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Teoría de Schrödinger Es uno de los pilares de la mecánica cuántica que se aplica para resolver problemas físicos relativos a átomos, moléculas, núcleos, etc. Los problemas de Mecánica Cuántica se suelen resolver mediante dos tipos de representaciones: 1. Representación de Schrödinger. 2. Representación de Heisemberg. En nuestro curso de física estudiaremos el formalismo de la primera, aunque debemos saber que ambas descripciones son equivalentes.

Ecuación de Schrödinger Se parte del postulado de de Broglie, el cual no hace una descripción completa del comportamiento de la partícula, omitiendo principalmente lo referido a la representación de las ondas materiales. Si bien de Broglie propuso representar el movimiento de una partícula mediante la propagación de ondas piloto, no dijo como eran y como se propagaban estas. Ya hemos visto que para una partícula libre la velocidad de grupo de las ondas piloto es igual a la velocidad de propagación de la partícula. Ahora ¿qué sucederá con una partícula bajo la acción de una fuerza F? En 1925 Schrödinger propone una ecuación de ondas y su solución para partículas que se comportaban según lo postulado por de Broglie.

Los pasos que siguió Schrödinger para estudiar la ecuación de propagación para ondas piloto fueron los siguientes: 1. Utilizó la denominación FUNCION DE ONDA para definir la función matemática que representa a las ondas piloto. 2. Restringió su estudio de funciones de onda al caso No Relativista. 3. Adoptó las ecuaciones postuladas por de Broglie para definir los parámetros de las

λ=

ondas:

h p

y

f =

E h

4. Propuso que para una partícula bajo un potencial V para el caso no relativista la energía de la partícula sería: E =

p2 +V 2m

5. Demostró que a partir de la energía definida en el ítem 4, la velocidad de grupo de la función de onda para una partícula libre sería igual a la velocidad de la partícula. Dem) Si E =

υg = E = hf = h

p2 +V para calcular la velocidad de grupo debemos hacer 2m dω dk

ω 2π

=

h ω = hω 2π

entonces

ω=

E h

p=

h h 2π = = hk λ 2π λ

entonces

k=

p h

λ=

h 2π yk= λ p

entonces

p=

h h 2π = = h/ k λ 2π λ

1

dω =

dE 2 pdp y dp entonces dω pdp h p = = =υ dk = υg = = h h m h dk mh dp m 2

Para desarrollar su ecuación Schrödinger pidió tres requisitos a priori: a. Debe ser consistente con 1, 2, 3 y 4. b. Debe ser lineal en Ψ ( x, t ) . Entonces se puede aplicar el principio de superposición de las Ψ ( x , t ) . Es decir si Ψ1 y Ψ2 son solución de la ecuación de ondas entonces aΨ1 + b Ψ2 (con a y b complejos) también será solución c. En general la energía potencial puede ser función de la posición y el tiempo

V = V (x, t) Schrödinger estudió en principio el problema de una partícula libre, es decir sin fuerza neta aplicada sobre la partícula. Entonces la energía potencial V0 y la cantidad de movimiento p serán constantes.

dp dt

= F=−

∂V ( x, t ) ∂x

=−

∂V 0 ∂x

=0

Entonces reemplazando una función de onda de partícula libre de la forma

Ψf (x , t ) = Aei (kx − ωt ) = A[cos(kx − ωt ) + isen (kx − ωt )]

en la ecuación de ondas:

−

2 ∂Ψ f h2 ∂ Ψ f + Vo Ψ f = ih Ecuación de Schrödinger para partícula libre 2 ∂t 2m ∂x

Se recupera la ecuación de la energía total de la partícula:

E = hω=

h 2k 2 + V ( x, t) 2m

Manteniendo una concordancia con los requisitos pedidos previamente (a, b y c). El paso siguiente de Schrödinger fue postular que así como esa ecuación era válida para un potencial constante también podía serlo para un potencial dependiente de la posición y el tiempo, V ( x , t ) .

∂ Ψ ( x, t ) h 2 ∂ 2Ψ( x, t) + V ( x, t)Ψ ( x, t) = ih 2 ∂t 2m ∂x Ecuación de Schrödinger para un potencial V ( x, t ) . −

Ecuación de segundo orden en derivadas parciales para Ψ ( x, t ). Las soluciones de esta ecuación son funciones necesariamente complejas (se ve en la ec. que depende explícitamente del numero complejo i ). Esa es una importante diferencia con las ecuaciones de ondas clásicas que representaban una variable y(x,t) que tenía un significado físico (como posición, presión o campo eléctrico). La función de onda Ψ( x, t) ∈ C no tiene sentido físico en si misma, ya que no se pueden medir cantidades complejas con instrumentos reales. Pero su característica compleja no es una falla en la teoría cuántica. Según Eisberg tal vez sea más bien una ventaja ya que impide la búsqueda de un significado que podría conducir a errores (como el éter en electromagnetismo clásico). Que es lo que ondula no tiene un significado físico propio más allá que las Ψ ( x, t ) son solo instrumentos de cálculo (que solo existen en la teoría de

