Ti NH MA TRAN NGHi CH DAO PDF

Preview

Summary

tính ma trạn nghich đảo trong toán cao cấp...

Description

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. Dùng ma trận phần phụ đại số * Cho Anxn có D=det(A) và Dij là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j * Ma trận Anxn khả đảo Û det(A)≠0 é A11 ê 1 ê A21 A-1 = det( A) ê M ê ë An1

T

A12 L A1 n ù A22 L A2 n úú với Aij=(-1)i+jDij ú M M M ú An2 L Ann û

é1 2 3 ù Ví dụ: Cho ma trận A = êê0 - 2 múú . Tính A-1 êë2 0 4 úû Giải 3 1 2 3 1 2 -2 m = 4m + 4 * Tính det( A) = 0 - 2 m = 0 - 2 m = -4 -2 2 0 4 0 -4 -2 * Nếu m= -1 thì det(A)=0 không tồn tại A-1 * Nếu m≠ -1 thì det(A) ≠0 Þ A-1 tồn tại, nên ta tính các phần phụ đại số Aij -2 m 0 m 0 -2 = -8 = 2m =4 A11 = A12 = A13 = 0 4 2 4 2 0 A21 = A31 =

2 3 = -8 0 4

2 3 = 2m + 6 -2 m

Þ A -1

Þ A -1

A22 =

A32 = -

é -8 2m 1 ê -8 -2 = 4m + 4 ê êë 2m + 6 - m é -2 -2 ê m +1 m +1 ê -1 m =ê ê 2( m + 1) 2(m + 1) ê 1 1 ê + +1 1 m m êë

DATADA –ĐHNL Tp HCM

1 3 = -2 2 4

A23 = -

1 3 = -m 0 m

A33 =

T

1 2 =4 2 0

1 2 = -2 0 -2

é - 8 - 8 2 m + 6ù 4ù 1 ê ú - m ú (m ¹ -1) 4 = 2m - 2 ú ê ú 4m + 4 êë 4 - 2 úû - 2úû 4 m +3 ù 2(m + 1)ú ú -m ú 4(m + 1)ú -1 ú ú 2(m + 1)úû

1

2. Dùng phép biến đổi sơ cấp Nếu det(A)≠0 ta tính A-1 bằng các rút gọn ma trận [Anxn : In ] ® [ In : A-1] với I là ma trận đơn vị. é1 3 2 1 ù ú ê 0 1 - 1 - 1ú ê Ví dụ Cho A = . Tính A-1 ê0 0 1 3 ú ú ê ë0 0 0 1 û Giải * Vì A là ma trận tam giác trên nên det(A)=1≠0 Þ tồn tại A-1 * Ta tìm A-1 bằng rút gọn theo dòng ma trận [A:I] sao cho A thành I thì I thành A-1 é 1 0 5 4 1 - 3 0 0ù é 1 3 2 1 1 0 0 0ù ú ê ú ê 0 1 - 1 - 1 0 1 0 0ú 0 1 -1 -1 0 1 0 0ú ê ê h1 ® h1 - 3 h2 [A : I]= ê 0 0 1 3 0 0 1 0ú ê0 0 1 3 0 0 1 0ú ú ê ú ê êë 0 0 0 1 0 0 0 1úû êë 0 0 0 1 0 0 0 1úû é 1 0 0 - 11 1 - 3 - 5 0 ù é1 0 5 4 1 - 3 0 0ù ú ê ú ê 0 1 - 1 - 1 0 1 0 0ú h 2 ® h 2 + h3 ê 0 1 0 2 0 1 1 0ú ê ® ê0 0 1 3 0 0 1 0ú h1 ® h1 - 5h3 ê 0 0 1 3 0 0 1 0ú ú ê ú ê 1 0 0 0 1úû 0 1 úû êë 0 0 0 1 0 0 êë 0 0 0 é 1 0 0 - 11 1 - 3 - 5 0ù é1 0 0 0 1 - 3 - 5 11 ù ê ú h3 ® h 3 - 3 + h4 ê ú 0 1 0 2 0 1 1 0ú 0 1 0 0 0 1 1 - 2ú ê ê ® h 2 ® h 2 - 2 h4 =[I : A-1] ê0 0 1 3 0 0 ê0 0 1 0 0 0 1 0ú 1 - 3ú ê ú h 1 ® h 1 + 11h 4 ê ú 0 1úû 0 1 úû êë 0 0 0 1 0 0 êë0 0 0 1 0 0 é1 - 3 - 5 11 ù ú ê 0 1 1 - 2ú -1 ê A Þ = ê0 0 1 - 3ú ú ê 0 1û ë0 0 Ta có thể rút gọn ma trận bằng cách nhân ma trận Cj như sau: Xét ma trận A=[aij]. Để rút gọn cột j của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma tr ận Cj là ma trận đơn vị và ta thay cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là ajj ¹0 trừ ajj, sau đó đổi dấu các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j, cột j: (C j ) kj = cột j¯ é ê ê ê ê ê ê ê ê C j = êê ê ê ê ê ê ê ê ê ëê

DATADA –ĐHNL Tp HCM

1

0

0

...

