Derivada DE LA Función Compuesta PDF

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Comision Natali...

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA-REGLA DE LA CADENA FUNCIÓN COMPUESTA

Sea dominio de

tal que

y sea

con

de modo que el

tenga intersección con la imagen de . Entonces es posible hacer:

Es en la derivación de funciones compuestas donde nos encontramos con diferencias sustanciales respecto de la derivación de funciones compuestas en funciones de una variable real. Ahora, si utilizamos la notación D, es decir la notación matricial para las derivadas, la regla de la cadena para funciones de varias variables se hace similar a la regla para funciones de una sola variable. Daremos el teorema general de la regla de la cadena y luego analizaremos algunos casos particulares. TEOREMA: Regla de la cadena Sean U y conjuntos abiertos. Sean y . Funciones tales que g lleva U en V de forma que está definida. Supongamos que g es diferenciable en y f es diferenciable en ). Entonces es diferenciable en y: ) Donde el miembro de la derecha de la última expresión es la matriz producto de y (matrices jacobianas). tiene dimensión pxm y ) tiene dimensión mxn.

Consideraremos una demostración de la regla de la cadena, bajo la hipótesis adicional de que las derivadas parciales son continuas. Haremos una demostración del caso general a partir de dos casos particulares. No daremos la demostración completa del teorema anterior sin la hipótesis de continuidad de las derivadas parciales. Primer caso de la regla de la cadena Consideremos que es una función vectorial diferenciable (representa una trayectoria) y que es un campo escalar también diferenciable. Sea la función compuesta definida como sigue: donde . Entonces:

El miembro izquierdo de la última expresión es el producto escalar de vectores, mientras que el miembro derecho es una multiplicación de matrices, donde: es una matriz fila ( es una matriz columna (

) )

Segundo caso especial de la regla de la cadena Sea

, con

. Entonces podemos escribir:

y definimos h de la siguiente manera:

La regla de la cadena aplicada a esta expresión, indica que:

(producto de una matriz de 1x3 por una de 3x3)

Ejemplo: Dadas las funciones derivada de

en el punto

y

, calcular la

aplicando la regla de la cadena.

Solución: Analicemos si la composición es posible: . El rango de g debe tener la misma dimensión que el dominio de f. Vemos que el rango de g es y el dominio de f es también . Por lo tanto, la composición es posible. Ahora, apliquemos la regla de la cadena; llamemos . Entonces:

Determinemos ahora las matrices jacobianas de las funciones respecto de sus variables inmediatas:

(

,

(

Entonces:

y

)

Nota: Demostración del teorema del caso general de la regla de la cadena El caso general de la ecuación (1) se puede demostrar en dos pasos. Primero, la ecuación (2) se generaliza a m variables; es decir, para y se tiene:

donde

. En segundo lugar, el resultado obtenido en el primer

paso se usa para obtener la fórmula

donde

es una función vectorial de las variables

; y

( utilizar la letra y tanto para la función como para las variables es un abuso de notación pero es útil para recordar la fórmula). Esta fórmula es equivalente a la Formula (1) una vez que en ésta se han multiplicado las matrices....