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NÚMERO'11''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''1'FEBRERO'2011

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TIPOS!DE!PROBLEMAS!MATEMÁTICOS! ! Por!Cristina!Muñoz!Caro! ! No! existe! un! criterio! único! ni! una! sola! clasificación! de! problemas! matemáticos.! Existen!diferentes!clasificaciones!que!pueden!servir!de!ayuda!para!recordar!la!variedad! de! problemas! que! deben! ser! tratados! en! las! aulas! de! Matemáticas! de! los! distintos! niveles!educativos.! ! A!continuación!se!presenta!una!clasificación!de!problemas!según!Echenique!(2006):! ! A) PROBLEMAS!ARITMÉTICOS.! Son!aquellos!que!presentan!datos!en!forma!de!cantidades!y!establecen!entre!ellos! relaciones! de! tipo! cuantitativo.! Necesitan! la! realización! de! operaciones! aritméticas! para!su!resolución.! Se! clasifican! en! primer,! segundo! o! tercer! nivel! teniendo! en! cuenta! el! número! de! operaciones!que!es!necesario!realizar!para!su!resolución.!Podemos!distinguir:! ! De!primer!nivel.! Es! necesaria! una! sola! operación! para! su! resolución.! Podemos! distinguir! según! el! tipo!de!operación:! §฀

Adición!–!sustracción:! ü฀ De! cambio:! parten! de! una! cantidad! inicial! que! se! ve! modificada! en! un! cambio!en!el!tiempo.! !

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! ! Lucía!tiene!en!su!hucha!24!€.!! Después!de!su!cumpleaños!vuelve!a!contar!las!monedas!y!tiene!43!€.!! ¿Cuanto!dinero!le!han!dado!para!su!cumpleaños?!! ! ü฀ De! combinación:! se! relacionan! dos! conjuntos! que! forman! un! todo.! Se! pregunta!por!una!parte!o!por!un!todo.! ! En!un!autobús!viajan!27!personas.! Si!el!autobús!tiene!56!plazas.! ¿Cuantos!asientos!hay!vacíos?! ! ü฀ De!comparación:!se!establece!una!relación!de!comparación!(más!o!menos! que)!entre!dos!cantidades.! ! El!abuelo!de!Pedro!tiene!61!años,!tiene!54!años!más!que!Pedro.! ¿Cuantos!años!tiene!Pedro?! ! ü฀ De!igualación:!se!da!una!situación!de!comparación!y!cambio!a!la!vez.! ! Enrique!y!Tomás!coleccionan!sellos.!Tomás!tiene!41!y!Enrique!52.! ¿Cuántos!sellos!debe!conseguir!Tomás!para!tener!los!mismos!que!Enrique?! ! §฀

Multiplicación!–!división:!

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! ! ü฀ De!reparto!equitativo:!son!aquellas!situaciones!en!las!que!una!cantidad!se! reparte! entre! un! número! x! de! partes! iguales.! En! el! enunciado! se! hará! referencia!a!tres!informaciones:!la!cantidad!a!repartir,!el!número!de!grupos! a!formar!o!el!número!de!elementos!por!cada!grupo.! ! En!clase!hay!18!alumnos.!Después!de!repartir!una!bolsa! !grande!de!caramelos!entre!todos!los!alumnos,!! a!cada!uno!le!han!correspondido!8!caramelos.!! ¿Cuántos!caramelos!tenía!la!bolsa?! ! ü฀ De!factor!N:!son!parecidos!a!los!aditivos!de!comparación!pero!empleando! cuantificadores!(veces!más,!menos!que…).! ! Julián!tiene!50!años!y!su!hijo!5!veces!menos.! ¿Cuantos!años!tiene!el!hijo!de!Julián?! ü฀ De!razón!o!tasa:!hacen!referencia!a!tres!medidas!de!magnitud,!una!de!ellas! resulta!de!la!combinación!de!dos!anteriores!(km/h,!€/k…).! ! He!pagado!por!una!cesta!de!fresas!6!€.!! Si!el!precio!de!las!fresas!es!de!3!€/Kg.!! ¿Cuantos!kilogramos!de!fresas!hay!en!la!cesta?! ! ü฀ De!productos!cartesianos:!se!trata!de!combinar!de!todas!las!formas!posibles! los!objetos!del!problema.! ! PEDAGOGÍA'MAGNA'''''''''''''''''''''''''''''''''www.pedagogiamagna.com''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''Página'267'