0

1

0

...

0

0

1

...

M

M

M

M

0

0

0

...

M

M

M

M

0

0

0

...

0

0

0

....

a1 j a ij a - 2j a ij a - 3j a ij M 1 a jj M a 1 - n- j a jj a - nj a jj -

0

...

0

...

0

...

M

M

0

...

M

M

0

...

0

...

2

ù 0 ú ú ú 0 ú ú ú 0 ú ú M ú ú 0 ú ú M ú ú 0 ú ú ú 1 ú ûú

a kj a jj

khi k ¹ j và (C j ) jj =

1 a jj

Ví dụ

é1 ê 0 Cho A = ê ê0 ê ë0

3

2

1 ù ú 1 - 1 - 1ú . Tính A-1 0 1 3 ú ú 0 0 1 û

Giải * Cột 1 của A là cột 1 của ma trận đơn vị, nên không cần rút gọn. é1 - 3 0 0ù ê ú 0 1 0 0ú ta được: * Rút gọn cột 2, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trậnC2 = ê ê0 0 1 0ú ê ú ë0 0 0 1û C2 [A:I] [ A1 : I 1 ] é ù é 1 0 5 4 1 -3 0 0ù é 1 - 3 0 0ù 1 3 2 1 1 0 0 0 ú ê ú úê ê 0 1 0 0 ê0 1 - 1 - 1 0 1 0 0ú 0 1 -1 - 1 0 1 0 0 ú ê ú ê ® ® ê0 0 1 ê 0 0 1 0ú ê0 0 1 3 0 0 1 0ú 3 0 0 1 0ú ú ê ú úê ê 1 0 0 0 1úû 1 0 0 0 1 úû êë0 0 0 ë 0 0 0 1û êë0 0 0 é1 0 - 5 0ù ú ê 0 1 1 0 ú ta được: * Rút gọn cột 3, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trậnC3 = ê ê0 0 1 0ú ú ê ë0 0 0 1û C3 [ A1 : I 1 ] [ A2 : I2 ] é 1 0 - 5 0ù é 1 0 5 4 1 - 3 0 0ù é1 0 0 - 11 1 - 3 - 5 0ù ú ú ê úê ê 0 1 1 0ú ê 0 1 - 1 - 1 0 1 0 0ú ê0 1 0 2 0 1 1 0ú ® ®ê ê 0 0 1 0ú ê 0 0 1 3 0 0 1 0ú ê0 0 1 3 0 0 1 0ú ú ú ê úê ê 0 1ûú ë 0 0 0 1û ëê 0 0 0 1 0 0 0 1ûú ëê0 0 0 1 0 0 é1 0 0 11 ù ê ú 0 1 0 - 2ú ta được: * Rút gọn cột 4, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trậnC4 = ê ê0 0 1 - 3ú ê ú ë0 0 0 1 û C4 [ A1 : I 1 ] [ A 2 : I2 ] é ù é é 1 0 0 11 ù 1 0 0 4 1 3 5 0 1 0 0 0 1 - 3 - 5 11 ù ú ú ê ê0 1 0 - 2ú ê0 1 0 - 1 0 1 1 0 ú ê0 1 0 0 0 1 1 - 2ú ê ú ê ® ® ê0 0 1 - 3ú ê0 0 1 3 0 0 1 - 3ú 1 0 ú ê0 0 1 0 0 0 ú ú ê úê ê 0 1 úû êë0 0 0 1 0 0 0 1 úû ë 0 0 0 1 û êë0 0 0 1 0 0

DATADA –ĐHNL Tp HCM

3

3. Dùng định lý Haminton-Cayley a) Đa thức đặc trưng của ma trận Anxn=[aij] là: f (x ) = det( xI - A ) · Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A là f(x) bằng công thức Bocher như sau: · Đặt Sp= tr(Ap) với tr(Ap) = tổng phần tử trên đường chéo chính của Ap n

· Tính a1= -S1= -

åa

kk

k =1

1 a2 = - (a1 S1 + S2 ) 2 1 a3 = - (a2 S1 + a1 S2 + S3 ) 3 …………………………………………… 1 a n = - ( an-1 S1 + an- 2 S2 + ... + a1 Sn-1 + Sn) n · Đa thức đặc trưng của A: f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an

