Trabajo Integrador \"DERIVADAS COMO RAZON DE CAMBIO\" Formato IEEE PDF

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En el siguiente ensayo investigativo se abarco el tema de la derivada como razón de cambio. Partiendo del concepto de derivada en su forma matemática - geométrica y su variedad de aplicaciones, donde una ellas son las razones de cambio. En la investigación se usaron ejemplos y se realizó su respecti...

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TRABAJO INTEGRADOR CALCULO DIFERENCIAL Sebastián Constantine Aguilar Email: [email protected]

intervalo cerrado y acotado I ⊂ R que no se reduzca a un punto, y una función f : I → R que suponemos continua en I, con lo que la gráfica de f es la imagen de una curva plana. El mismo estudio podría hacerse para cualquier función real de variable real, pero la intuición geométrica no sería tan clara. [ CITATION Rec20 \l 22538 ]

RESUMEN: En el siguiente ensayo investigativo se abarco el tema de la derivada como razón de cambio. Partiendo del concepto de derivada en su forma matemática - geométrica y su variedad de aplicaciones, donde una ellas son las razones de cambio. En la investigación se usaron ejemplos y se realizó su respectiva explicación con problemas que se adapten a la vida cotidiana. Como conclusión se puede decir que la derivada es un importante y efectivo método de resolución para todo tipo de problema al que se le pueda relacionar con una función matemática.

1.2 Aplicaciones de las derivadas Las derivadas tienen una amplia influencia en los problemas de la vida cotidiana, siendo una forma eficiente para determinar incógnitas en funciones. Las aplicaciones de la derivada en funciones son: el cálculo de máximos y mínimos, determinación de la monotonía y concavidad, determinación de extremos locales y extremos en intervalos abiertos, problemas prácticos de optimización y minimización, graficación de funciones mediante el calculo de intervalos crecientes y decrecientes, problemas de razones de cambio y soluciones numéricas.

PALABRAS CLAVE: Aplicaciones de las derivadas, Electrotecnia, Investigación sobre razones de cambio, Resolución de problemas.

ABSTRACT: In the following investigative essay the subject of the derivative will be covered as a reason for change. Starting from the concept of derivative in its mathematical - geometric form and its variety of applications, where one is the reasons for change. Examples will be used in the investigation and their respective explanation was made with problems that adapt to everyday life. In conclusion, it can be said that the derivative is an important and effective method of resolution for all types of problems that can be related to a mathematical function.

1.3 Razones de Cambio El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. [CITATION Jul13 \l 22538 ]

KEY WORDS: Applications of derivatives, Electrical engineering, Research on reasons of change, Problem solving.

1 DERIVADAS CAMBIO

COMO

RAZON

Las razones de cambio nacen del concepto de derivada como limite en el infinito. ‘‘La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto… Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto.’’ [ CITATION Jua15 \l 22538 ]

DE

Para empezar, es esencial conocer el concepto de la derivada en su forma matemática. ‘‘En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x).’’ [CITATION Jua14 \l 22538 ]

f ( a ) =lim '

h→0

(

f ( a+h )− f (a) a

❑

)

Ahora sabiendo la definición de derivada como límite, aparecen dos nuevos conceptos que provienen directamente de dicha definición. Estos son las razones

De la misma manera, la derivada tiene una definición geométrica. Para hacer esta interpretación nos pondremos en una situación más intuitiva que la que hasta ahora venimos manejando. Consideramos un

1

Documento de Investigación en Formato IEEE (Estilo Paper) de cambio promedio y las razones de cambio instantáneas

' f (x )=

La razón de cambio promedio se define en la siguiente cita: ‘‘Ya que anteriormente podemos concluir que un incremento es un cambio y la palabra promedio significa obtener una media. Esto quiere decir que la "Razón de Cambio Promedio" es encontrar un promedio en forma de cociente en donde el numerador y el denominador es resultado de incrementos.’’ [ CITATION Gui16 \l 22538 ]

f ' ( x ) =lim h→0

(

f ( x +h )−f (x ) h

f ( x 2) −f (x 1) x 2− x 1

La razón de cambio instantánea se puede definir con la siguiente cita: La razón de cambio instantánea también se denomina segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o, desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva. [ CITATION Jul13 \l 22538 ] Como primer paso calculemos los tiempos promedios para cada par de puntos consecutivos:

❑

)

Las razones de cambio se encuentran en nuestro diario vivir, pues podemos observarlas en diversos ámbitos en los que el ser humano incursiona, como la economía, matemáticas, química, física, entorno social, etc. ‘‘Es decir, problemas donde podamos estudiar los fenómenos relativos a la variación de una o más cantidades que dependen de otra(s), por lo que resulta de vital importancia describir y cuantificar estos cambios por medio de modelos matemáticos (ecuaciones), gráficas y/o tablas.’’ [ CITATION SN11 \l 22538 ]

Figura 2. Datos de comprobación en el ejercicio Ahora con estos resultados probemos la afirmación del fabricante de frenos:

Conociendo los orígenes, tipos, usos y aplicaciones de las razones de cambio, procederemos a demostrar algunos ejercicios con su respectiva solución paso a paso.

Figura 3. Resolución del ejercicio

2. En un pueblo el primer día se recolectó 1 kg de basura. El segundo día se recolectó 2 kg. El tercer día se recolectaron 3 kg de basura, y así sucesivamente. El k-ésimo día se recolectaron k kilogramos de basura. ¿Cuál es la razón de crecimiento promedio e instantánea de la cantidad de basura que han acumulado?

