Teste 1 10 resolucao - rrrrrrrrrrr PDF

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TESTE N.º 1 – Proposta de resolução 1. Opção (A) Seja A a área total da pirâmide quadrangular regular de aresta ฀฀.

A = ฀฀2 + 4 ×

฀฀×ℎ , 2

onde ℎ é a altura de cada uma das faces.

Assim: A = ฀฀2 + 4 × = ฀฀2 + 4 =

฀฀2

√3

฀฀× ฀฀ 2

√3฀฀2 4

2

Cálculo auxiliar ฀฀ 2 ฀฀2 ℎ2 + � � = ฀฀2 ⇔ ℎ 2 = ฀฀2 − 4 2 3฀฀ 2 ⇔ ℎ2 =

=

4

=

Logo, ℎ = �

2

+ √3฀฀ =

3฀฀2 4

√3

=

2

฀฀.

= ฀฀2 (1 + �3)

2. Seja ฀฀ o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio ฀฀ e A a área do quadrado. 2

A = ฀฀2 = = =

=

2

�√7−1� 2 2

�√7� −2√7+1 2 8−2√7 1

4−√7

=

�4−√7)�4+√7��

=

2 4 2 −�√7�

=

4+√7

16−7

⇔ 2฀฀2 = 4 × � ⇔ ฀฀2 =

=

4+√7

4+ √7

฀฀2 + ฀฀2 = (2฀฀)2

=

=

=

=

Cálculo auxiliar 1 ฀฀= √7 − 1

2

1

�

√7−1

2

2

�√7−1�

=

=

=

4+√7 9

3. Opção (B) ~(฀ ฀ < 0 ∨ ฀฀ ≥ ฀฀) ⇔ ฀฀ ≥ 0 ∧ ฀฀ < ฀฀

Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano

Expoente10 |

Daniela Raposo e Luzia Gomes

4. 1+(−2)

4.1. Coordenadas do ponto médio de [฀฀฀฀]: �

2

,

2+(−2) � 2

= �−

1 , 0� 2

Coordenadas de um vetor diretor da bissetriz dos quadrantes pares: (−1,1) 1

Equação vetorial da reta pretendida: (฀฀, ฀฀) = �− 2 , 0� + ฀฀(−1,1), ฀฀ ∈ ℝ 4.2. ���� = ฀฀ − ฀฀ = (−2, −2) − (1, 2) = (−3, −4) 4.2.1. ฀฀฀฀ −4

฀ ฀ = −3 = 4

4

3

฀ ฀ =3 ฀ ฀ + ฀฀

4

Como ฀฀ pertence à reta ฀฀฀฀, vem 2 = 3 × 1 + ฀฀. 4

2

Logo, ฀ ฀ = 2 − = 3. 3

4

Equação reduzida da reta ฀฀฀฀: ฀ ฀ = ฀ ฀ +3 3

2

Para que ฀฀(฀฀, ฀฀ − 1) pertença à reta ฀฀฀฀, tem que se verificar: 4

2

4

2

1

5

฀฀ − 1 = 3 × ฀ ฀ +3 ⇔ ฀฀ −3 ฀ ฀ =3 + 1 ⇔ − 3 ฀ ฀ =3 ⇔ ฀ ฀ = −5

4.2.2. Para que ฀฀(฀฀, ฀฀ − 1) pertença à mediatriz de [฀฀฀฀], tem que se verificar ฀฀(฀฀, ฀฀) = ฀฀(฀฀, ฀฀). Temos que: ฀฀(฀฀, ฀฀) = ฀฀(฀฀, ฀฀)

⇔ �(฀฀ − 1)2 + (฀฀ − 1 − 2)2 = �(฀ ฀ + 2)2 + (฀฀ − 1 + 2)2

⇔ ฀฀ 2 − 2฀ ฀ + 1 + ฀฀ 2 − 6฀ ฀ + 9 = ฀฀ 2 + 4฀ ฀ + 4 + ฀฀ 2 + 2฀ ฀ + 1

⇔ −8฀ ฀ + 10 = 6฀ ฀ + 5 ⇔ −14฀ ฀ = −5 ⇔ ฀฀ =

5

14

5

Logo, o valor de ฀฀ para o qual ฀฀ pertence à mediatriz de [฀฀฀฀] é 14. ����� = (−3, −4) 4.3. ฀฀฀฀

����� , tem de ser da forma ฀฀฀฀฀฀ ����� , isto é,(−3฀฀, −4฀฀), ฀฀ ∈ ℝ. Para o vetor ser colinear com ฀฀฀฀ Para que tenha norma √15, tem que acontecer:

�(−3฀฀)2 + (−4฀฀)2 = √15 ⇔ 9฀฀2 + 16฀฀2 = 15 ⇔ 25฀฀2 = 15 ⇔ ฀฀2 =

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⇔ ฀฀ = ±� ⇔ ฀฀ =

√15 5

∨ ฀฀ = −

√15 5

√15

����� , tem-se que ฀ ฀ = − . Para que o vetor tenha sentido contrário ao de ฀฀฀฀ 5 3√15 5

Assim, o vetor nas condições pretendidas tem coordenadas �

,

4√15 5

�.

