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LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

𝒅𝒚

Si una variable 𝒚 depende del tiempo 𝒕, entonces su derivada se denomina razón de cambio 𝒅𝒕 con respecto al tiempo, o solo razón de cambio. Por supuesto, si 𝒚 mide el desplazamiento, entonces esta razón de cambio se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de razones de cambio: la razón a la que fluye agua al interior de un depósito, la razón a la que aumenta el volumen al inflar un balón, la razón a la que sube el nivel de un líquido cuando este se está llenando, etc. 𝒅𝑽

; 𝒅𝒕

𝒅𝒉 𝒅𝒕

;

𝒅𝒓 𝒅𝒕

;

𝒅𝑨 𝒅𝒕

EJEMPLOS Ejemplo 1. Un líquido ingresa a un tanque cilíndrico a razón de 60 nivel, si el radio del cilindro es de 12𝑐𝑚.

𝑐𝑚 3 . 𝑠𝑒𝑔

Hallar la velocidad a la que sube el

Datos: 𝑑𝑉 𝑐𝑚3 = 60 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡

𝑟 = 12𝑐𝑚 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ

𝑑ℎ 𝑑𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑉 𝑑ℎ = 𝑑𝑡2 𝑑𝑡 𝜋𝑟

𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑠:

𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑐𝑚 𝑑ℎ = 0.13 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡: 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎

𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝑦 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑐𝑚3 60 𝑑ℎ 𝑠𝑒𝑔 𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑒 = 𝑑𝑡 𝜋(12𝑐𝑚)2

Ejemplo 2. Una escalera de 15 m de longitud, se apoya contra una pared, hallar la velocidad a la que baja el 𝑚 extremo superior, cuando la escalera resbala, desplazándose el extremo inferior a 1.6 , 𝑠𝑒𝑔

cuando este se encuentra a 9 𝑚 de la pared. Datos:

𝐿 = 15𝑚

𝑚 𝑑𝑥 = 1.6 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑥 = 9𝑚

𝐿2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 0 = 2𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 +𝑦 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

⇒

𝑦 = √𝐿2 − 𝑥 2

𝑆𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑦 = 12 𝑚

𝑚 9𝑚 ∙ 1.6 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑔 =− 𝑑𝑡 12𝑚

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 =− 𝑦 𝑑𝑡

𝑦 = √152 − 92

𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑗𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑠:

𝑚 𝑑𝑦 = −1.2 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔 Ejemplo 3.

Al inflar un balón esférico de plástico, su volumen aumenta a razón de 2𝜋 se incrementa su área, cuando el radio es de 4𝑐𝑚.

𝑐𝑚3 . 𝑠𝑒𝑔

A que velocidad

Datos: 𝑑𝑉 𝑐𝑚3 = 2𝜋 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡 𝑟 = 4𝑐𝑚

𝑑𝐴 𝑑𝑡

𝐴 = 4𝜋𝑟 2 4 𝑉 = 𝜋𝑟 3 3

=? 𝑑𝐴 𝑑𝑟 = 8𝜋𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡 ⇒

𝑑𝑉 𝑑𝑟 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

⇒

𝑑𝑉 𝑑𝑟 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4𝜋𝑟 2

𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑛

𝑑𝐴 𝑑𝑡

𝑑𝐴

𝑑𝑉 𝑑𝑡 2 4𝜋𝑟 = 8𝜋𝑟 𝑑𝑡 2 𝑑𝐴 𝑐𝑚 =𝜋 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔

⇒

𝑑𝐴 𝑑𝑡

𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑟 = 2

⇒

𝑑𝐴 𝑑𝑡

=

𝑠𝑒𝑔3 𝑐𝑚 2 ∙ 2𝜋 4𝑐𝑚

Ejemplo 4. Un hombre de 1.8 𝑚 de estatura está alejándose a 3.9

𝑚

𝑠𝑒𝑔

de un farol de 4.5𝑚 de altura. A qué

velocidad la punta de su sombra está alejándose de la base del farol. Datos: 𝑑𝑥 𝑚 = 3.9 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡 ℎ = 1.8 𝑚

