Texto GUIA CAP 3 4 5 - Guía para integrales;fracciones parciales, separación de variables, etc PDF

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PRINCIPIOS MATEMATICOSPARA MEDICINATEXTO GUÍA.NOTAS DE CLASE PARA EL CURSO:MATE1721DIRIGIDO A ESTUDIANTES DEPRIMERSEMESTRE DEMEDICINA.EN REPARACIÓN.PORJOSÉRICARDOARTEAGA BEJARANO Universidad de los Andes Bogotá, ColombiaJ R2021PUBLISHERMATE1721 Prof. José Ricardo Arteaga B.MATE1721 Prof. José Ricard...

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PRINCIPIOS MATEMATICOS PARA MEDICINA

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DE CLASE PA RA EL CURSO:

DIRIGIDO A ESTUDIA NTES DE

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J OSÉ R ICARDO ARTEAGA BEJARANO Universidad de los Andes Bogotá, Colombia

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2021 PUBLISHER

MATE1721

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Prof. José Ricardo Arteaga B.

Principios Matemáticos para Medicina

Índice general 3. La Integral 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Interpretación geométrica de una integral definida . . . . . . . . . . . . . 3.2. Propiedades de las integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Integración cambiando la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Integración usando fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 57 61 64 65 68 68 68 70 72

4. Modelos Continuos Unidimensionales 77 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. EDO autónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3. Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3.1. EDO no lineales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4. Métodos para resolver EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.1. Crecimiento exponencial (Modelo de Malthus) . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.2. Crecimiento logístico (Modelo de Verhulst) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5. Equilibrios y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6. Una justificación del modelo logístico continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7. Ejemplos de algunos modelos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.1. Modelo de Levins (modelo de metapoblaciones) . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.2. Crecimiento de una población. Revisitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7.3. La ley de acción de masas (Velocidad de una reacción química) . . . . . . 91 4.7.4. Modelo de Tilman de competición por recursos . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.7.5. El efecto Allee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.8. Estabilidad: método geométrico-gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 I

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5. Procesos continuos bidimensionales 101 5.1. Sistemas de dos EDO de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.1. Sistemas lineales y Sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1.2. Linealización de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2. El plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.1. Campo de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.2. Nulclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3. Estabilidad de los equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3.1. Criterio de estabilidad analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4. Interacción entre especies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4.1. Especies en competencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5. Sistemas autónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6. Análisis geométrico en el plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1. Campo de pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.6.2. Orbitas o trayectorias solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.6.3. Nulclinas y equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.7. Solución de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7.1. Gráfico de una solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

II

Principios Matemáticos para Medicina

Capítulo 3

La Integral 3.1. Introducción Supongamos un paciente al cual se le suministró 250 mg de Clarithromycin via oral. Según estudios en farmacocinética/farmacodinámica (PharmacoKinetics/PharmacoDynamics(PK/PD)) la concentración en plasma sanguíneo, C(t), en función del tiempo t, se puede aproximar por la siguiente función, C(t) = c 1 e−κe t − c 2 e−κa t γ c1 = c2 = κa − κ e

(3.1)

donde κa y κ e son las constantes de asimilación y eliminación respectivamente y γ es la constante que contiene información sobre la dosis (cantidad en mg del componente), la biodisponibilidad y el volumen de sangre del individuo. La gráfica (3.1) muestra el comportamiento de esta función para los valores de los parámetros mostrados en la tabla (3.1): Cuadro 3.1: Valor de los parámetros constantes. κa = 1.06002596281132 κ e = 0.264941665183897 γ = 4.91355948683351e − 6 Existen varios parámetros básicos en PD/PK importantes en relación con la concentración del fármaco en un paciente al cual se le ha suministrado una sola dosis de un fármaco, t max es el tiempo que se alcanza la concentración máxima, C max la concentración máxima, y AU C el área bajo la curva (Area Under the Curve). Regularmente se mide entre el momento de la ingesta del fármaco y 24 horas después. 55

