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Departamento de Innovación y Formación Didáctica Didáctica de la Matemática

Universidad de Alicante

Problemas de Estructura Aditiva y Multiplicativa1

1.

Problemas de estructura aditiva 1.1. Tipos de problemas 1.2. Niveles de dificultad de los problemas

2.

Problemas de estructura multiplicativa 2.1. Tipos de problemas

Idea 1. Las operaciones matemáticas (e.g. la resta, la multiplicación) pueden ser modeladas mediante situaciones diferentes. Los maestros necesitan conocer cuáles son estas situaciones para comprender cómo los niños usan las operaciones. Idea 2. Lo que puede hacer un problema difícil es la relación cuantitativa entre las cantidades Introducción Los problemas aritméticos de una etapa contienen una relación entre dos datos numéricos. Los podemos clasificar en dos grupos: 

Problemas de estructura aditiva



Problemas de estructura multiplicativa

Los primeros se corresponden con acciones como juntar, añadir, quitar, separar o comparar. Los segundos son los de ‘multiplicar y dividir’ y se corresponden con acciones como repartir, agrupar, compara y combinar. Describiremos una clasificación de los problemas de estructura aditiva y multiplicativa de una sola etapa (u operación) y algunas de las estrategias de resolución de estos problemas. Aunque hay varias formas de clasificar los problemas aritméticos elementales de una etapa, uno de los métodos de clasificación más útiles consiste en fijarnos en la estructura semántica, es decir, el tipo de acción o de relaciones descritas en ellos.

1

Traducción resumen de - Carpenter, T.P., Fennema, E., Franke, M.L., Levi, L. y Empson, S.B. (1999). Children´s Mathematics. Cognitively Guided Instruction. Portsmouth, NH: Heinemann. Otras fuentes: Castro, E. (2001). Didáctica de las matemáticas. Síntesis: Madrid.  Cap. 8: Adición y sustracción (C. Maza) (pp. 177-201)  Cap. 9: Multiplicación y división (E. Castro) (pp. 203-230)

Sentido Numérico 17-18

Problemas. Sistemas de Numeración. Algoritmos

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1. Problemas de estructura aditiva 1.1. Tipos de problemas Identificamos tres tipos de problemas de estructura aditiva de una sola etapa:   

cambio (creciente o decreciente) combinación comparación (más que, menos que)

El tamaño de los números puede variar, al igual que el tema o el contexto de los problemas; sin embargo, la estructura básica subyacente a las acciones o relaciones será la misma. Problemas de cambio Los problemas de cambio suponen una acción en la cual se aumenta (cambio creciente) o disminuye (cambio decreciente) una cantidad dada. La acción descrita se desarrolla en el tiempo. En primer lugar hay una cantidad inicial; en un segundo momento, se añade o se quita la cantidad de cambio y, que produce el resultado (la cantidad final). Se pueden generar seis tipos distintos de problemas de cambio según la cantidad incógnita (Tablas 1 y 2). Tabla 1 Tipos y ejemplos de problemas de cambio De cambio creciente Incógnita Cantidad final Cantidad de cambio (Acción)

Cantidad inicial

María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron 9. ¿Cuántos caramelos tiene ahora? María tenía 5 caramelos. Sus amigos le dieron algunos. Ahora tiene 14 caramelos ¿Cuántos caramelos le dieron sus amigos? María tenía algunos caramelos. Sus amigos le dieron 9. Ahora tiene 14 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía María al principio?

Tabla 2 De cambio decreciente Incógnita Cantidad final

Cantidad de cambio (Acción)

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María tenía 14 caramelos. Dio 9 a Roberto. ¿Cuántos caramelos le quedan a María? María tenía 14 caramelos. Dio algunos a Roberto. A María le quedan 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos le había dado a Roberto?

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María tenía algunos caramelos. Dio 9 caramelos a Roberto. A María le quedaron 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía María al principio?

Cantidad inicial

Problemas de combinación Los problemas de combinación no suponen ninguna acción. En ellos se establecen relaciones estáticas entre un conjunto y dos subconjuntos disjuntos de él. Por tanto, ambos subconjuntos asumen papeles equivalentes en el problema. Por consiguiente, sólo existen dos tipos de problemas de combinación según que la incógnita sea el total o una de las partes (Tabla 3). Tabla 3 Tipos y ejemplos de problemas de combinación Incógnita Todo

Cinco chicos y 9 chicas hacían una obra de teatro. ¿Cuántos niños estaban actuando?