𝐻 = 4.5 𝑚

𝐻 ℎ = 𝑦 𝑠

𝑦=

⇒

𝐻 𝑥 𝐻−ℎ

𝐻 ℎ = 𝑦 𝑦−𝑥

𝑑𝑦 =? 𝑑𝑡

⇒ 𝐻𝑦 − 𝐻𝑥 = ℎ𝑦

⇒

𝑦(𝐻 − ℎ) = 𝐻𝑥

𝑑𝑦 𝐻 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝐻 − ℎ 𝑑𝑡

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑡

𝑑𝑦 4.5 𝑚 𝑚 = ∙ 3.9 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡 4.5 𝑚 − 1.8𝑚 𝑚 𝑑𝑦 = 6.5 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔 Ejemplo 5. 𝑚3

Si cae arena sobre una superficie plana a 2 𝑚𝑖𝑛, se forma un montículo cónico, cuyo diámetro en la base es siempre igual al triple de la altura. Hallar la velocidad a la que crece la altura, cuando ésta es de 3.5𝑚. Datos: 𝑚3 𝑑𝑉 =2 𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛

𝑑ℎ =? 𝑑𝑡

1 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ 3

ℎ = 3.5𝑚

𝐷 = 3ℎ

⇒

2𝑟 = 3ℎ

1 3 2 𝑉 = 𝜋 ( ℎ) ℎ 3 2

1 3 2 𝑉 = 𝜋 ( ℎ) ℎ 3 2

⇒

𝑑𝑉 9 2 𝑑ℎ = 𝜋ℎ 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡

3 𝑟= ℎ 2

⇒

𝑑𝑉 𝑑ℎ 4 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 9𝜋ℎ2

⇒

⇒

3 ⇒ 𝑉 = 𝜋 ℎ3 4 𝑚3 4∙2 𝑑ℎ 𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑡 9𝜋(3.5𝑚)2

𝑚 𝑑ℎ = 0.023 𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛 Ejemplo 6. Un depósito de agua en forma de cono invertido, recibe agua a razón de 600

𝑐𝑚3 . 𝑠𝑒𝑔

Su altura es

80𝑐𝑚 y su radio 15𝑐𝑚. Si el deposito tiene una fuga en el vértice. Hallar la velocidad a la que 𝑐𝑚 escapa el agua, cuando el nivel cuando el nivel está a 50𝑐𝑚, subiendo a 2 . 𝑠𝑒𝑔

Datos: 𝑑𝑉 𝑑𝑡

= 600

𝑐𝑚3

𝑠𝑒𝑔

𝐻 = 80𝑐𝑚 𝑅 = 15𝑐𝑚 ℎ = 50𝑐𝑚 𝑑ℎ 𝑐𝑚 =2 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡 1

𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ 3

ℎ 𝑟 = 𝑅 𝐻 𝑉=

𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 𝑦 𝑟=

1 𝑅 2 𝜋 ( ℎ) ℎ 3 𝐻

𝑅 ℎ 𝐻 ⇒

𝑑𝑟 : 𝑑𝑡

𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑉=

1 𝑅2 3 𝜋 ℎ 3 𝐻2

𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜:

El volumen que ingresa menos el que sale es el que queda en el depósito. 𝑉 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑠 𝑉𝑖 − 𝑉𝑠 =

1 𝑅2 3 ℎ 𝜋 3 𝐻2

𝑅 2 𝑑ℎ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑉𝑠 = 𝜋 2 ℎ2 − 𝑑𝑡 𝐻 𝑑𝑡 𝑑𝑡

⇒

𝑅2 𝑑𝑉𝑠 𝑑𝑉𝑖 𝑑ℎ − 𝜋 2 ℎ2 = 𝑑𝑡 𝐻 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑐𝑚3 𝑐𝑚 (15𝑐𝑚)2 𝑑𝑉𝑠 (50𝑐𝑚)2 ∙ 2 = 600 −𝜋 2∙ ( ) 80𝑐𝑚 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔

𝑑𝑉𝑠 𝑐𝑚3 = 47.77 𝑠𝑒𝑔 𝑑𝑡...