Guia Razon de cambio - Apuntes de clases, formulario, ejercicios resueltos PDF

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Apuntes de clases, formulario, ejercicios resueltos...

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CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

GUÍA DE APRENDIZAJE RAZÓN DE CAMBIO Resultado de Aprendizaje

El estudiante será capaz de aplicar las propiedades del Cálculo Diferencial a la resolución de problemas básicos relacionados con razón de cambio.

Contenidos

- Razón de cambio.

Razón de cambio

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Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería – Área de Matemáticas

Guía de aprendizaje Razón de Cambio

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1 1) Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2m3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha alcanzado 5 m de profundidad? Solución Primero elaboraremos un esquema de la situación. Pasos a seguir: 1) Variables: t : número de minutos de tiempo transcurrido. h : número de metros de la altura del nivel del agua a los t minutos. r : número de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos. V : número de metros cúbicos de agua en el tanque a los t minutos.

2) Hechos numéricos. H= 16𝑚 (altura del depósito), 𝑅 = 4𝑚 (radio del depósito), 𝑑𝑉 = 2m3 /min 𝑑𝑡 𝑑ℎ 3) Lo que deseo determinar 𝑑𝑡 | ℎ=5

𝜋𝑟 2 ℎ 3

4) Ecuación: 𝑉 =

El asunto es que se conoce

𝑑𝑉 𝑑𝑡

y se desea conocer

ecuación del volumen en función de la altura. Por Thales: 5) Derivemos:

16

4

ℎ

𝑑ℎ 𝑑𝑡

. Por tanto debemos considerar dejar la

= ↔ 𝑟 = , sustituyendo en la ecuación: 𝑉 = 𝑟 4

ℎ 𝑑𝑉

=

𝑑𝑡 3𝜋

3𝜋

48

ℎ2

𝑑ℎ

𝑑𝑡 𝑑ℎ

𝜋ℎ 3 48

≈ 0,41 𝑚⁄𝑚𝑖𝑛 7) Concluyo: El nivel del agua sube a 0,41 𝑚⁄𝑚𝑖𝑛 cuando la profundidad del agua es 5m. 6) Evalúo:

2=

48

∙ 25 ∙

𝑑𝑡

↔

𝑑ℎ

𝑑𝑡

=

32 25𝜋

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Guía de aprendizaje Razón de Cambio

2) Dos automóviles, uno va hacia el este a una velocidad de 90 Km/h y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué velocidad se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer auto está a 0,2 km de la intersección y el segundo a 0,15 km de la misma? 1. Variables: Llamaremos P al punto de intersección de las Solución calles. t : número de minutos del tiempo transcurrido desde el momento en que los automóviles comienzan a acercarse a P. 𝑥: número de km de distancia del primer automóvil a P a las t horas. 𝑦: número de km de distancia del segundo automóvil a P a las t horas. 𝑧: el número de km de distancia entre los dos automóviles a las t horas.

2) Hechos numéricos.

𝑑𝑥

𝑑𝑡

= −90,

3) Lo que deseo determinar. 4) Ecuación: 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑧

5) Derivo:2𝑧 𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑧

|

𝑑𝑦

𝑑𝑡

= −60

𝑑𝑡 𝑥=0,2;𝑦=0,15

𝑑𝑦

+ 2𝑦 𝑑𝑡 ↔ 𝑑𝑡

𝑑𝑧

𝑑𝑡

=

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑥 𝑑𝑡 +𝑦 𝑑𝑡 𝑧

6) Evalúo: Cuando 𝑥 = 0,2; 𝑦 = 0,15, 𝑧 = 0,25 (0,2)(−90) + (0,15)(−60) 𝑑𝑧 = −108 | = 0,25 𝑑𝑡 𝑧=0,25 7) Concluyo: En el instante en cuestión, los vehículos se aproximan el uno al otro a una tasa de 108 km/h

3)

Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con su vértice hacia abajo. Su altura es de 10 m y el 3

radio de su base es de 15 m. El agua contenida en él sale a una rapidez constante de 1 m por segundo. Se vierte agua en el depósito a razón de c m 3 por segundo. Calcular el valor de c de modo que el nivel de agua ascienda a razón de 4 m por segundo en el instante que el agua alcance la altura de 1 m. Solución En cualquier instante el volumen del cono que forma el agua en el recipiente está dado por V (r , h ) 

 3

2 r h .

15 r y como se  10 h pregunta sobre el nivel del agua entonces despejamos r en términos de h Usando semejanza de triángulos se establece que

3

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Guía de aprendizaje Razón de Cambio obteniendo que r 

3 3 h  h  V (h )  h .  3 2  4 dV dV Como representa la variación del volumen en algún instante entonces  c  1. Derivando con dt dt dV 3 dh 3h 2 respecto al tiempo la expresión obtenida para el volumen se tiene que , o sea  dt dt 4 dV 9 2 dh 9 2 . Reemplazando ahora los datos: c  1   h 1  4  c  1  9 4 4 dt dt V (h ) 

3 

3 h lo que permite expresar el volumen en términos de una sola variable, es decir, 2

2

Respuesta: Debe ingresar agua al recipiente a una razón constante de (1  9 ) m3 por segundo para que el nivel de agua ascienda a razón de 4 m por segundo en el instante que el agua alcance la altura de 1 m.

Ejercicios propuestos 1.

Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0,01cm/min. ¿A qué razón aumenta el área del plato cuando su radio mide 50 cm.?

2.

Una escalera de 13 mts. está apoyada contra una casa cuando de improviso se empieza a resbalar. En el momento en que la base está a 12 mts. de la casa, la base se mueve a una razón de 5mts/seg. a) ¿Qué tan rápido se está resbalando por la pared la parte superior de la escalera en ese momento? b) ¿A qué tasa está cambiando el área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento? c) ¿Con qué rapidez está cambiando el ángulo formado por la escalera y el suelo en ese momento?

3.

De un depósito de forma hemisférica con radio 13 mts, ilustrado de perfil, el agua fluye a razón de 6m3/min. Sabiendo que el volumen del agua en el depósito hemisférico de radio R es  V  y 2 (3R  y ) cuando el agua tiene y metros de 3 profundidad. a) ¿A qué razón cambia el nivel del líquido cuando el agua tiene 8m de profundidad? b) ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y metros de profundidad? c)

¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 metros de profundidad?

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4.

El café está pasando a través de un filtro cónico hasta una cafetera cilíndrica a una razón de 10 pulg3/min. a) ¿Qué tan rápido sube el nivel de líquido en la cafetera cuando el café del cono tiene 5 pulgadas de profundidad? b) ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento?

Bibliografía  Leithold, L. El Cálculo. 7ª edición. Oxford University Press. 2002.  Thomas Jr. George B., Cálculo una variable, Undécima edición, Pearson Educación, México, 2005.  Stewart, Cálculo en una Variable Trascendentes y Tempranas. 4ta edición.  Salas, Hille, Etgen. Calculus Vol I. Ed. Reverté. Links de ejercicios resueltos y propuestos. http://canek.uam.mx/?secc=2 http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/rapideces_de_variacion_relacionadas.htm http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/intensidad_de_variacion_relativa.htm

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