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Figura 3.1: Gráfico de la concentración en plasma sanguíneo de un paciente quien se le formuló una dosis de 250mg de Clarithromycin. El tiempo está dado en horas. El área bajo la curva (AUC), entre t = 0 y t = 24, es aproximada con una suma de Riemann en la cual la partición es N = 10 y el punto representante en cada intervalo es el punto medio. AUC ≈ 4.596594772417907. El valor de AUC resolviendo la integral es: AU C = 4.363807420890836. Observe que el valor real es menor que el aproximado. Los anteriores parámetros básicos dependen de las constantes (κa , κ e , γ). El valor t max se puede encontrar usando los conocimientos de la derivada vistos en el capítulo anterior: derivando e igualando a cero se encuentran los números críticos y con la segunda derivada se puede comprobar que en ese punto la curva obtiene un máximo que es C max . Se deja como ejercicio al lector encontrar la abscisa y ordenada del punto máximo de esta función. Definición 3.1 (Integral definida). Sea P = [x0 , x1 , ..., x n ] una partición del intervalo cerrado [a, b], talque x0 = a y x n = b, y, a = x0 < x1 < ... < x n = b. Denotemos por ∆x k = x k − x k −1 y c k ∈ [ x k −1 , x k ], para todo k = 1, 2, ..., n. La integral definida desde a hasta b es: Zb n X f (c k )∆x k f (x) d x := l´ım a

n→∞

k =1

en caso que el límite exista y en este caso diremos que f es integrable en el intervalo [a, b].

Nota 1.

La parte derecha de la definición de la integral, se le conoce como sumas de Riemann1 .

1 Georg Friedrich Bernhard Riemann, matemático Alemán (1826 1866) hizo muchas contribuciones a las matemáticas en diferentes áreas, análisis, teoría de números, geometría diferencial entre otras. El aporte más destacado fue la formulación rigurosa de la integral de Riemann.

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La partición se llama regular si todos los intervalos tienen el mismo tamaño. En este caso, b−a ∆x k = n Riemann estableció que el valor de la integral es independiente del punto representativo en cada intervalo de la partición: punto medio, punto del extremo derecho, punto del extremo izquierdo o cualquier otro punto del intervalo y además que también es independiente si la partición es regular o no. En nuestro curso tomaremos únicamente particiones regulares y los puntos representativos: el punto medio, el punto del extremo derecho, o, el punto del extremo izquierdo según se indique. Teorema 3.1. Toda función continua definida en un intervalo cerrado [a, b] es integrable. Es decir, Zb f (x) d x a

existe.

3.1.1. Interpretación geométrica de una integral definida El resultado después de evaluar una integral definida de una función es un número real I que puede ser positivo, negativo o cero. Este número, I, se interpreta de la siguiente manera: Si f (x) es positiva f (x) > 0 para todo x ∈ [a, b] entonces I es un número positivo I > 0 y es el área entre la curva y el eje x. Se le llama en este caso el área bajo de la curva. Si f (x) es negativa f (x) < 0 para todo x ∈ [a, b] entonces I es un número negativo I < 0 y el opuesto a este número, − I, es el área entre la curva y el eje x. La razón de esta interpretación es que el área no puede ser un número negativo. Si I = 0 podría suceder dos cosas: • que la función sea cero en todo el intervalo [a, b], ó, • que la función en este intervalo tiene una parte por encima del eje x con área debajo de la curva I 1 y otra parte por debajo del eje x, cuya integral es − I 2 . El área por debajo del eje x tiene un valor igual a − I 2 . De esta manera, si los valores absolutos | I 1 | = | I 2 | entonces, el valor de la integral total es cero. Principios Matemáticos para Medicina

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Ejemplo 3.1. Consideremos la función, f (x) = x

0≤x≤4

Dado que la función es no negativa en el intervalo dado, el área bajo la curva en ese intervalo es el área de un triángulo. Z4 0

x dx = 8

(3.2)

que es el área del triángulo. Z

4

x dx 0 ≤ x ≤ 4

0

4

3

y

Area = 8.00 2

1

0 0

1

2

3

4

x

Figura 3.2: f (x) = x para x ∈ [0, 4] es una Z4función no negativa. Por lo tanto, el área debajo de la curva es igual a la integral definida: x dx 0