1.4 Ejemplos de ejercicios con razones de cambio 1. Una empresa fabricante de frenos para automóvil somete su sistema a una prueba la cual consiste en determinar el tiempo total necesario (el tiempo desde que el conductor detecta el peligro hasta que la unidad se detiene) que se requiere para detener al vehículo, el fabricante del sistema de frenos asegura que solo se necesitan 0.55 sg. Para detener el vehículo si este lleva una velocidad de 40 m/sg, los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla, a partir de estos datos probemos si la afirmación de fabricante es cierta o falsa.

Nos están pidiendo la razón de crecimiento de la cantidad de basura que se ha acumulado desde el primer día. En otras palabras, nos piden que sumemos:

S=1 + 2 + 3 + …+k Esta suma se calcula muy fácilmente si consideramos que la suma tiene la propiedad conmutativa:

Tabla 1. Tabla proporcionada por el ejercicio

2 S=( k +1) + ( k +1) + ( k +1 ) +… (k + 1 ) En la suma se repite el sumando k+1 un total de k veces, por eso:

2 S=k∗( k +1 ) Y la cantidad de kilogramos de basura acumulada en ese pueblo es de:

2

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S=

k∗( k +1) 2

4 ∆V =lim π ( 3 r 2 ∆ r + 3 r ∆ r 2 +∆ r 3) ∆ r ∆ r =0 3 ∆V 2 =4 π r ∆r

Ahora podemos estudiar su razón de cambio. Entonces, la razón de cambio es:

∆ s=

k∗( k +1) k∗( k −1 ) − 2 2

Y cuando el radio del globo es de 3 cm, tenemos que la razón de crecimiento instantánea del volumen es de:

∆V =4 π r2=4 π (3)2=36 π ∆r

∆ s =k Esto tiene sentido, pues en el día k-ésimo agregamos k kilogramos de basura al acumulado. Ahora calcularemos la razón de crecimiento instantánea. Consideramos un incremento \Delta t de tiempo:

En pocas palabras, el volumen del globo crece 36 cm^3 por cada centímetro que crece el radio del globo cuando éste es de 3 cm.

∆ s S (k + ∆ t )−S ( k ) = ∆t ∆t

4. Sean dos resistencias R 1 y R2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R cumple:

∆s =k + ∆ t ∆t

1 1 1 = + R R1 R2 Si R 1 y R 2 aumentan a razón de 0.01 y 0.02 Ω / seg. respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando R1 =30Ω y R2 = 90Ω .

3. Un globo se está inflando con una bomba que le inyecta aire. Considerando que el globo tiene una forma esférica, ¿cómo crece el volumen del globo cuando su radio es de 3 cm?

Como; siendo R , R1 y R2 funciones de t.

1 1 1 = + R 2 R R1

Ya sabemos que el volumen de una esfera puede calcularse con la fórmula:

4 3 πr 3

R=

Necesitamos calcular cómo crece el volumen con respecto al radio. Para eso vamos a seguir la regla de los cuatro pasos. Damos un incremento al radio para ver cómo crece el volumen:

Derivando la última expresión respecto de t tendremos: 2

R 1+R 2 ¿ ¿ dR 1 1∗dR 2 (R 1+ R 2 ) −R 1∗R 2( dR1 ∗R 2+R dt dt dt dR = ¿ dt

(

4 3 V +∆ V = π (r +∆ r ) 3 3

2

2

r +3 r ∆ r +3 r ∆ r + ∆ r 4 V +∆ V = π ¿ 3

R 1∗R 2 R 1+ R2

3

)

Operando y simplificando obtienes: 2

R 1+ R 2 ¿ 2 2 dR =( R 1 ∗dR 2 + R 2 ∗dR 1 )/¿ dt dt dt

Restamos el volumen inicial del globo para obtener el incremento en el volumen del mismo:

3 r 2 ∆ r + 3 r ∆ r 2 +∆ r 3 4 ∆V = π¿ 3

Siendo:

dR 1 0,01 Ω dR 2 0,02 Ω = y = seg dt seg dt

Ahora calculamos el límite cuando \Delta r tiende a cero para conocer la razón de cambio instantánea del volumen:

R 1=30 Ω Y R 2=90 Ω Sustituyendo valores obtienes:

3

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Referencias

dR 900∗0,02+ 8100∗0,01 6,875∗10−3 Ω = = seg dt 120 2

Avila, J. (2015). Descartes. Obtenido de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm Cortes, G. (26 de Marzo de 2016). Calculo Diferencial. Obtenido de Prof Guillermo Cova: https://sites.google.com/site/carreradevidaguillermocova/home/unidad-ii-derivada/razon-de-cambio-promedio-e-instantanea Gorostizaga, J. C. (2014). Ehu.eus. Obtenido de http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/derivadas.htm Perez, J., & Gardey, A. (2013). Definicion.de. Obtenido de https://definicion.de/razon-de-cambio/ S.N. (2011). PDF Universidad America Latina. Obtenido de http://ual.dyndns.org/Biblioteca/Bachillerato/Matematicas_IV/Pdf/Sesion_15.pdf web, R. d. (2020). Obtenido de http://virtual.ups.edu.ec/presencial55/pluginfile.php/328900/mod_resource/content/0/Concepto %20Derivada.pdf

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