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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA INGENIERÍA MECÁNICA – TERMOFLUIDOS

APLICACIÓN DE LA ANALOGÍA HIDRÁULICA-ELÉCTRICA EN EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DE UN FLUJO PULSÁTIL

TESIS QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: MAESTRO EN INGENIERÍA

PRESENTA: DAVID ISRAEL POSADAS NAVARRO

TUTOR PRINCIPAL: Dr. FRANCISCO JAVIER SOLORIO ORDAZ, FACULTAD DE INGENIERÍA

MÉXICO, D.F. ENERO 2016

JURADO ASIGNADO:

Presidente:

Dr. Ascanio Gasca Gabriel

Secretario:

Dr. Vicente y Rodríguez William

Vocal:

Dr. Solorio Ordaz Francisco Javier

1 er. Suplente:

Dr. Salinas Vázquez Martin

2 d o. Suplente:

Dr. Velázquez Villegas Fernando

Lugar donde se realizó la tesis: Ciudad de México en los laboratorios de Termofluidos de la Facultad de Ingeniería de la UNAM

TUTOR DE TESIS: Dr. Francisco Javier Solorio Ordaz

-------------------------------------------------FIRMA

´ Indice general Introducci´ on

III

1. Antecedentes 1.1. Teor´ıa b´asica de circuitos el´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Componentes de un circuito el´ectrico lineal . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.1. Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.2. Inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.3. Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1.4. Fuentes de voltaje y corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ecuaciones b´asicas de los componentes lineales . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ecuaciones b´asicas del capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ecuaciones b´asicas del resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Ecuaciones b´asicas del inductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conceptos b´asicos de la teor´ıa de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1. Impedancias de los elementos b´asicos . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4.1. Obtenci´on del diagrama de Bode a partir de una funci´on de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4.2. Obtenci´on experimental del diagrama de Bode . . . . . . . 1.4. Analog´ıas entre circuitos el´ectricos y circuitos hidr´aulicos . . . . . . . . . . 1.4.1. Analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica del resistor . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica del capacitor . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica del inductor . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Impedancia hidr´aulica (impedancia del fluido) . . . . . . . . . . . . 1.5. Objetivo de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 14 16 16 19 21 24 26

2. Desarrollo experimental 2.1. Equipo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Sistema de control de movimiento . . 2.1.1.1. Etapa de potencia . . . . . 2.1.1.2. Etapa de control . . . . . . 2.1.2. Equipo para la adquisici´on de datos . 2.1.3. Generaci´on del flujo puls´atil . . . . .

27 28 28 28 29 32 34

I

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1 2 2 2 3 4 4 5 5 7 7 8 8 9 10 11 12

´INDICE GENERAL 2.1.3.1. Descripci´on del dispositivo . 2.1.3.2. Ecuaci´on programada . . . 2.2. Preparaci´on de los experimentos . . . . . . . 2.2.1. Material utilizado . . . . . . . . . . . 2.2.2. C´alculo de la impedancia neum´atica . 2.2.2.1. Medici´on de la presi´on ∆P 2.2.2.2. C´alculo del flujo q . . . . .

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34 34 36 36 39 39 40

3. Resultados 3.1. Circuito resistivo con capacitancia en paralelo . . . . 3.1.1. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Circuito resistivo con obstrucci´ on mediante un orificio 3.2.1. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Circuito inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Resistencia y capacitancia en los circuitos . . . . . .

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47 48 48 49 49 51 51 52

4. Conclusiones 57 4.1. Recomendaciones para trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Ap´ endice A Circuitos el´ectricos m´ as comunes Circuito RC . . . . . . . . . Circuito RL . . . . . . . . . Circuito RLC . . . . . . . .