Parte

Catorce niños hacían una obra de teatro. Nueve de ellos eran chicas y el resto chicos ¿Cuántos chicos había?

Problemas de comparación Los problemas de comparación suponen la comparación de dos conjuntos. Como una cantidad se compara con otra, una de las cantidades recibe el nombre de cantidad de referencia y la otra cantidad comparada. La tercera cantidad en estos problemas es la diferencia o cantidad en que un conjunto excede al otro. Según usemos “más que” o menos que” salen dos grupos de problemas diferentes. En cada uno de estos grupo dependiendo de qué cantidad sea la incógnita tendremos un problema diferente (Tabla 4). A (cantidad que se compara) es más que/menos que B (cantidad referente)

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Tabla 4 Problemas de comparación Tipos y ejemplos de problemas de comparación creciente (“más que”) Incógnita Ana tiene 13 canicas. Juan tiene 5 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Ana más que Juan?

Diferencia

Ana tiene algunas canicas Juan tiene 5 canicas. Ana tiene 8 canicas más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Ana?

Cantidad comparada

Ana tiene 13 canicas. Ana tiene 5 canicas más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Juan?

Cantidad de referencia

Tipos y ejemplos de problemas de comparación decreciente (“menos que”) Incógnita Pablo tiene 13 caramelos Javier tiene 5 caramelos. Diferencia ¿Cuántos caramelos tiene Javier menos que Pablo? Pablo tiene 13 caramelos Javier tiene algunos caramelos Javier tiene 8 caramelos menos que ¿Cuántos caramelos tiene Javier?

Cantidad comparada

Pablo.

Pablo tiene algunos caramelos Javier tiene 5 caramelos. Javier tiene 8 caramelos menos que Pablo. ¿Cuántos caramelos tiene Pablo?

Cantidad de referencia

1.2. Niveles de dificultad La tabla 5 hace referencia a los niveles de dificultades referidos a los porcentajes de éxito en la resolución de los distintos tipos de problemas aditivos de una sola etapa. El asterisco nos indica que puede estar en ese nivel o en el anterior. Tabla 5 Tipo de problema

Incógnita

Cambio creciente

Cantidad final

X

Cambio decreciente

Cantidad final

X

Cambio creciente

Cantidad de cambio

X

Cambio decreciente

Cantidad de cambio

X*

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Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

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Cambio creciente

Cantidad inicial

X

Cambio decreciente

Cantidad inicial

X

Combinación

Todo

Combinación

Parte

X

Comparación creciente

Diferencia

X*

Comparación decreciente

Diferencia

X*

Comparación creciente

Cantidad Comparada

X

Comparación decreciente

Cantidad Comparada

X

Comparación creciente

Cantidad de referencia

X*

Comparación decreciente

Cantidad de referencia

X*

X

2. Problemas de estructura multiplicativa 2.1.

Tipos de problemas

Los problemas aritméticos elementales de una sola etapa que describen una relación multiplicativa entre las cantidades de una situación se les denomina problemas de estructura multiplicativa. Podemos identificar tres contextos   

Proporcionalidad simple Comparación Producto cartesiano

Problemas de Proporcionalidad simple Suelen estar vinculados a situaciones en las que una cierta cantidad se repite un número determinado de veces. Como en estas situaciones hay tres números, la incógnita puede ser cualquiera de ellos, entonces tenemos tres problemas (tabla 6). Tabla 6 Tipos y ejemplos de problemas de estructura multiplicativa “proporcionalidad simple” Incógnita Benjamín tiene 4 cajas de lápices. Hay 6 lápices en cada caja. Multiplicación Total de objetos ¿Cuántos lápices tiene Benjamín en total? Benjamín tiene 24 lápices en 4 cajas, con el Número de objetos mismo número de lápices en cada caja. División-partitiva en cada grupo ¿Cuántos lápices hay en cada caja?

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División-medida

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Benjamín tiene 24 lápices. Hay 6 lápices en cada caja. ¿Cuántas cajas de lápices tiene Benjamín?