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Schrödinger ya que en la de Heisemberg no aparecen estas funciones y se llega a los mismos resultados físicos finales). Pero aunque las Ψ ( x , t ) no tienen sentido físico, si tienen interés físico ya que contienen toda la información necesaria compatible con el principio de incertidumbre sobre la partícula asociada. La pregunta es ¿cómo extraemos la información? Y la respuesta es: a través de la utilización del postulado de Born (1926) que dice: Si a un tiempo t se efectúa una medida para ubicar una partícula asociada con una función de onda Ψ ( x , t ) , entonces la probabilidad P( x, t) dx de que el valor de la coordenada posición se encuentre entre x y x+dx es:

P( x, t ) dx = Ψ * ( x, t)Ψ ( x, t) dx El postulado de Born nos lleva a una condición que se debe imponer a las funciones de onda que es la CONDICIÓN DE NORMALIZACIÖN:

∫

∞

−∞

Ψ *( x, t) Ψ( x, t) dx = 1

Probabilidad total de que la partícula se encuentre a tiempo t entre − ∞ y + ∞ .

FLUJO DE PROBABILIDAD Podemos definir también un flujo de probabilidad (S) como:

S ( x, t ) = −

ih  * ∂Ψ ( x , t ) ∂Ψ * ( x , t )  Ψ − Ψ ( , ) x t  2m  ∂x ∂x 

Entonces podemos calcular la variación del flujo de probabilidad entre dos puntos x1 y x2 con la siguiente ecuación: x2

S ( x , t ) x = x1 − S ( x, t ) x = x2 = −

x

ih  * ∂Ψ ( x , t ) ∂Ψ * ( x, t )  ∂ 2 * Ψ ( x, t ) −Ψ = ∫ Ψ Ψdx   2m  ∂x ∂ x  x1 ∂t x1

y pensarlo como un teorema de la conservación de la probabilidad. Nota: se puede hacer la analogía a la conservación de la masa en un fluido que se mueve a través de un tubo, y de allí extrapolar a la idea de flujo de probabilidad. Para el caso de una onda armónica del tipo Ψ ( x, t ) = Aei (kx − ωt )

∂ 2 * Ψ Ψdx ∂t x∫ x

Sx =x 1 − Sx =x 2 = (υΨ* Ψ)x =x 1 − (υΨ* Ψ)x =x 2 =

1

Para partícula libre la conservación de la probabilidad carece de interés ya que: Ψ( x, t ) = Aei (kx− ωt ) con υ =constante Entonces Ψ * ( x, t )Ψ ( x, t) = A* e− i ( kx− ωt ) Aei ( kx− ωt ) = A* A Quedando 0=0 en la ec. Para una energía potencial que varía lentamente: A, k y ω varían lento entonces

υ ≠ constante

3

Nota: Se puede deducir la ecuación de conservación de la probabilidad a partir de la ecuación de Schrödinger de la ecuación de Schrödinger: Se escribe dos veces la ecuación de Schrödinger, haciendo el complejo conjugado de la segunda ecuación. Luego se multiplica a ambos lados la primera ecuación por la función de onda conjugada, y la segunda ecuación por la función de onda sin conjugar. Después se resta la primera menos la segunda, y se integra de ambos lados la suma entre los límites x1 y x2, obteniendo la ecuación de conservación de la probabilidad.

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Sea la ecuación de ondas para representar una partícula material de masa m moviéndose con velocidad v postulada por Schrödinger:

−

∂Ψ ( x, t) h 2 ∂ 2 Ψ (x , t ) + V ( x , t )Ψ (x , t ) = i h 2 ∂t 2m ∂x

cuya solución es la función de onda Ψ ( x, t ) . Si la energía potencial es solo función de la posición V=V(x) se puede encontrar una función de onda solución de la ecuación de Schrödinger que sea el producto de una función dependiente de t multiplicada por otra dependiente de x.

Ψ ( x , t ) = ϕ ( x )φ (t ) De esta forma se utiliza un método de separación de variables. Reemplazando la función de onda por el producto de nuevas funciones queda la ecuación:

h 2 ∂ 2 (ϕ (x )φ (t )) ∂ (ϕ ( x)φ ( t)) +V (x ,t )ϕ (x )φ (t ) = i h − 2 ∂t ∂x 2m

−

2 h2 ∂φ ( t ) ∂ ϕ( x) + V ( x , t )ϕ ( x )φ(t ) = i hϕ ( x ) φ (t ) 2 ∂t ∂x 2m

dividiendo por ϕ( x )φ (t )

−

h 2 1 d 2ϕ( x) 1 dφ ( t ) +V (x ,t ) = i h 2 φ(t ) dt 2m ϕ (x ) dx

Cada uno de los lados de la ecuación depende de solo una variable independiente por tal motivo ambos deben ser iguales a una constante de separación que llamaremos E (de la parte del análisis temporal veremos que esa constante es la energía de la partícula).