Ejemplo 3.2. Consideremos la función, f (x) = x2

2≤x≤4

Dado que la función es positiva, el área debajo la curva en ese intervalo es igual a la integral definida: Z4 Area bajo la curva = x2 d x = 18.67 (3.3) 2

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4

x2 dx 2 ≤ x ≤ 4 2

16 14

Area = 18.67

12

y

10 8 6 4 2 0 0.0

0.5

1. 0

1.5

2.0

2.5

3.0

3. 5

4. 0

x

Figura 3.3: f (x) = x2 para x ∈ [2, 4] es una función positiva. Por lo tanto, el área debajo de la Z4 curva es igual a la integral definida: x2 d x 2

Ejemplo 3.3. Consideremos la función,

f (x) = x

−4 ≤ x ≤ 4

Esta función es positiva y negativa. En el intervalo [−4, 0) es negativa y en el intervalo (0, 4] es positiva. La integral definida:

Z4

−4

x dx = 0

Observe que hay dos áreas, una arriba del eje x y otra debajo del eje x. La integral

(3.4)

Z0 −4

x d x = I1

es un número negativo. El opuesto de este número es el área encima de la curva y debajo del Z eje x. La integral

del eje x.

4

0

x d x = I 2 es un número positivo y es el área debajo de la curva y encima Principios Matemáticos para Medicina

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4

x dx

−4≤x≤4

−4

4

Rb a

y

2

x dx = 0.00

0

−2

−4 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

Figura 3.4: f (x) = x para x ∈ [−4, 4] es una función negativa en una parte y positiva en otra Z4 x d x es la suma de dos parte del intervalo considerado. Por lo tanto, la integral definida: −4

integrales una negativa y otra positiva.

Ejemplo 3.4. Consideremos la función,

f (x) = x

−1 ≤ x ≤ 4

Esta función es positiva y negativa. En el intervalo [−1, 0) es negativa y en el intervalo (0, 4] es positiva. La integral definida:

Z4

−1

x dx =

15 = 7.50 2

(3.5)

Observe que hay dos áreas, una arriba del eje x y otra Z debajo del eje x. Estas integrales las 4 podemos calcular de la siguiente manera: La integral x d x = 8 porque es el área de un 0 Z0 triángulo. La integral x d x = −0.5 porque el triángulo está por debajo del eje x y tiene −1

área igual a 0.5. El resultado final es la suma de estos dos números. 60

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4

x dx

−1≤x≤4

−1

5

4 3

y

2

Rb a

x dx = 7.50

1

0 −1 −2 0

−1

1

2

3

4

x

Figura 3.5: f (x) = x para x ∈ [−1, 4] es una función negativa en una parte y positiva en otra Z4 x d x es la suma de dos parte del intervalo considerado. Por lo tanto, la integral definida: −1

integrales una negativa y otra positiva.

Nota 2. El resultado de una integral definida de una función continua en un intervalo es un número real que puede ser positivo, negativo o cero. Las área de figuras nunca son negativas ni cero, siempre son positivas. Si la función es positiva en un intervalo podemos decir que el área bajo la curva es igual a la integral definida en ese intervalo de la función.

3.2. Propiedades de las integrales definidas Sean f , g funciones integrables en [a, b] y sea c una constante (número real). Entonces: 1.

Za a

2.

Zb

f (x) d x = −

Za

f (x) d x

Zb

c f (x) d x = c

Zb

f (x) d x

a

3.

a

4.

Zb a

f (x) d x = 0

[ f (x) + g(x)] d x =

Zb a

b

a

f (x) d x +

Zb

g(x) d x

a

5. Si f es integrable sobre un intervalo que contiene los tres números a, b y c, entonces: Zb Zc Zb f (x) d x + f (x) d x = f (x) d x a

a

c

El número c puede estar dentro o fuera del intervalo [a, b]

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6. Si f (x) ≥ 0 sobre [a, b], entonces

Zb a

f (x) d x ≥ 0

7. Si f (x) ≤ g(x) sobre [a, b], entonces Zb a

f (x) d x ≤

Zb

g(x) d x

a

8. Si m ≤ f (x) ≤ M sobre [a, b], entonces m(b − a) ≤

Zb a

f (x) d x ≤ M(b − a)

