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Cours de RDM- Treillis...

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RDM : calculs en statique des treillis

Calculs statique des treillis par la RDM Définition Un treillis est une structure constituée d'un assemblage de barres articulées entre elles, ces articulations sont les nœuds de la structure. Les charges extérieures sont supposées appliquées aux nœuds de la structure. Les éléments du treillis ne travaillent donc qu'en traction compression. Pour que parler de treillis, il faut que les charges sur les éléments du treillis soient faibles devant les charges nodales. Dans le cas contraire il faudra prendre en compte la flexion des éléments, nous parlerons de portiques.

L'objectif de ce chapitre est de vous initier au calcul analytique de la réponse statique d'un treillis bidimensionnel. Ces calculs permettent d'obtenir très rapidement l'état de contrainte (effort normal) dans les éléments d'une structure simple. La connaissance de l'effort normal dans les éléments du treillis permet de vérifier que la structure reste dans le domaine élastique, et qu'il n'y a pas d'instabilité (étude du flambement). Utile pour le pré dimensionnement, savoir effectuer ces calculs analytiques permet d'assimiler l'utilisation des outils d'analyse qui sont utilisés lors des calculs numériques. Pour les treillis plus complexes (géométrie, forte hyperstaticité, ou cas de chargement multiples) ou pour les études dynamiques, la méthode des éléments finis présentée dans le chapitre suivant, permettra d'effectuer les calculs numériques. Dans ce chapitre nous ne traitons que des problèmes statiques

Théorèmes énergétiques de la RDM Nous énonçons les trois principaux théorèmes énergétiques couramment utilisés pour les calculs statiques. La démonstration de ces théorèmes est basée sur l'existence de l'énergie de déformation élastique. Vous trouverez ces démonstrations dans tous les ouvrages de résistance des matériaux. Nous nous attacherons d'avantage à leur utilisation dans le cadre du calcul pratique des structures. Les trois théorèmes peuvent se déduire de l'écriture du principe des travaux virtuel en statique Soit en utilisant l'énergie de déformation élastique : L'énergie élastique emmagasinée est égale à l'énergie fournie pour déformer la structure depuis son état initial jusqu'à son état final, c'est le travail des forces extérieures appliquées à la structure.

Théorème de Maxwell - Betty Le travail d'un système de force dans le déplacement produit par un système de force au travail du système de force dans le déplacement produit par le système de force . Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : Où

est égal

L'intérêt de ce théorème est historique (1864-1872) on trouve ce théorème de réciprocité dans d'autres domaines de la physique (électricité, électromagnétisme, fonctions de transfert). Du point de vue mécanique ce théorème de réciprocité énonce la symétrie de l'opérateur "raideur" liée à l'existence de l'énergie de déformation élastique. Castigliano (1873) l'a utilisé dans la démonstration de son théorème.

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RDM : calculs en statique des treillis Illustration du théorème de Maxwell-Betty ℓ

La solution du problème 1 est connue : Appliquons le théorème de Maxwell-Betty ==> Résultat prévisible

Théorème de Castigliano. La dérivée partielle de l'énergie de déformation de la structure par rapport à un effort est égale au déplacement du point d'application selon la ligne d'action de cet effort. Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : Ce théorème est très pratique, puisqu'il permet de calculer le déplacement d'un point de la structure sans avoir à intégrer les équations différentielles locales. Pour calculer le déplacement d'un point qui n'est pas chargé on introduit une charge fictive dans la direction souhaitée.     Ménabréa a eu l'idée d'utiliser le théorème de Castigliano pour déterminer les inconnues hyperstatiques d'un problème. Cette utilisation particulière porte le nom de théorème de Ménabréa.

Théorème de Ménabréa. Pour une structure hyperstatique de degré N, les N inconnues hyperstatiques l'énergie de déformation élastique de la structure.

minimisent

Ce que nous pouvons énoncer sous la forme : L'intérêt est évident puisque ce théorème permet de construire le système matriciel des N équations pour déterminer les N inconnues hyperstatiques. Ce théorème peut être vu comme l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange, puisqu'il consiste à couper les liaisons hyperstatiques pour faire apparaitre soit des efforts internes soit des efforts de liaison. On calcul alors l'énergie de déformation en fonction de ces inconnues. Pour respecter les liaisons coupées il faut écrire que le travail de l'effort de liaison est nul, c'est le théorème de Ménabréa.

