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los aviones...

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1Trabajo colaborativo El transporte aéreo

Junio 2020 Institución Universitaria Politécnico grancolombiano Sucursal Virtual Calculo I

Introducción

Este trabajo colaborativo veremos la importancia de las matemáticas y como se usan para resolver problemas en el mundo de la aviación; por ejemplo, un piloto

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necesita las matemáticas durante las diferentes fases del vuelo para determinar un rumbo, un contrarumbo, los tiempos de ascenso y descenso, las interceptaciones radiales, la velocidad vertical y horizontal. Un Oficial en Operaciones Áreas debe calcular, con la mayor precisión posible, los galones de combustible por hora, el peso y balance de una aeronave de acuerdo con su trayecto, la altitud, la presión atmosférica, la distancia en millas aeronáuticas y demás conceptos relativos a la aerodinámica. Así por el estilo, son varias labores aeronáuticas que se basan en la matemática, este tipo de conocimiento es importante porque desarrolla concentración, atención, racionalidad y sentido común.

Objetivos

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° Reconocer las características del teorema del seno y del coseno. ° Usar procesos algebraicos para hallar elementos de triángulos no rectángulos. ° Determinar elementos de triángulos no rectángulos mediante el teorema del seno y coseno en situaciones hipotéticas y reales.

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Tabla de Contenidos

Transporte aéreo …………………………………………….pag 1 Problema 1………………………………………………...pag 1, 2 Problema 2……………………………………………….......pag 3 Problema 3………………………………………………...pag 4, 5 Problema 4…………………………………………..….pag 6, 7, 8 Conclusión …………………………………………………..pag 9

El transporte aéreo

Problemas: 1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? R//. Si determinamos que la ubicación de las 3 ciudades forma un triángulo de la siguiente forma: Dándole nombre a los catetos seria: - Distancia de A y C: Cateto (a) - Distancia de A y B: Cateto (b) - Distancia de B y C: Hipotenusa (c) Al conocer la distancia entre los puntos A y B al igual que A y C se puede hallar el ángulo y la distancia entre estos por medio del método del Teorema de Pitágoras. Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Si es el caso de un triángulo-rectángulo se resolverá con la fórmula: CB=√ ( AB) +( AC) 2

2

Donde CB es la distancia entre C y B (la que queremos hallar), AB es la distancia entre A y B y AC es la distancia entre A y C. Aunque también podemos resolver la incógnita por la ley de seno y coseno, una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos se relaciona a los ángulos o lados que se forman entre A--B---C, el cual si lo unimos con una línea imaginaria nos daría un triángulo que puede variar entre las diferentes formas:

2. Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo?

R //. Para este caso escogí el Airbus A380 el cual tiene una distancia máxima de vuelo de 14.800 kilómetros, y una capacidad máxima de combustible (queroseno) es de 320.000 litros Por cada kilómetro, el Airbus A380 necesita 21.62 litros de combustible, el cual tiene un valor en Colombia de 2.416 por lo tanto, por kilómetro se gastan 52.233,92 en combustible.

La función lineal es: f(x) = mx + b Siendo f(x): El costo del combustible por vuelo m: El precio del combustible por kilómetro recorrido x: Los kilómetros a recorrer b: En este caso es = 0

3. En la siguiente imagen se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Medellín y Mitú, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Tunja-Mitú-Medellín, si la distancia entre Tunja y Medellín es de 250 km y la distancia entre Tunja y Mitú es de 590 km y el ángulo que tiene como vértice la ciudad de Medellín es 23, 82º.

R//. Distancia Tunja-Mitú = 590 Km. ∡ Medellín = 23,82° En esta situación podemos darle solución con la función de los senos y arcoseno ángulo correspondiente a Tunja α (alfa) para Mitú correspondiente ángulo β (beta), además X la distancia entre Medellín y Mitú realizamos la siguiente operación: 250 km 590 km x = = sen β sen32,82 ° senα

Despejando β

sen β =

250 km sen 23,82 °=0,1711 590 km

sen β =0,1711

Aplicamos la función arcoseno (Sen ⁻¹) para hallar el ángulo β= Arcosen0,1711=9,85 ° β=9,85 °

Por teoría la suma de los ángulos internos de un triángulo equivale a 180 ° 180 °=23,82° + α + β

Se despeja α

α =180 °−23,82 °−9,85 °=146,32 ° sen α =146,32 °

Ahora calculamos la distancia entre Medellín y Mitú, despejando con la ley de los senos x=250 km

α sen 146,32 ° =250 km ( =810,42 km ( sen ) sen β sen 9,85 ° )

x=810,42 km

4. Dada la siguiente ruta Bogotá – La Habana – San José, y se conoce la distancia entre La Habana y San José 1280 km y la distancia entre San José y Bogotá es 1320, y en ángulo de vértice en San José es de 129, 33º, Calcular: a) La distancia entre la ciudad de Bogotá y La Habana. b) Halle los ángulos que hacen falta para resolver el triángulo: Bogotá – La Habana – San José.

a) La distancia entre Bogotá y La Habana la solucionamos por medio de la ley del coseno hallamos la distancia.

b2=a2 +c 2−2 ac cos B 2 2 2 b =1320 + 1280 −2 (1320 )( 1280) cos (129.3)

b=√ 1742400 + 1638400 −3379200 cos(129.3 ) b=2.350

La distancia entre Bogotá y la Habana es de 2.350km.

b) Halle los ángulos que hacen falta para resolver el triángulo Bogotá La Habana - San José.

Hallare primero el ángulo A. a2=b2 +c 2−2 bc cos A a (¿ ¿ 2−b2−c 2 ) −2 bc ¿ ¿ −1 cos ¿ 1320 (¿ ¿ 2−23502−12802) −2(2350 )( 1280 ) ¿ ¿ −1 cos ¿ A=25.75°

La medida del ángulo cuyo vértice es de la ciudad de la Habana es de 25.75°. Ahora bien, como sabemos que la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo nos da como resultado 180°, así que podemos utilizar la siguiente operación para conocer la medida interna del ángulo cuyo vértice es de la ciudad de Bogotá. Hallamos el ángulo C. 2

2

2

c =a + b −2 ab cos C c (¿ ¿ 2−a2−b 2) −2 ab ¿ ¿ −1 cos ¿ 1280 (¿ ¿ 2−1320 2−23502) −2(1320 )( 2350 ) ¿ ¿ −1 cos ¿ C=24.91°

A=25.75° B= 129.3° C= 24.9° a= 1320 b= 2350 c= 1280

Conclusión

Junto con estos ejercicios podemos deducir que los cálculos trigonométricos son esenciales, nos sirve para calcular distancias sin la necesidad de recorrer y se establecen por medio de triángulos circunferencia y otros; en la vida real es muy utilizada ya que podemos medir alturas o distancias, realizar medición de ángulos, sirve para medir la distancia que hay desde cierto punto a otro empleando ciertos elementos como un triángulo escaleno, isósceles y de cualquier tipo. Ayuda también para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana y de otros campos del conocimiento científico. La humanidad siempre ha sentido curiosidad por conocer distancias astronómicas, como la que ya existe entre la tierra y el sol a través de la semejanza de triangulo y relaciones entre los lados y ángulos de estos se pueden calcular distancias inaccesibles de otra manera....