· Trường hợp riêng x -a b éa b ù = x2 - (a + d )x + ad - bc thì f(x) = Nếu A2x2= ê ú c x d c d ë û Þ f(x) = x2 -tr(A)x + det(A) x - a1 b1 c1 é a1 b1 c1 ù ú ê x - b2 c2 Nếu A3x3= ê a2 b2 c2 ú thì f ( x) = a2 êë a3 b3 c3 úû a3 b3 x - c3 æ a1 b1 a1 c1 b2 c2 ö ÷ x -det( A) Þ f ( x) = x3 - tr( A) x2 + çç + + ÷ a b a c b c 3 3 3 3 ø è 2 2 (3 định thức cấp 2 theo đường chéo A)

é 2 - 1 0ù Ví dụ Tính đa thức đặc trưng của A = êê 1 0 3úú ëê 3 4 5úû é 2 - 1 0ù * Tính Sp: A = ê 1 0 3ú Þ S1= tr(A)=2+0+5= 7 ú ê êë 3 4 5úû é3 ê A = ê11 êë 25 é-5 3 ê A = 78 ê êë178 2

- 2 - 3ù ú 11 15 ú Þ S2=tr(A2)=3+11+37= 51 17 37úû - 15 - 21ù 49 108ú Þ S3 =tr(A3)=-5+49+236= 280 ú 123 236úû

1 (a1 S1 + S2 ) = - 1 2 Đa thức đặc trưng của A là: f(x)= x3 -7x2 –x +28

* Tính hệ số ai: a1= -S1= -7 a2=DATADA –ĐHNL Tp HCM

4

a3=-

1 (a2 S1 + a1 S2 + S3 )= 28 3

b) Định lý Cayley-Hamilton Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0 Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và an=(-1)ndet(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được: 1 n -1 -1 (A + a1 An 2 + a2 An 3 + ...+ an-1I ) An-1 + a1An-2 + a2An-3 +…+ an-1I + anA-1 = O Þ A = an é1 ê 0 = Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A ê ê0 ê ë0 Giải

3 2 1ù ú 1 - 1 -1 ú 0 1 3ú ú 0 0 1û

* det(A)=1≠0 nên tồn tại A-1 x -1 * Tính đa thức đặc trưng của A: f(x)=

-3 x -1

0 0 0

4

3

-2

0

1 x -1

0

0

-1 1 = ( x - 1) -3 x- 1

2

Þ f(x) = x -4x +6x -4x +1 * Tính A-1 : A- 1 = -( A3 - 4 A2 + 6 A - 4 I ) 5ù é1 9 - 3 3 ù é1 6 1 é1 ê 0 1 - 3 - 12ú ê 0 1 - 2 - 5ú ê0 ú + 4ê ú - 6ê Þ A-1 = - ê ê0 0 1 ê0 0 1 ê0 9 ú 6ú ê ú ê ú ê 1 û 1û ë0 0 0 ë0 0 0 ë0 é1 - 3 - 5 11 ù ú ê 0 1 1 - 2ú Þ A-1 = ê ê0 0 1 - 3ú ú ê 0 1 û ë0 0

DATADA –ĐHNL Tp HCM

4

5

3 2 1 ù é1 1 - 1 - 1ú ê0 ú + 4ê 0 1 3 ú ê0 ú ê 0 0 1 û ë0

0 0 0ù 1 0 0ú ú 0 1 0ú ú 0 0 1û

4. Dùng ma trận khối Giả sử ma trận Enxn khả đảo (det(E)≠0) với n³4, ta tìm ma trận nghịch đảo E-1 như sau: é A Bù Đầu tiên ta chia E thành ma trận khối E = ê ú với Amxm, Dkxk ; m+k=n và A khả đảo. ëC D û éK Tiếp theo, ta tìm E-1 dưới dạng E -1 = ê ëM

éK Þ E -1 .E = In Û ê ëM

L ù é A B ù éI m = . N úû êëC D úû êë O

Lù trong đó K, N là ma trận vuông có cấp m, k N ûú ì KA + LC = I m (1) ï Où ï MA + NC = O (2) Ûí (I) ú Ik û ï KB + LD = O (3) ïîMB + ND = I k (4)

ì K = A -1 ì K = A-1 ì KA = Im ï ï ï ïM = O ïMA = O ïM = O (i) Nếu C=O thì hệ (I) cho: í Þí Þ í -1 -1 -1 ï A B + LD = O ï L = - A BD ïKB + LD = O ï ND = I ïî MB + ND = I k ï N = D -1 k î î (ii) Nếu B=O thì hệ (I) cho: K = A -1 ; M = - D -1 CA-1 ; L = O ; N = D -1 ¯ nhân A-1 và D-1 hai bên B -1

