Top ex3 PDF

Preview

Summary

Download Top ex3 PDF

Description

TOPOLOGIA

Lista zadań nr 3

semestr zimowy 2016/17

Zadanie 1. Sprawdzić, podajac (i odwracalnego) jest ֒ dowód lub kontrprzykład, czy odwzorowanie odwrotne do ci agłego ֒ ciagłe. ֒ Zadanie 2. Zbadać ciagłość poniższych odwzorowań z R w R przyjmujac, ֒ ֒ że w dziedzinie i przeciwdziedzinie wprowadziliśmy jedna֒ z topologii τe , τs , τd , τa (niekoniecznie t e֒ sama֒ w obu zbiorach). Rozważyć wszystkie możliwości.  1, gdy x ∈ Q, g(x) = [x], h(x) = x, f (x) = 0, w przeciwnym przypadku. Zadanie 3. Zakładamy, że f : X → Y jest przekształceniem ciagłym. Sprawdzić, podajac ֒ ֒ dowód lub kontrprzykład, czy: 1. dla każdego zbioru V otwartego w X, zbiór f [V ] jest otwarty w Y, 2. dla każdego zbioru V domkni etego w X, zbiór f [V ] jest domkni ety w Y, ֒ ֒ Zadanie 4. Zakładamy, że X, Y sa֒ dowolnymi przestrzeniami topologicznymi, f : X ∋ x → a ∈ Y jest odwzorowaniem stałym. Wykazać, że f jest ci agłe. ֒ Zadanie 5.(a) Zakładamy, że Y jest dowolna֒ przestrzenia֒ topologicznyna, ֒ w X wprowadzono topologie֒ dyskretna֒ a f : X → Y jest dowolnym odwzorowaniem. Wykazać, że f jest ciagłe. ֒ (b) Zakładamy, że X jest dowolna֒ przestrzenia֒ topologicznyna, ֒ w Y wprowadzono topologie֒ antydyskretna֒ a f : X → Y jest dowolnym odwzorowaniem. Wykazać, że f jest ciagłe. ֒ Zadanie 6. Zakładamy, że f : X → Y jest przekształceniem ciagłym. Udowodnić, że: ֒ 1. przeciwobraz każdego zbioru typu Fσ jest zbiorem typu Fσ , 2. przeciwobraz każdego zbioru typu Gδ jest zbiorem typu Gδ . Zadanie 7. Niech X = (0, 1) ∪ {2}, Y = (0, 1] bed ֒ a֒ przestrzeniami z indukowana֒ z R topologia֒ naturalna. ֒ Rozważamy przekształcenie:  x, gdy x ∈ (0, 1), f (x) = 1, gdy x = 1. Pokazać, że f jest różnowartościowe i ci agłe ale nie jest homeomorfizmem. ֒ Zadanie 8. (a) Podać przykłady przestrzeni homeomorficznych z R. (b) Załadamy, że dla przestrzeni topologicznych X oraz Y istnieja֒ ciagłe surjekcje f : X → Y i g : Y → X. Sprawdzić, ֒ podajac ֒ dowód lub kontrprzykład, czy X i Y sa֒ homeomorficzne....