Teorema 3.2. Sea f (x) una función impar definida en el intervalo [−a, a]. Es decir, f (x) = − f (− x) para todo x ∈ [−a, a]. Entonces, Za f (x) d x = 0 (3.6) −a

Ejemplo 3.5. Hallar la integral definida, Zπ e35

−π e 35

x dx p 1 + x100

(3.7)

Solución. La función f (x) es impar porque,

x f (x) = p 1 + x100 −x f (− x) = p 1 + x100 Por lo tanto, f (x) = − f (− x)

(3.8)

Por el teorema (3.2) la integral, Zπ e35

−π e 35

x dx = 0 p 1 + x100

(3.9)

Teorema 3.3. Sea f (x) una función par definida en el intervalo [−a, a]. Es decir, f (x) = f (− x) para todo x ∈ [−a, a]. Entonces, Za Za f (x) d x (3.10) f (x) d x = 2 −a

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0

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Ejemplo 3.6. Hallar la integral Z4

−4

| x| d x

(3.11)

Solución. Note que la función f (x) = | x| es una función par. Por lo tanto, Z4

Z4 | x| d x | x| d x = 2 0 −4 Z4 x dx =

(3.12)

0

Pero, esta última integral debido a que la función f (x) = | x| es no negativa en el intervalo [0, 4] la podemos hacer simplemente observando el dibujo y hallando la integral bajo la curva (ver ejemplo (3.1)). Por lo tanto, Z4 | x| d x = 16 −4

Definición 3.2 (Integrales indefinidas). Sea f (x) una función. Si existe otra función F(x) tal que d F(x) = f (x), ∀ x ∈ Dom(f ) (3.13) dx decimos que F es una primitiva de f y escribimos, Z f (x) d x = F( x) + C (3.14) y la llamaremos integral indefinida de f .

Rb la integral Nota 3. A diferencia de una integral definida a f (x) d x que es un número, R indefinida es una función llamada primitiva de f mas una constante, f (x) d x = F(x) + C.

Una primitiva F(x) también se le puede llamar antiderivada de la función f (x). Si dos funciones F1 (x) y F2 (x) son primitivas de alguna función f (x) entonces ellas difieren en una constante. Es decir, Si

F ′1 (x) = f (x),

y

F 2′ (x) = f (x) =⇒ F1 (x) = F2 (x) + C

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3.3. Tabla de integrales La siguiente es una tabla de integrales indefinidas la cual es una ayuda muy útil para calcular integrales. Todas ellas se pueden demostrar usando las técnicas aprendidas en este capítulo. Frecuentemente, suele ser necesario transformar el integrando de interés en una expresión que coincida con el integrando de la tabla. Por otro lado, existen muchas integrales que simplemente no se pueden calcular de forma exacta y deben ser evaluadas numéricamente. Z Funciones elementales 8. sin x d x = − cos x + C Z Z 1. 0 dx = C 9. cos x d x = sin x + C Z Z 2. a d x = ax + C 10. tan x d x = − ln | cos x|+ C = ln |sec x|+ C Z 1 Z 3. xn d x = x n+1 + C n +1 11. sec2 d x = tan x + C Z Z 1 d x = ln | x| + C 4. 12. sec x tan x d x = sec x + C x Z Z 5. ex d x = ex + C 13. csc2 x d x = − cot x + C ax + C; con a > 0, a 6= 1 ln a

6.

Z

ax d x =

7.

Z

ln x d x = x ln x − x + C

14.

Z

csc x cot x d x = − csc x + C

15.

Z

cot x d x = − ln | csc x| + C

Funciones no elementales 1.

Z

2.

Z

x x b d x = − 2 ln |ax + b| + C ax + b a a 1

1

x +C a Z ¯ ¯ 1 1 ¯x + a ¯ d x = ln 4. ¯ +C ¯ a2 − x2 x−a 2a Z x 1 d x = sin−1 + C p 5. 2 2 a a −x Z ¯ ¯ p 1 ¯ ¯ 6. d x = ln ¯ x + x2 ± a2¯ + C p x2 ± a2 3.

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