Teoría y ejercicios sobre matrices: cuadrada, diagonal principal, suma de dos matrices, producto, reglas para el producto, matriz identidad, matriz traspuesta, matriz diagonal y matriz simétrica PDF

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INDICE
1. MATRIZ---------------------------------------------------------------------------------------------------P 1
2. MATRIZ CUADRADA---------------------------------------------------------------------------------P 2
3. DIAGONAL PRINCIPAL---------------------------------------...

Description

Definir y dar un ejemplo de cada uno de los siguientes conceptos:

1. MATRIZ En matemáticas, tanto las listas como las tablas de elementos reciben el nombre genérico de matrices. Si m y n son los valores mayores que toman I y J , respectivamente, es posible disponer entonces los elementos de la matriz en una tabla rectangular de m filas y n columnas de la siguiente forma:

a11 a21 a31 ... am1

a 12 a 22 a32 ... a m2

a13 a23 a33 ... am3

... ... ... ... ...

a1n a2n a3n ... amn

El símbolo (aij) designa la matriz completa mientras que aij representa un elemento cualquiera de la misma. El número de filas y de columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se designa por mxn El número total de elementos de la matriz (aij) es mxn A una matriz con el mismo número de filas que de columnas se le llama matriz cuadrada de orden n. EJEMPLO: -7 6 15

14 20 -12

12 -8 19

-35 45 -19

80 90 -25

Es una matriz 3x5: por lo que tiene 3 filas y 4 columnas.

1 2 3 4

Es una matriz 4x3: por lo que tiene 4 filas y 3 columnas.

1

13 8 -9 1

7 -2 3 2

2. MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas; en caso de que no sea así se denominará matriz rectangular. Se dice que una matriz cuadrada nxn es de orden n y se le asigna el nombre de matriz n-cuadrada.

OJO

Cabe recordar que no todo par de matrices puede sumarse o multiplicarse. Sin embargo, cuando nos limitamos a considerar las de un orden dado, n, este inconveniente desaparece. Especificando, las operaciones de suma, producto, producto por un escalar y transposición pueden efectuarse sobre todas las matrices nxn y el resultado es nuevamente una matriz nxn. EJEMPLO:

Si:

A =

1 -4 5

2 -4 6

3 -4 7

y

2 0 1 3

B =

-5 3 2 10

1 -2 -4 5

3 7 9 6

Entonces A es una matriz cuadrada de orden 3 y B es una matriz cuadrada de orden 4

3. DIAGONAL PRINCIPAL Sea A= (aij) una matriz n-cuadrada. La diagonal o diagonal principal de A consiste en los elementos a11 , a22 , ... , anm ( todos los elementos de la forma aii ). La diagonal secundaria será el conjunto formado por todos los elementos aij con i + j =n + 1 de una matriz cuadrada de orden n EJEMPLO:

6 -10 23

-9 2 14

3 0 -19

-5 2 8 14

6 8 3 1

9 5 10 -6 27 2 -8 1

La diagonal principal sería la formada por los números marcados en negrita.

2

4. SUMA DE DOS MATRICES Sean A y B dos matrices con el mismo tamaño (esto es, con el mismo número de filas y columnas), digamos dos matrices mxn:

a21 ....

a12 .... a1n a 22 .... a2n .... ... ...

a m1

a m2 ... amn

a11 A=

b 21 ....

b12 .... b1n b 22 .... b2n .... ... ...

b m1

bm2 ... b mn

b 11 y

B=

La suma de A y B, escrito A + B, es la matriz obtenida sumando las entradas correspondientes de ambas:

a11+b 11 a21+b 21 .......... am1+b m1

A+B=

a12+ b12 .......... a1n+ b1n a22+ b22 .......... a2n+ b2n .......... ......... .......... a m2+b m2 .......... amn+b mn

La suma de matrices con tamaños diferentes no está definida. EJEMPLO: Sean A =

1 4

-2 5

3 -6

1 4

-2 5

+

3 -6

3 -7

0 1

y

2 8

B =

=

3 -7

1+3 -2+0 4 + (-7) 5+1

Propiedades de la suma de matrices: 1. 2. 3. 4.

0 1

(A + B) + C = A + (B + C) A+0=A A + (-A) = 0 A+B=B+A

3

2 8

3+2 -6+8

Entonces:

=

4 -3

-2 6

2 5

5. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ El producto de una matriz A= (aij ) por un número real K es otra matriz B= (bij ) de la misma dimensión que A= (aij ) tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por K. El producto de un escalar K por la matriz A, escrito K.A o simplemente KA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por K:

K.A=

Ka11

Ka12

....

Ka1n

Ka21 ....

Ka22 ....

....

Ka2n ...

Kam1

Kam2

....

.....