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60 60 60 61 62

Ap´ endice B 65 Funci´on de transferencia de un tanque agitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Funci´on de transferencia en un circuito el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Ap´ endice C Algunos circuitos el´ectricos convenientes . . . . . . . . . . . . . . . . Circuito L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuitos Tee y π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Empleo del circuito π para la soluci´on de un sistema de tuber´ıas

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68 68 68 69 72

Ap´ endice D 78 Uso de una ecuaci´on diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Ap´ endice E 80 Filtro de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Dise˜ no del f iltro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ap´ endice F 85 Datos para el c´alculo de los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Bibliograf´ıa

89 II

Introducci´ on El flujo y la ca´ıda de presi´on en sistemas de tuber´ıas han sido estudiados durante muchos a˜ nos, generalmente considerando el flujo como permanente. Sin embargo, es frecuente que en redes complejas se tenga un estado no permanente, lo que dificulta el an´alisis ya que ´este involucra variables que son funci´on del tiempo y del espacio, en contraste con el estado permanente en donde las variables son solo funci´on del espacio. Para la soluci´ on de problemas en estado no permanente se cuenta con diferentes t´ecnicas: m´etodo de las caracter´ısticas, diferencias finitas, vol´ umenes finitos y elementos finitos, entre otros. Sin embargo, la implementaci´ on de todos ellos es relativamente complicada y requieren de altos tiempos de c´omputo. Y es aqu´ı donde el m´etodo de la analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica juega un papel importante por su sencillez, comparada con los algoritmos mencionados con anterioridad. La idea de la analog´ıa entre los circuitos el´ectricos y los circuitos hidr´aulicos no es novedosa, pero actualmente hay ciertas herramientas que la complementan y la convierten en una t´ecnica muy poderosa en la soluci´ on de diversos problemas de ingenier´ıa. As´ı por ejemplo, algunos de los conceptos de la teor´ıa del control se usan junto con la analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica para resolver problemas muy variados: flujo en microcanales, flujos biol´ogicos (sistemas circulatorio, respiratorio, etc.), redes t´ermicas, hidr´aulicas y neum´aticas, entre otros. En este trabajo se muestran los conceptos b´asicos de la analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica, as´ı como algunos conceptos b´asicos de la teor´ıa de control. Se explica la relaci´on que existe entre las tres propiedades fundamentales de los circuitos el´ectricos (resistencia, capacitancia e inductancia) con las correspondientes de los circuitos neum´aticos (resistencia, complianza o capacitancia e inertancia). Para mostrar la existencia y caracter´ısticas de estas propiedades se us´o un dispositivo que genera un flujo reciprocante o puls´ atil, que se aplica a un circuito neum´atico cuya configuraci´on se puede variar para resaltar cada una de las propiedades. La tesis est´a dividida de la siguiente forma: Cap´ıtulo 1: Se presentan conceptos elementales de la teor´ıa de circuitos el´ectricos para III

Introducci´on

despu´es seguir con conceptos b´asicos de la teor´ıa de control, finalmente se presenta la teor´ıa de la analog´ıa hidr´aulica-el´ectrica. Al final del cap´ıtulo se muestra el objetivo de la tesis. Cap´ıtulo 2: Se describe el equipo que fue utilizado para el desarrollo de los experimentos, para posteriormente mostrar los experimentos realizados. Cap´ıtulo 3: Se muestra el an´ alisis de los resultados obtenidos. Cap´ıtulo 4: Finalmente en este cap´ıtulo se presentan las principales conclusiones desprendidas durante el desarrollo de este trabajo. Se incluyen tres ap´endices que son una parte importante para la compresi´on del tema que aqu´ı se desarrolla. En el ap´endice A se muestran algunos de los circuitos el´ectricos m´ a s comunes, lo cual refuerza la teor´ıa de circuitos el´ectricos, esto hace m´as f´acil el entendimiento de la analog´ıa con los circuitos hidr´aulicos y neum´ a ticos. En el ap´endice B se muestran ejemplos de la obtenci´on de la funci´on de transferencia en un sistema hidr´aulico y un sistema el´ectrico. En el ap´endice C se muestran algunos circuitos el´ectricos que son utilizados en el modelado de tuber´ıas presurizadas.

IV

Cap´ıtulo 1 Antecedentes En este cap´ıtulo se describen los antecedentes necesarios para poder entender el objetivo de este trabajo de tesis. Primeramente se da un repaso de conceptos b´asicos de la teor´ıa de circuitos el´ectricos. Despu´es se definen conceptos propios de la teor´ıa de control. Posteriormente se muestra la utilidad de los conceptos anteriores en la ingenier´ıa de fluidos, esto mediante el concepto de analog´ıa que existe entre los circuitos el´ectricos y los circuitos hidr´aulicos. Finalmente se describe el objetivo de este trabajo de tesis.