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! ! Combinando!mis!pantalones!y!camisas!me!puedo!vestir!de! 24!formas!diferentes.!Tengo!4!pantalones.! ¿Cuántas!camisas!tengo?! ! De!segundo!nivel.! También!llamados!problemas!combinados.!Para!su!resolución!es!necesario!realizar! varias!operaciones!(dos!o!más)!en!un!cierto!orden.!Son!más!complejos!que!los!de! primer!nivel! puesto! que! supone! establecer! unas!relaciones! más! complejas! entre! los!datos!aportados!por!el!enunciado.!Dentro!de!esta!tipología!podría!hablarse!de! diferentes!clasificaciones!según!el!criterio!seguido.!Podemos!distinguir:! ! §฀

Atendiendo!a!la!estructura!de!su!enunciado:! -

Problemas!combinados!fraccionados:!aparecen!preguntas!encadenadas!las! cuales!son!necesarias!para!la!resolución!final.! ! Un!corredor!de!maratón!hizo!el!primer!día!un!entrenamiento!de!12km.,!el! segundo!día!recorrió!28km.!más!que!el!día!anterior,!el!tercer!día!recorrió!la! mitad! de! kilómetros! que! el! segundo! día! y! el! cuarto! día! 8km.! menos! que! entre!los!dos!días!anteriores!juntos! ¿Cuántos!kilómetros!recorrió!el!segundo!día?! ¿Cuántos!kilómetros!recorrió!el!tercer!día?! ¿Cuántos!kilómetros!hizo!el!cuarto!día?! ¿Cuántos!kilómetros!hizo!en!total!entre!los!cuatro!días?! !

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Problemas!combinados!compactos:!solo!aparece!una!pregunta!final!pero!es! necesario!diferentes!pasos!para!llegar!a!ella.! ! Un!cristalero!dispone!de!una!placa!de!cristal!que!tiene!4!metros!cuadrados! de!superficie.!De!ella!quiere!obtener!12!cuadrados!de!20cm.!de!lado.!Con!el! resto!de!la!placa!quiere!hacer!rectángulos!de!20cmx40cm.! ¿Cuántos!rectángulos!podrá!obtener?! !

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Atendiendo!al!tipo!de!operaciones!necesarias:! -

Problemas! combinados! puros:! aparecen! solo! operaciones! de! un! mismo! campo!operativo.! ! La! profesora! ha! traído! a! clase! cuatro! cajas! de! bombones! para! repartir! equitativamente! entre! sus! alumnos.! En! cada! caja! hay! seis! filas! de! bombones!y!en!cada!fila!hay!9!bombones.! ¿Cuántos!bombones!recibirá!cada!alumno!si!en!clase!son!24?! !

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Problemas! combinados! mixtos:! intervienen! operaciones! de! campos! operacionales!distintos.! ! Un!comerciante!vendió!las!350!botellas!de!aceite!que!había!! comprado!a!!1,10.euros!cada!una.!En!la!venta!ganó!120!euros.! ¿A!cómo!vendió!cada!botella?! !

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Atendiendo!a!la!secuencia!temporal!descrita:!

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Problemas! combinados! directos:! los! datos! están! expresados! en! el! mismo! orden!que!se!han!de!utilizar.! ! En! la! hucha! tenía! 15! euros.! Esta! mañana! he! metido! 5! monedas! de! 50! céntimos!y!por!la!tarde!he!sacado!3,20!euros.! ¿Cuánto!dinero!me!queda!en!la!hucha?! ! !

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Problemas! combinados! indirectos:! los! datos! no! están! expresados! en! el! orden!que!se!deben!de!utilizar.! ! Un!tendero! compra!27! docenas!de! huevos!a! 1,20!euros! la!docena,! y! se!le! rompen!tres!docenas.!¿A!cómo!tiene!que!vender!los!que!le!quedan!si!quiere! ganar!10!euros!en!total?!