Kamn

Al número real K se le llama también escalar, y a ese producto, producto de escalares por matrices. EJEMPLO: 1 4

Sea K igual a 3 y A =

3.A= 3

1 4

-2 5

-2 5

3 -6

3 -6

=

. Entonces:

3.1 3.4

3.(-2) 3.5

3.3 3.(-6)

=

3 12

-6 15

9 -18

Propiedades del producto de un escalar por una matriz: 1. 2. 3. 4.

k. (A + B) = k. A+ k. B - - - - - - - - - - - - - propiedad distributiva primera (k + h) . A = k. A + h. A - - - - - - - - - - - - propiedad distributiva segunda k. [h (A)] = (k. h). A - - - - - - - - - - - - - - - propiedad asociativa mixta 1. A= A - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - propiedad del elemento neutro

El número 1 es el elemento unidad de los números reales; A y B matrices cualesquiera del mismo orden; y h y k números reales. Propiedades simplificativas: 1. 2. 3.

A + C = B + C es equivalente a A = B k . A= k . B es equivalente a A = B si k es distinto de 0 k . A = h . A es equivalente a h = k si A es distinta de 0

4

6. PRODUCTO DE DOS MATRICES Y PROPIEDADES 1.

Producto escalar de una matriz fila por una matriz columna:

Para poder definir el producto escalar, las matrices fila a multiplicar han de tener el mismo número de componentes. Análogamente puede definirse el producto escalar de una matriz fila por una matriz columna por la siguiente expresión:

a 11

a12 ....

a11 a21 .... am1

a1n

=

a 11 . a11+ a12 a 21+ ... . ....+ a1n . am1

EJEMPLO: 6

2.

10

8 5 3

2

8.6 + 10.5 + 2.3

=

48+50+6

=

=

104

Producto de dos matrices cualesquiera:

La operación que caracteriza y hace original el cálculo matricial es el producto de matrices. La multiplicación de dos matrices cualesquiera no tiene por qué ser conmutativo. Estas indicaciones revelan la necesidad de precisar el orden de los dos factores de un producto de matrices al referirse a ellos. Para poder multiplicar dos matrices la condición necesaria es que el número de columnas del primer factor coincida con el número de filas del segundo; dicho de otro modo: si A tiene orden mxn y B orden pxq para realizar el producto A.B es necesario que n = q El producto de la matriz A= (aij) de dimensión mxn, por la matriz B= (bij) es otra matriz de dimensión nxq, es otra matriz P= (pij) de dimensión mxq, tal que cada elemento pij se obtiene multiplicando la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz y así sucesivamente. El producto de matrices Ay B se designa por AB de dimensión

EJEMPLO: 3 5

2 4

1 0 -1

1 -1

3 5

1 0 -1

=

2 4

1 -1

3.1 + 2.0 + 1. (-1) 5.1 + 4.0 + (-1). (-1)

=

=

2 6

No está definido, pues el número de columnas de la primera matriz no es igual al de las filas de la segunda

5

Propiedades de la multiplicación de dos matrices cualesquiera: 1.

A. (B . C) = (A . B) . C - - - - - - - - - - - - Propiedad asociativa

2 -5

-3 10

2 -5

-3 10

2 -5

36 -110

6 -8

15 4

=

6 -24 40 -16

6 -8

-3 10

-4 2

1 -2

2 -5

-3 10

-48+48 120-160

=

1 -2

=

12+(-120) -30+400

15 4

-4 2

18 -35

-4 2

1 -2

-108 370

12+24 -30+(-80)

=

-144+36 440-70

=

-24+30 6+(-30) 32+8 -8+(-8)

36-36 -110+70

0 -40

30+(-12) -75+40

=

=

-4 2

1 -2

=

-108 0 370 -40

2. El producto de matrices cuadradas del mismo orden no es conmutativo en general, es decir: A.B≠B.A

3.

-1 0

0 1

0 1 -1 0

=

0 -1 -1 0

0 -1

1 0

-1 0

=

0 1

0 1

1 0

Si A es una matriz de orden n, entonces A. In = In . A = A, siendo In la matriz unidad

6 3 -2

10 61 8

-5 2 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

6 3 -2

=

4.

10 61 8

-5 2 4

Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra B del mismo orden tal que A . B = B. A = In Si existe la matriz B, se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A-1. Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Los métodos existentes para hallar la matriz inversa son:

6

a)

Aplicando la definición y resolviendo el sistema resultante.

2 -2

-2 3

a c

2a-2c -2a+3c

b d

1 0

=

2b-2d -2b+3d

1 0

=

0 1

0 1

2.a - 2c = 1 -2.a + 3c = 0 ------------c=1

2. b - 2d = 0 -2. b + 3d = 1 -------------d=1

2.a - 2.1 = 1 2.a = 1 + 2 a = 3/2

2.b - 2.1= 0 2.b - 2 = 0 2.b = 2 b=1

A -1 =

3/2 1

1 1

b) Por el método de la reducción o de Gauss

A=

1 0 c)

1 3

1 2

0 -2

-2 3

1 1

2 4

1 0

0 1

2ª F+ (1ªF). (-3)

1 0

0 1

2ªF . 1/-2

-2 3/2

1 0

2 -2

1 -3

0 -1/2

Por el método de determinantes o adjuntos

Det de A = 1 3

2 4 4 – 6 = -2 ≠ 0

Existe A-1

A -1 = 1/det de A . Matriz adjunta de At = 1/-2

7

A 11 A 21

A12 A22

0 1

1ªF + 2ªF

4 -2

1/-2

5.