1

Cap´ıtulo 1

1.1.

Antecedentes

Teor´ıa b´ asica de circuitos el´ ectricos

Los circuitos el´ectricos son interconexiones de dos o m´as componentes, (tales como resistores, inductores, capacitores, fuentes, interruptores, etc.) que contienen al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos que contienen solo fuentes y componentes lineales (capacitores, inductores, resistencias) y elementos de distribuci´on lineales (l´ıneas de transmisi´on o cables) pueden analizarse por m´etodos algebraicos para determinar su comportamiento en corriente directa o en corriente alterna. Un circuito que tiene componentes electr´onicos es denominado un circuito electr´onico. Estas redes son generalmente no lineales y requieren dise˜ nos y herramientas de an´ alisis mucho m´as complejos. Las clasificaciones m´as comunes para los circuitos el´ctricos son las siguientes: 1. Por tipo de se˜ nal: corriente contin´ ua CD y corriente alterna CA. 2. Tipo de r´egimen: corriente peri´odica, corriente transitoria y permanente. 3. Tipos de componentes: el´ectricos (capacitores, resistores, inductores) y electr´ onicos (digitales, anal´ogicos y mixtos). 4. Tipo de configuraci´on: serie, paralelo y mixto. Por lo expuesto anteriormente y como se podr´ a ver m´ as adelante el inter´es para este estudio es en los circuitos que involucran los dos tipos de se˜ nales (CD y CA) adem´as las tres configuraciones, (serie, paralelo y mixto) y lo m´as importante con componentes el´ectricos, estos son los llamados circuitos lineales como se mencion´o anteriormente. Con este tipo de circuitos se pueden trabajar ciertas analog´ıas con los circuitos hidr´aulicos.

1.1.1.

Componentes de un circuito el´ ectrico lineal

1.1.1.1.

Capacitor

Un capacitor es un dispositivo pasivo, capaz de almacenar energ´ıa sustentando un campo el´ectrico. Est´a formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de l´aminas o placas, en situaci´on de influencia total (esto es, que todas las l´ıneas de campo el´ectrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material diel´ectrico o por el vac´ıo. Las placas, sometidas a un voltaje, adquieren una determinada carga el´ectrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variaci´ on de carga total. Su funcionamiento simplemente se basa en que la carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacidad o capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una diferencia de potencial de 1 voltio, estas adquieren una carga el´ctrica de 1 culombio. 2

Cap´ıtulo 1

Antecedentes

Figura 1.1. a) capacitores m´as comunes, b) s´ımbolo electr´onico del capacitor 1.1.1.2.

Inductor

Un inductor es un componente pasivo de un circuito el´ectrico que debido al fen´omeno de la autoinducci´on, almacena energ´ıa en forma de campo magn´etico. Un inductor est´a constituido normalmente por una bobina de conductor, t´ıpicamente alambre o hilo de cobre esmaltado. Existen inductores con n´ ucleo de aire o con n´ ucleo hecho de material ferroso (por ejemplo, acero magn´etico), para incrementar su capacidad de magnetismo. El inductor consta de las siguientes partes: 1. Devanado del inductor: Es el conjunto de espiras destinado a producir el flujo magn´etico, al ser recorrido por la corriente el´ectrica. 2. Culata: Es una pieza de sustancia ferromagn´etica, no rodeada por devanados, y destinada a unir los polos de la m´aquina. 3. Pieza polar: Es la parte del circuito magn´etico situada entre la culata y el entrehierro, incluyendo el n´ ucleo y la expansi´on polar. 4. N´ ucleo: Es la parte del circuito magn´etico rodeada por el devanado del inductor. 5. Expansi´ on polar: Es la parte de la pieza polar pr´oxima al inducido y que bordea al entrehierro. 6. Polo auxiliar o de conmutaci´on: Es un polo magn´etico suplementario, provisto o no, de devanados y destinado a mejorar la conmutaci´on. Suelen emplearse en las m´aquinas de mediana y gran potencia.

3

Cap´ıtulo 1

Antecedentes

Figura 1.2. a) inductor casero, b) s´ımbolo electr´onico del inductor 1.1.1.3.