Número de grupos

Al igual que en los problemas de estructura aditiva, puede variar el tamaño de los números, el tema o el contexto de los problemas; sin embargo, la estructura básica subyacente a las acciones o relaciones será la misma. Problemas de Comparación multiplicativa En estos problemas interviene una cantidad referente, una cantidad comparada y un escalar que cuantifica la relación de comparación. Según cuál sea la incógnita podemos tener tres tipos de problemas (Tabla 7)  La incógnita es la cantidad comparada  La incógnita es la cantidad referente  La incógnita es el escalar Cantidad A Cantidad comparada

Es C veces más que

La cantidad B La cantidad referente

La cantidad comparada es el sujeto de la frase “la cantidad A es C veces (más/menos) que la cantidad B”

Tabla 7 Tipos y ejemplos de problemas de estructura multiplicativa “comparación multiplicativa” (veces más que) (Pedro tiene 3 veces más canicas que Juan) Juan tiene 18 canicas. Cantidad referente =18 canicas Pedro tiene 3 veces más. escalar= 3 veces más cantidad comparada= Incógnita ¿Cuántas canicas tiene Pedro? Juan tiene 18 canicas. Cantidad referente= 18 canicas Pedro tiene 54 canicas Escalar = incógnita ¿Cuántas veces más canicas tiene Pedro Cantidad comparada =54 canicas que Juan? Cantidad referente= incógnita Juan tiene algunas canicas Pedro tiene 54 canicas, que son Escalar = 3 veces más que 3 veces más canicas que las que tiene Juan Cantidad comparada =54 canicas ¿Cuántas canicas tiene Juan?

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Tipos y ejemplos de problemas de estructura multiplicativa “comparación multiplicativa” (veces menos que) (Juan tiene 4 veces menos canicas que Pedro) Pedro tiene 48 canicas Cantidad referente= 48 canicas Juan 4 veces menos canicas que Pedro Escalar= 4 veces menos Cantidad comparada= incógnita ¿Cuántas canicas tiene Juan? Pedro tiene 48 canicas y Juan 12 ¿Cuántas veces menos canicas tiene Juan que Pedro?

Cantidad referente = 48 canicas Escalar= incógnita Cantidad comparada = 12 canicas

Juan tiene 12 canicas que son 5 veces menos canicas que las que tiene Pedro ¿cuántas tiene Pedro?

Cantidad referente = incógnita Escalar= 4 veces menos Cantidad comparada = 12 canicas

Existe otro tipo de problemas de estructura multiplicativa de comparación multiplicativa “veces tanto como/tantas veces como”. Por ejemplo el problema Juan tiene 18 canicas. Pedro tiene 3 veces tantas canicas como Juan ¿Cuántas tiene Pedro? Estos problemas se centran en la diferencia. Sin embargo no serán objeto de estudio en este curso. Para añadir información en este apartado se puede consultar la bibliografía recomendada. Problemas de producto cartesiano En los problemas de producto cartesiano intervienen dos magnitudes M1 y M2 que se componen para generar una tercera magnitud M3 (Tabla 8). Tabla 8 Problemas de producto cartesiano Tengo 5 camisas y 4 pantalones La incógnita es la cantidad compuesta ¿de cuántas maneras diferentes me puedo vestir? Se conoce la cantidad compuesta y una Tengo 5 camisas que al combinarlas con de las componentes los pantalones que tengo me puedo vestir de 20 maneras diferentes. La incógnita es la otra componente ¿Cuántos pantalones tengo? [Tengo 4 pantalones que al combinarlos con las camisas que tengo me puedo vestir de 20 maneras diferentes. ¿Cuántas camisas tengo?]

A diferencia de los problemas de estructura aditiva, no podemos elaborar para los problemas de estructura multiplicativa un cuadro de dificultades al no haber suficientes estudios que avalen estas dificultades. No obstante, podríamos decir que algunos estudios indican que para los niños es más difícil identificar: •

un problema de multiplicación que uno de división

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•

un problema multiplicativo de combinación que de los otros dos tipos

•

un problema de división medida que partitiva

DIVISIÓN CON RESTO ¿QUÉ HACER CON EL RESTO? En la resolución de problemas donde se debe hacer una división con resto es necesario que los niños sepan “ tratar el resto”, es decir, qué sentido va a tener el resto en el problema El contexto del problema suele indicar qué incidencia va a tener el resto en la respuesta al problema Existen cuatro formas de considerar el resto en la solución de un problema: •

La existencia del resto obliga a considerar como solución el valor del cociente más una unidad más

•

El resto no tiene incidencia en la solución y no es considerado

•

El resto en sí, es la solución del problema

•

La solución incluye una parte fraccionaria

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