-3 1

-2 1

-2 3/2

3/2 1/-2

1 1/-2

El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A. (B + C) = A. B + A . C

2 1

4 5

2 4 1 5

46 44

1 2

3 1

1 3 2 1

8 5

+

4 3

=

2 4 1 5

+

2 1

8 4 5 3

=

4 5

9 7

10 10 11 8

7 4

+

46 44

=

36 33

20 19

30 27

=

30 27

OJO: A . B = 0 no implica necesariamente que A= O o B= O A . B = A . C no implica necesariamente que B = C (A + B)2 no es necesariamente igual a A2 + 2 . A . B + B2 (A - B)2 no es necesariamente igual a A2 - 2 . A . B + B2 (A + B) . (A – B) no es necesariamente igual a A2 – B 2

7. REGLAS PARA EL PRODUCTO DE MATRICES: ASOCIATIVA, DISTRIBUTIVA A IZQUIERDA Y DISTRIBUTIVA A DERECHA. Esta propiedad nos permite prescindir de paréntesis cuando multipliquemos varias matrices. Siempre que, por sus dimensiones cada una sea multiplicable por la siguiente. (Am,n . Bn,p) . Cp,q = A m,n . (Bn,p . Cp,q)

1 2 0

3 1 4

-1 1

5 0

0 4

3 6

1 6 2 7

=

8

2 -1 4

5 12 10 4 0 16

21 12 24

1 6 2 7

=

203 151 204

1 3 0

3 1 4

-1 1

5 0

0 4

1 6 2 7

3 6

1 4 0

=

3 1 4

50 51

203 151 204

=

Si A, B, C, D, son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las siguientes propiedades: 1.

A . (B + C) = A . B + A . C (distributiva a la izquierda)

3

2.

4

3

4

35

59

2 1

8 3

3 1

8 3

3 4

+

+

5 2

3

=

3

4

3 4

5 2

4

5 5

=

13 5

35

=

59

10

36

+

25

23

3 2

4 5

=

33

65

22

48

+

11

17

=

(B + C) . D = B . D + C . D (distributiva a la derecha)

2

2

33

8

8

+

3

3 2

3 2

1

4 5

+

4 5

3

5

=

9

3 2

1

4 5

=

=

65

8. MATRIZ IDENTIDAD Una matriz unidad, o identidad es una matriz escalar (todos los aij son iguales) con los elementos de la diagonal principal igual a 1 y ceros en cualquier otra posición. Se denota por nI o simplemente por I y se conoce como la matriz identidad o unidad. La matriz I se asemeja al escalar 1 en que, para cualquier matriz A (del mismo orden), AI = IA =A EJEMPLO: 1 0

I2 =

9

0 1

1 0 0

I3 =

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0 0

I 5=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

9. MATRIZ TRASPUESTA Y REGLAS DE TRANSPOSICIÓN Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas, y se representa por tA o A t. La primera fila de A es la primera columna de tA o A t, la segunda fila de A es la segunda columna de tA o t A , etc ... De la definición se deduce claramente que si A tiene un orden mxn entoncestA o A t tiene orden nxm La traspuesta de una matriz fila es una matriz columna, y al revés EJEMPLO:

1 2 3 4 5 6

Sí A=

1 2 3

Entonces At =

4 5 6

Propiedades: 1.

t t (A ) = A

9 2

2.

3.

-1 10

9 -1

=

2 10

9 2

=

-1 10

t t t (A + B) = A + B

2 -2

+

9 10

2 -2

+

9 10

11 8

=

=

2

11

=

-2

+

8

9

10

=

11

t t t (A + B) = B + A

-1 5 2 -6

+

-9 4 3 2

=

-10 9 5 -4

=

10

-10 5 9 -4

8

-1 5 2 -6

+

-9 4 3 2

-1 2 5 -6

=

+

-9 3 4 2

-10 5 9 -4

=

10. MATRIZ DIAGONAL Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. EJEMPLO:

A=

7 0

0 5

B=

8 0 0 0

0 -6

0 0

0

0

9

0

11. MARIZ SIMÉTRICA La matriz simétrica es aquella que coincide con la traspuesta. Tiene que ser cuadrada aij = aij y se requiere que: a12 = a 21, a13 = a31, a23 = a32, y a11, a 22 y a 23 números cualquiera

a11 a 12 a 13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

EJEMPLO:

A=

3 8 7

8 -7 5

7 5 8

y

At =

11

3 8 7

8 -7 5

7 5 8

12...