Resistor

Un resistor es un material formado por carb´ on y otros elementos resistivos para disminuir la corriente que pasa por un circuito el´ectrico. Se opone al paso de la corriente. La corriente m´axima y diferencia de potencial m´ axima en un resistor viene condicionada por la m´axima potencia que pueda disipar su cuerpo. Esta potencia se puede identificar visualmente a partir del di´ ametro sin que sea necesaria otra indicaci´on. Los valores m´s comunes son 0,25 Watts, 0,5 Watts y 1 Watts. Para caracterizar un resistor hacen falta tres valores: resistencia el´ectrica, disipaci´on m´axima y precisi´on o tolerancia. Estos valores se indican normalmente en el encapsulado dependiendo del tipo de e´ste; para el tipo de encapsulado axial que es el m´as com´ un, existe un c´odigo de franjas de colores. Aqu´ı no se menciona como se utiliza ese c´odigo pero se puede ver en la referencia[13] .

Figura 1.3. a) diferentes tipos de resistores, b) s´ımbolo electr´onico del resistor 1.1.1.4.

Fuentes de voltaje y corriente

Se le conoce as´ı al elemento activo que es capaz de generar una diferencia de potencial entre sus bornes o proporcionar una corriente el´ectrica para que otros circuitos funcionen. Se pueden clasificar en dos tipos: 4

Cap´ıtulo 1

Antecedentes

1. Fuentes ideales: Las fuentes ideales son elementos utilizados en la teor´ıa de circuitos para el an´alisis y la creaci´on de modelos que permitan analizar el comportamiento de componentes electr´ onicos o circuitos reales. Pueden ser independientes, si sus magnitudes (tensi´on o corriente) son siempre constantes, o dependientes en el caso de que dependan de otra magnitud (tensi´on o corriente). 2. Fuentes reales: A diferencia de las fuentes ideales, la diferencia de potencial que producen o la corriente que proporcionan las fuentes reales, depende de la carga a la que est´en conectadas.

Figura 1.4. a) y b) fuentes ideales de voltaje y corriente, c) fuente f´ısica de voltaje

1.2.

Ecuaciones b´ asicas de los componentes lineales

1.2.1.

Ecuaciones b´ asicas del capacitor

Como se vio anteriormente la propiedad principal de un capacitor es el almacenamiento de energ´ıa, por lo tanto es necesario saber c´omo calcular esa energ´ıa almacenada. Tambi´en es de suma importancia saber c´ omo se efect´ ua el proceso de carga y descarga del capacitor. A continuaci´on se presentan las ecuaciones que describen estos fen´omenos. La capacitancia de un capacitor viene dada por: Q1 V1 − V2 Q2 C= V2 − V1

C=

Donde: 5

(1.1) (1.2)

Cap´ıtulo 1

Antecedentes

1. C : Capacitancia 2. Q1 : Carga el´ectrica almacenada en la placa 1 3. Q2 : Carga el´ectrica almacenada en la placa 2 4. V1 − V2 : Diferencia de potencial entre la placa 1 y 2 La energ´ıa almacenada en el capacitor viene dada por la siguiente expresi´on:

ǫ=

Z

q2

V dq =

q1

Z

q2 q1

1 Q Q2 = C(V12 − V22 ) dq = 2C 2 C

(1.3)

Donde: 1. q1 : Es la carga inicial. 2. q2 : Es la carga final. 3. Q: Son las cargas inicial y final respectivamente. 4. V1 : Es la tensi´on inicial. 5. V2 : Es la tensi´on final. Las ecuaciones de carga y descarga respectivamente son: −t

V (t) = Vf (1 − e RC ) Carga I(t) =

Vf −t (e RC ) Carga R −t

V (t) = Vi (e RC ) Descarga I(t) = Vf (1 − e

6

−t RC

) Descarga

(1.4) (1.5) (1.6) (1.7)

Cap´ıtulo 1

Antecedentes

Donde: 1. V(t): Es la tensi´ on en el condensador. 2. Vi : Es la tensi´on o diferencia de potencial el´ectrico inicial (t=0) entre las placas del condensador. 3. V(f ): Es la tensi´on o diferencia de potencial el´ectrico final (a r´egimen estacionario t ≥ 4RC) entre las placas del condensador. 4. i(t): La intensidad de corriente que circula por el circuito. 5. RC : Es la capacitancia del condensador en faradios multiplicada por la resiste...