Hyperstaticité La première question à se poser lorsque l'on aborde le calcul statique d'une structure treillis est celle de l'hyperstaticité de la structure. Dans un premier temps il faut considérer l'hyperstaticité "extérieure" c'est à dire l'ensemble des liaisons cinématiques qui bloquent les mouvements d'ensemble de la structure. Si la structure possède des mouvements rigides (champ de déplacement non nul n'entrainant pas de déformation de la structure) il faudra tenir compte de ces mouvements d'ensemble dans le bilan des inconnues du problème. Pour la grande majorité des structures les liaisons cinématiques sont généralement surabondantes (structures portantes de type; ponts, pylônes, grues, etc.) et le problème est hyperstatique extérieur. Cependant pour certains problèmes les conditions aux limites ne font intervenir que des chargements 2

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RDM : calculs en statique des treillis

extérieurs (conditions naturelles), le modèle possède alors un ou plusieurs modes rigides dont il faudra tenir compte dans le bilan des inconnues du problème. Exemples : Hyperstaticité extérieure ℓ

ℓ

une structure uniquement soumise à un ensemble de charges formant un torseur nul (condition d'équilibre). N'ayant aucune liaison cinématique, cette structure aura selon la dimension de l'espace physique : 1 déplacement rigide pour un problème monodimensionnel, 3 déplacements rigides pour un problème bidimensionnel, et 6 déplacements rigides pour un problème tridimensionnel. La structure ci-contre possède donc 3 mouvements rigides (problème plan) Ce problème est équivalent au précédent il ne comporte plus qu'un mode rigide  Nous avons introduit deux conditions aux limites cinématiques

ℓ

ℓ

A

.

Le mouvement rigide restant est la rotation par rapport au point A.   L'équilibre de la structure permet de vérifier , le problème est bien équivalent. Ce problème est équivalent aux précédents Le mouvement rigide de rotation est bloqué par la condition d'appui en B. Ce problème est un problème isostatique équivalent au problème initial.

ℓ

ℓ

A



B

Les déformations et les contraintes de ces trois problèmes sont identiques. Ce qui change ce sont les constantes d'intégration qui apparaissent dans le calcul du champ de déplacement. Il existe plusieurs problèmes isostatiques équivalents (non unicité de la solution du problème initial)

Ayant le degré d'hypostaticité extérieure (nombre de mouvements d'ensemble possibles) on peut déterminer le degré d'hyperstaticité d'une structure treillis par un simple dénombrement des nœuds et des barres. Un treillis est une structure discrète constituée de structure.

barres reliés entre elles aux

nœuds de la

Pour calculer la réponse statique du treillis nous disposons des équations d'équilibre de chaque nœud, le nombre d'équations dépend donc de la dimension de l'espace physique. Soit équations pour un problème bidimensionnel ( équations dans le cas tridimensionnel). Le bilan des inconnues naturelles du problème sont : L'effort normal dans chaque barre du treillis soit inconnues. Les efforts au niveau des conditions aux limites cinématiques, A ces inconnues naturelles (efforts) il faut ajouter le nombre de mouvements d'ensemble s'il y en a. Ce qui est équivalent à ajouter le nombre de liaison pour définir un problème isostatique extérieur. Le degré d'hyperstaticité de la structure treillis est donné par le nombre d'inconnues moins le nombre d'équations

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RDM : calculs en statique des treillis

Les structures industrielles sont en général fortement hyperstatiques, car cela leur assure de la raideur supplémentaire et donc une meilleure stabilité (au détriment du poids). Pour les structures hyperstatiques la distribution des efforts internes et externes dépend de la géométrie et des matériaux. La résolution de ces problèmes est de ce fait plus complexe et fera appel aux théorèmes énergétiques. Dans le cas d'une structure isostatique la répartition des efforts ne dépend que de la géométrie, ce type de problème se résout "assez simplement" en utilisant les équations d'équilibre. Si la structure est hypostatique (degré d'hyperstaticité négatif) au moins un élément conserve une ou plusieurs possibilités de mouvement. Du point de vue mécanique le système n'est pas stable on ne peut pas le traiter en statique. En général cette situation est dû à une erreur de modélisation car un système hypostatique est un mécanisme, et ne peut pas être modélisée en statique sauf à considérer des mouvements stationnaires ce qui impose des liaisons cinématiques. Exemple :

Hyperstaticité d'une structure Cette structure possède 4 nœuds, le problème est plan, nous disposons donc de 8 équations d'équilibre. Il y a 3 mouvements rigides, et 5 barres donc 5 efforts intérieurs inconnus, soit un total de 8 inconnues.