−

h 2 1 d 2 ϕ (x ) 1 dφ( t) + V (x ,t ) = i h =E 2 φ( t) dt 2m ϕ (x ) dx

Quedando dos ecuaciones: i) ih

1 d φ( t ) =E ( φ t ) dt

ii) −

h 2 1 d 2ϕ ( x ) + V ( x, t) = E 2m ϕ ( x ) dx 2

de las cuales despejamos:

4

•

PARA i), LA PARTE TEMPORAL

ih

d φ (t ) = Eφ ( t) dt

Cuya solución será: φ ( t ) = e

−

iEt h

Demostración) Solución de la parte temporal Supongamos que no sabíamos que la constante de separación era la energía entonces la denominamos con una letra genérica C.

− ih

d φ (t ) = Cφ( t) dt

La solución general de esa ecuación diferencial de primer orden en el tiempo sale de:

d φ( t ) C = − i dt φ( t ) h Integrando de ambos lados llegamos a:

φ (t ) = e

iCt − h

Vemos que la función φ (t ) que describe la variación en el tiempo de es una función oscilatoria con frecuencia ω = C / h , pero de acuerdo a de Broglie llegamos a que ω = E / h , por lo tanto podemos concluir que C = E , la energía total de la partícula. Entonces φ (t ) = e

•

−

−

iEt h

PARA ii), LA PARTE ESPACIAL

h 2 d2 ϕ ( x) + V (x )ϕ (x ) = Eϕ (x ) 2m dx 2

ECUACION DE SCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO. La solución de esta ecuación dependerá del tipo de energía potencial (debe depender solo de x). Para cada potencial en el que se mueva la partícula cuántica la función solución será distinta. Para este problema separable podemos plantear la condición normalización:

Ψ * (x , t )Ψ (x , t ) = ϕ * ( x )φ * ( x )ϕ ( x )φ ( x ) = ϕ * ( x )e

+i

Et h

ϕ ( x )e

−i

Et h

= ϕ * ( x)ϕ ( x )

Entonces la condición de normalización será:

∫

∞

−∞

ϕ * (x )ϕ ( x )d x = 1

Luego la resolución del problema pasará por encontrar la función ϕ (x ) para ese potencial y con ella la función de onda

Ψ( x, t ) = ϕ ( x)φ ( t ) = ϕ ( x) e

−

iEt h

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CONDICIONES PARA LA ACEPTABILIDAD DE LA FUNCION DE ONDA La forma de la función de onda ϕ depende de cómo sea la función que describe la Energía potencial de la partícula. Entonces se representan los problemas físicos a través de aproximaciones matemáticas. (Por ejemplo: una energía potencial que varíe rápidamente entre dos regiones podrá ser representada por una función de tipo escalón). En esos casos se podrá separar el problema en regiones de potencial constante, y estudiarlas por separado, teniendo en cuanta que las funciones deben cumplir ciertos requisitos en los contornos que separan ambas regiones (condiciones de contorno). Esos requisitos estarán basados en que la probabilidad de encontrar una partícula no puede variar discontinuamente de un punto a otro, entonces la función de onda ϕ debe ser continua. Como la ecuación de Schrödinger hace derivada segunda de la función de onda respecto de la posición, la derivada primera de la función de onda debe ser continua para ser derivable. En general ϕ debe variar suavemente con x (excepto en el caso del problema de una partícula en un pozo infinito).

d ϕ( x ) no cumplen los requisitos (de ser funciones finitas) tampoco lo harán dx dΨ( x, t) Ψ ( x, t ) y . dx

Si ϕ y

Además la mecánica cuántica pide que las cantidades físicas sean finitas, o con valores definidos. Otra restricción viene de la normalización, y es que la función ϕ debe aproximarse a cero lo suficiente mente rápido para evitar que la normalización diverja si x va a infinito. RESUMIENDO LAS CONDICIONES de ϕ ( x ) : 1. ϕ ( x ) debe existir y satisfacer la ecuación de Schrödinger independiente de t.

dϕ ( x ) deben ser continuas. dx dϕ ( x ) 3. ϕ ( x ) y deben ser finitas. dx 4. ϕ ( x ) → 0 suficientemente rápido cuando x → ±∞ para que la integral de 2. ϕ ( x ) y

normalización no diverja.

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