! De!tercer!nivel.! Son! aquellos! en! los! que! los! datos! del! enunciado! no! son! números! naturales! sino! números! decimales,! fraccionarios! o! porcentuales.! Las! situaciones! son! similares! a! las!de!primer!y!segundo!nivel.! ! Un!comerciante!vendió!las!350!botellas!de!aceite!que!había! comprado.!Pagó!por!cada!botella!1,10!euros.!En!la!venta! ganó!140!euros.!¿A!cómo!vendió!cada!botella?! ! B) PROBLEMAS!GEOMÉTRICOS.!

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! ! Con! ellos! se! trabajan! diversos! contenidos! y! conceptos! del! ámbito! geométrico! (formas,!figuras,!orientación,!visión!espacial…).! ! Juntando!las!piezas!1!y!2!se!han!hecho!varias!construcciones.! Encuentra!las!dos!piezas!en!cada!construccion!y!luego!píntalas.! !

! ! C) PROBLEMAS!DE!RAZONAMIENTO!LÓGICO.! Son! problemas! que! permiten! desarrollar! destrezas! para! afrontar! situaciones! de! componente!lógico.!Se!pueden!clasificar!en:! -

Numéricos!(sudokus,!criptogramas…).!

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Balanzas!de!dos!brazos!(para!averiguar!equivalencias).!

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Enigmas:!estimulan!la!inteligencia,!no!tienen!que!ser!puramente!matemáticos.!

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Análisis!de!proposiciones:!para!realizar!argumentaciones.! ! Ordena!según!su!peso!los!tres!sacos.!

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! ! D) PROBLEMAS!DE!RECUENTO!SISTEMÁTICO.! Son! problemas! que! tienen! varias! soluciones! y! es! preciso! encontrarlas! todas.! Ayudan! a! ser! sistemático! en! la! búsqueda.! Pueden! ser! de! ámbito! numérico! o! geométrico.! ! ¿Cuántos!triángulos!ves!en!la!imagen?!

! ! E) PROBLEMAS!DE!RAZONAMIENTO!INDUCTIVO.! Consisten! en! enunciar! propiedades! numéricas! o! geométricas! a! partir! del! descubrimiento!de!regularidades!(seriaciones…)! ! En!las!siguientes!series,!calcula!el!valor!del!término!que!ocupa!el!lugar!25:! ü฀ 1!,!3!,!5!,!7,!9!,!………….....! ü฀ 6!,!9!,!12!,!15!,!………….....! ü฀ 1!,!4!,!9!,!16!,!25!,!…………! ! F) PROBLEMAS!DE!AZAR!Y!PROBABILIDAD.! Son!situaciones!planteadas!en!muchos!casos!a!través!de!juegos!o!de!situaciones! en! las! que! siguiendo! una! metodología! de! tipo! manipulativa! y! participativa! por! parte! de! los! alumnos,! estos! pueden! descubrir! la! viabilidad! o! no! de! algunas! opciones! ! presentadas,! así! como! la! mayor! o! menor! posibilidad! de! ganar! en! el! juego.!Permiten!hacer!predicciones!con!cierta!base!científica.! PEDAGOGÍA'MAGNA'''''''''''''''''''''''''''''''''www.pedagogiamagna.com''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''Página'272'

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! ! ! Una!urna!tiene!ocho!bolas!rojas,!5!amarilla!y!siete!verdes.! Se!extrae!una!al!azar.!Probabilidad!de!que:!

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No!sea!roja.!

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No!

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Sea!roja.!

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Sea!verde.!

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Sea!amarilla.!

sea!

amarilla

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! ! ! BIBLIOGRAFÍA! ! ! §฀

ECHENIQUE,!I.!(2006).!Matemáticas.!Resolución!de!problemas.!Navarra:!Gobierno! de!Navarra.! ! !

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PEREDA,!L.!(2008).!Seminario!sobre!resolución!de!problemas.!Pamplona:!CAP.! ! !

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http://www.cprceuta.es/CPPSXXI/Modulo%204/Archivos/Matematicas/DOC_GON Z_MARI/MODELIZACION%20Y%20RESOLUCION%20DE%20PROBLEMAS/Resoluci%C 3%B3n%20de%20problemas.pdf! ! !

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http://www.olesur.com/educacion/niveles0problemas0matematicas.asp!

! ! CRISTINA!MUÑOZ!CARO! ! ! !

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