é A- 1 - A- 1 BD-1 ù éA B ù = ê ú êO D ú D -1 û ë û ëO

-1

é A-1 Où é A Où = ê ú êC D ú -1 -1 D -1 û ë û ë - D CA - nhân D-1 và A-1 hai bên C

Áp dụng: é1 ê 0 Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác trênE = ê ê0 ê ë0 -1 * det(E)=1 Þ tồn tại E é1 3 2 1 ù ú ê 0 1 -1 - 1 ú ê = * Ta chia thành ma trận khối như sau: E ê0 0 1 3 ú ú ê ë0 0 0 1 û é1 3ù é2 1 ù é1 3ù A=ê ú ú C = O và D = ê ú B =ê ë0 1û ë- 1 - 1û ë0 1û é 1 - 3ù -1 é1 - 3ù Þ A-1 = ê ú D =ê ú ë0 1 û ë0 1 û é1 ê -1 -1 -1 é A - A BD ù 0 Þ E -1 = ê = ú ê -1 D ëO û ê0 ê ë0

DATADA –ĐHNL Tp HCM

é - 5 11 ù và - A-1 BD-1 = ê ú ë 1 - 2û - 3 - 5 11 ù ú 1 1 -2 ú 0 1 - 3ú ú 0 0 1û

6

3

2

1ù ú 1 - 1 - 1ú 0 1 3ú ú 0 0 1û

é 1 0 0 0ù ú ê 4 2 0 0ú Ví dụ:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác dưới:E = ê ê 3 1 - 1 0ú ú ê ë 2 1 3 1û * det(E)= -2 nên tồn tại E-1 é3 1ù é1 0 ù é -1 é 1 0 0 0ù A =ê B =O C =ê và D = ê ú ú ê 4 2 0 0ú ë3 ë2 1û ë4 2 û ú * E=ê ê 3 1 - 1 0ú é1 0 ù é- 1 0ù -1 -1 Þ A-1 = ê D -1 = ê ú ê ú ú và - D CA = 2 1 3 1 2 0 , 5 3 1 û ë ë û ë û

ÞE

-1

é A =ê -1 -1 ë - D CA -1

0 0 é1 ê O ù ê- 2 0,5 0 ú= D -1 û ê 1 0,5 - 1 ê ë- 3 - 2 3

0ù 0ú ú 0ú ú 1û

(iii) Trường hợp tổng quát B và C khác O thì: é A B ù é A - BD -1C * Phân tích ê ú =ê O ëC D û ë

é A Bù * Dùng kết quả: ê ú ëC D û

-1

é Im = ê -1 ëD C

Bùé Im úê D û ëD 1C

Où (tích 2 ma trận tam giác) Ik ûú

-1

O ù é A - BD -1C .ê I k úû ë O

Bù ú Dû

-1

é 1 1 1 - 3ù ú ê 0 1 0 0ú Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo củaE = ê ê 1 1 2 - 3ú ú ê ë2 2 4 5 û * Phân tích E=E1E2 với E1, E2 là 2 ma trận tam giác: é 0,5 0,5ù é0,5 0,5 ù -1 D- 1 C = ê ú ; A- BD C = ê 0û 1 ûú ë 0 ë0

é2 - 1 -1117 113 ù é 0,5 0,5 1 - 3ù ú ê ú ê é A - BD -1 C Bù ê 0 1 0 0 ú 0 1 0 0ú -1 ê Þ = = E E1 = ê 1 ú 3ú ê 0 0 225 0 2 - 3ú O Dû ê 0 22 ë ú ê ú ê 1 -2 0 4 5 û ë0 ë 0 0 11 11 û é 1 é1 0 0 0ù 0 0 0ù ú ê ú ê 1 0 0 0 1 0 0 Où ê 0 é I2 -1 ú ê ú Þ E2 = E2 = ê -1 ú= ê - 0,5 - 0,5 1 0ú ë D C I2 û ê0,5 0,5 1 0 ú ú ê ú ê 0 0 1û 0 0 1û ë 0 ë0 3 ù 0 0 0ù é2 -1 -1117 113 ù é 2 - 1 -1117 11 é 1 ú ú ê úê ê 0 1 0 0ú ê0 1 0 0 ú ê 0 1 0 0ú -1 - 1 -1 = * E = E 2 E1 = ê . 5 3 ú ê -1 0 1 0ú ê - 0,5 - 0,5 1 0ú ê0 0 22 22 ú ê ú úê ê 1 1 -2 -2 0 0 1û ë0 0 ë0 0 ë 0 11 11û 11 11 û DATADA –ĐHNL Tp HCM

7

0ù 1úû é 1 0,5ù ê ú ë - 3 - 2û...