5. Opção (D) 1

(2฀฀6 ฀฀ 8 )−4 × √8฀฀−2 = 4

4

1

√2฀฀ 6 ฀฀8

× √8฀฀−2 = � 4

4

=�

4

8฀฀−2

2฀฀6 ฀฀8

4

฀฀8 ฀฀8

=

=

1

=

4 4

1

(฀฀8 ฀฀8 )4

=

1

=

(22 ) 4 ฀฀2 ×฀฀2

=

2 2 (฀฀฀฀)2

=

1

=

=

√2 (฀฀฀฀)2

6. 6.1. 6.1.1. ฀฀ 2 + ฀฀ 2 − 4฀฀ − 10฀ ฀ = 0 ⇔ ฀฀2 − 4฀ ฀ + 22 + ฀฀ 2 − 10฀ ฀ + 52 = 22 + 55 ⇔ (฀฀ − 2)2 + (฀฀ − 5)2 = 29

O centro da circunferência é o ponto de coordenadas (2, 5). Como este ponto não pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, pois não verifica a condição ฀ ฀ = ฀฀ , a proposição apresentada é falsa. 6.1.2. Determinação das coordenadas do ponto ฀฀: ฀฀(฀฀, 7) Como ฀฀ pertence à circunferência, vem que:

(฀฀ − 2)2 + (7 − 5)2 = 29 ⇔ (฀฀ − 2)2 + 4 = 29 ⇔ (฀฀ − 2)2 = 25

⇔ ฀฀ − 2 = 5 ∨ ฀฀ − 2 = −5 ⇔ ฀฀ = 7 ∨ ฀฀ = −3

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Como ฀฀ pertence ao 2.º quadrante, tem--se que ฀ ฀ < 0. Logo, ฀ ฀ = −3. Assim, ฀฀(−3, 7).

��� é um vetor diretor da reta ฀฀ e �฀฀฀฀ ���� = ฀฀ − ฀฀ = (−3, 7). Logo, a equação reduzida é do ฀฀฀฀ 7

7

tipo฀ ฀ = −3 ฀ ฀ + ฀฀. Como a reta passa na origem, vem que ฀ ฀ = − ฀฀. 3

฀ ฀ = ฀ ฀ + 6฀฀ A reta ฀฀ definida por � , ฀฀ ∈ ℝ tem como vetor diretor�(6, ฀฀ −14) (por exemplo) ฀ ฀ = √2 − 14฀฀

e o seu declive é, então, −

14 6

7

=− . 3

Como os declives das retas ฀฀ e ฀฀ são iguais, as retas são paralelas (não são retas coincidentes pois, por exemplo, o ponto da reta ฀฀ de coordenadas (฀฀, √2) não pertence à 7

reta ฀฀, já que √2 ≠ −3 ฀฀ ).

Assim, a proposição apresentada é verdadeira.

6.2.

7

((฀฀ − 2)2 + (฀฀ − 5)2 ≤ 29 ∧ ฀฀ ≥ 7) ∨ �(฀฀ − 2)2 + (฀฀ − 5)2 ≤ 29 ∧ ฀฀ ≤ − ฀฀� 3 7

⇔ (฀฀ − 2)2 + (฀฀ − 5)2 ≤ 29 ∧ �฀฀ ≥ 7 ∨ ฀฀ ≤ −3 ฀฀�

7. Opção (B) ฀฀: �(−2019)2 = −2019 é uma proposição falsa.

฀฀: 3�(−2018)3 = −2018 é uma proposição verdadeira. Assim: (฀฀ ∧ ฀฀) ⇔ (F ∧ V) ⇔ F

(฀฀ ∨ ฀฀) ⇔ (F ∨ V) ⇔ V

(฀฀ ⇒ ฀฀) ⇔ (V ⇒ F) ⇔ F

(฀฀ ⇔ ฀฀) ⇔ (F ⇔ V) ⇔ F

8. Opção (C) Das opções apresentadas, apenas o vetor de coordenadas (0, 2018) tem a direção do eixo ฀฀฀฀. Assim, a única equação que pode definir a reta ฀฀ é (฀฀, ฀฀) = (3, 3) + ฀฀(0, 2018), ฀฀ ∈ ℝ.

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