequeño error se multiplica y amplifica hasta alcanzar 0.000000095 * 100 * 60 * 60 * 10 = 0.34. Como un misil Scud viaja a unos 1676 m/s, es decir, unos 6033 km/hora, en 0.34 segundos recorre más de medio kilómetro. Esta distancia fue suficiente para que el misil Patriot no pudiera alcanzar al misil Scud y destruirlo.

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Douglas N. Arnold, “The Patriot Missile Failure,” Institute for Mathematics and its Minneapolis (2000). Fuente http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/patriot.html.

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Applications,

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La explosión del cohete Ariane 5

Figura 2 cohete Ariane 5

El Programa Ariane, es un programa emprendido por Europa en 1973 para dotarse de un lanzador que le permitiera un acceso independiente al espacio. El desarrollo del lanzador Ariane se efectúa bajo la dirección de la Agencia Espacial Europea (ESA, por sus siglas en inglés); el Centro Nacional de Estudios Espaciales (CNES) francés fue el contratista principal hasta mayo de 2003, fecha en la que pasó a actuar como tal el consorcio europeo EADS (European Aeronautic Defence and Space Company). La explotación comercial es gestionada por la sociedad Arianespace, creada en 1980. En total, unas 40 compañías europeas están comprometidas en el desarrollo y construcción del lanzador Ariane. Todos los lanzamientos se efectúan desde el centro espacial de Kourou, en la Guayana Francesa, que cuenta con varias rampas de lanzamiento, y en el que trabajan de forma permanente varios cientos de personas. El 4 de junio de 1996, el cohete Ariane 5 Flight 501 ,de la Agencia Europea del Espacio (ESA) explotó 40 segundos después de su despegue a una altura de 3.7 km. tras desviarse de la trayectoria prevista 4 . Era su primer viaje tras una década de investigación que costó más de 7000 millones de euros. El cohete y su carga estaban valorados en más de 500 millones de euros. La causa del error fue un fallo en el sistema de guiado de la trayectoria provocado 37 segundos después del despegue. Este error se produjo en el software que controlaba el sistema de referencia inercial (SRI). En concreto, se produjo una excepción software debido al intento de convertir un número en punto flotante de 64 bits, relacionado con la velocidad horizontal del cohete respecto de la plataforma de lanzamiento, en un entero con signo de 16 bits. El número mas grande que se puede representar de esta forma es 32767.

4 Douglas N. Arnold, “The Explosion of the Ariane 5 Rocket,” Institute for Mathematics and its Applications, Minneapolis (2000). Fuente http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/ariane.html.

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El intento de convertir un número mayor causó la excepción que provocó que el software de seguimiento de la trayectoria dejara de funcionar y en última instancia el accidente.

El hundimiento de la plataforma petrolífera Sleipner A

Figura 3 plataforma petrolífera Sleipner A

El 23 de agosto de 1991, la plataforma petrolífera Sleipner A propiedad de la empresa noruega Statoil situada en el mar del Norte a 82 metros de profundidad se hundió. La causa del error fue un fallo en el modelado numérico de la plataforma utilizando elementos finitos. En concreto se produjo una fuga de agua en una de las paredes de uno de los 24 tanques de aire de 12 metros de diámetro que permitían la flotación de la plataforma de 57000 toneladas de peso que además soportaba a mas de 200 personas y a equipamiento de extracción con un peso adicional de unas 40000 toneladas. Las bombas de extracción de agua no fueron capaces de evacuar toda el agua. El fallo tuvo un coste económico total de 700 millones de euros. Para modelar los tanques de la plataforma se utilizó el programa NASTRAN de elementos finitos y una aproximación mediante un modelo elástico lineal. Esta aproximación no era correcta y subestimó en un 47% los esfuerzos que debían soportar las paredes de los tanques. En particular, ciertas paredes fueron diseñadas con un grosor insuficiente. Un análisis con elementos finitos correcto, pero posterior al accidente, demostró que el diseño de la plataforma provocaría fugas en algunas de los tanques cuando ésta estuviese sobre agua a 62 metros de profundidad. La fuga real se produjo cuando ésta estaba sobre 65 metros de agua, lo que ratifica la supuesta causa del fallo5.

5 Douglas N. Arnold, “The sinking of the Sleipner A o®shore platform,” Institute for Mathematics and its Applications, Minneapolis (2000). Reproduced at http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/sleipner.html.

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Las vibraciones del puente del Milenio en Londres. Tras la construcción del Tower Bridge en 1894 no se había vuelto a levantar un puente peatonal sobre el Támesis hasta la construcción del Millenium bridge en el año 2000. Es obra del arquitecto Norman Foster y el escultor Anthony Caro, y hecho sobre acero y aluminio. El Puente del Milenio, un puente de suspensión lateral de 320 metros de largo que une el distrito financiero de Londres con la zona de Bankside, al sur del río, abrió el 10 de junio del 2000, y miles de peatones se concentraron sobre él. Al principio, el puente estaba inmóvil, luego empezó a oscilar sólo ligeramente. Después, casi de un momento para otro, el tambaleo se intensificó y de repente las personas se encontraron caminando como vacilantes patinadores de hielo: plantando sus pies muy separados uno de otro, ladeándose a cada paso, izquierdo, derecho, izquierdo, derecho, en un sincronismo casi perfecto.

Figura 4 Millenium Bridge

La sincronía fue del todo involuntaria, pero esas pisadas fueron las responsables del balanceo. El 12 de junio de 2000 se cerró el paso de personas por el famoso puente del milenio (Millenium Bridge) en Londres, sólo dos días después de su inauguración. La causa de la clausura: el puente vibraba lateralmente mucho más de lo esperado debido al caminar de la gente, fenómeno actualmente denominado excitación lateral síncrona6. Al vibrar el puente, resultaba más cómodo a las personas caminar de forma sincronizada con esta vibración, lo que la acentuaba mediante una resonancia. Durante el verano del año 2000 se contrató a la empresa de consultoría Arup para estudiar el problema. Se realizaron varios experimentos con grupos de personas con objeto de medir experimentalmente la magnitud del efecto bajo varias condiciones. Se observó que el efecto no era gradual, sino que la sincronización 6