ℓ

ℓ

Cette structure est isostatique, les efforts dans les barres ne dépendent que da la géométrie, ils sont indépendants des caractéristiques mécaniques des barres (section, matériau) Si on ajoute une barre sur l'autre diagonale la structure sera hyperstatique de degré 1. Sa rigidité sera plus élevée, et la distribution des efforts interne dépendra des caractéristiques mécaniques des barres.

Exercice 5 : degré d'hyperstaticité des structures treillis Objectifs :

Dénombrer les inconnues principales d'une structure treillis.

1- Déterminer le degré d'hyperstaticité des six structures représentées ci-dessous

A

B

A

B

A

C

A

B

C

B

A

B

A

B

Calcul pratique d'un treillis Deux situations sont donc à envisager, le cas des structures isostatiques et le cas des structures hyperstatiques. La méthodologie à adopter face à ces deux situations est différente. Dans les deux cas les calculs conduirons à la détermination de l'effort normal dans les barres du treillis. Ayant ces efforts nous verrons comment utiliser ces résultats pour dimensionner la structure, et calculer sa déformation.

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RDM : calculs en statique des treillis

Cas des structures isostatiques La méthode de Cramona consiste à écrire l'équilibre des nœuds de la structure, elle a l'avantage d'être systématique est simple. Pour être efficace il faut partir d'un nœud ou le nombre d'inconnues est égale au nombre d'équations (2 en bidimensionnel, 3 en 3D). Ce qui permet de résoudre au fur et à mesure les équations du système sans avoir à construire le système complet des équations du problème avant de le résoudre. Historiquement cette méthode a longtemps été utilisée pour effectuer le pré dimensionnement graphique des treillis. Pour appliquer cette méthode il faut juste être attentif à l'orientation des efforts normaux au niveau des coupes lorsque l'on isole un nœud, l'effort normal est orienté suivant la normale extérieure à la coupe, il est positif en traction et négatif en compression.



Les deux équations d'équilibre du nœud donnent:   soit :     Pour et L'effort la barre "1" est en traction L'effort la barre "2" est en compression     Il est possible de visualiser graphiquement le calcul sur un dessin à l'échelle de la structure, c'est le pré dimensionnement graphique.



C

C

entrant dans la barre c'est une compression

Ce type de calcul analytique est très rapide, il suffit alors de passer au nœud suivant. Sachant que sont maintenant connus en fonction du chargement. Analyse du calcul Nous venons de voir que l'état de contrainte dans la structure ne dépend que de la géométrie, la loi de comportement du matériau n'intervient pas dans le calcul des efforts intérieurs d'une structure isostatique. Si l'on écrit toutes les équations d'équilibre on obtiendra aussi les efforts au niveau des appuis, il sera alors possible de vérifier l'équilibre global de la structure. En pratique, on peut utiliser les équations d'équilibre global pour déterminer les efforts aux appuis sans passer par l'équilibre des nœuds. Les équations globales ne sont pas indépendantes des équations nodales.

Analyse 2 Barres ==> 2 inconnues internes CL ==> 4 inconnues efforts de liaison et Soit 6 inconnues pour 6 équations le problème est isostatique

Exemple B  A



C

 Équilibre du nœud C ==>  

C

On connait les efforts dans les barres, on donc passer au post-traitement.

 L'équilibre du nœud A donne  

 et celui du nœud B  

Les 3 équations d'équilibre

;

5

; et

sont vérifiées.

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RDM : calculs en statique des treillis

Cas des structures hyperstatiques Si la structure est hyperstatique les équations d'équilibre ne permettront pas de résoudre directement le problème. On peut procéder par coupure pour faire apparaitre autant d'inconnues que le degré d'hyperstaticité. Il est alors possible de calculer les contraintes dans les barres en fonction du chargement extérieur et des inconnues des coupures. On calcule alors la déformation de la structure et pour chaque barre coupée on devra écrire ℓ l'équation de compatibilité des déplacements en calculant ℓ Nous voyons ici que la solution dépend directement des caractéristiques mécaniques des barres pour calculer la déformation de la structure et écrire les équations de compatibilités.

En résolvant ce système nous pourrons alors calculer les

.

Il est beaucoup plus rapide d'effectuer ces calculs en utilisant le théorème de Ménabréa. Calcul de l'énergie de déformation élastique de la structure ℓ  ℓ  L'effort normal est uniforme dans chaque barre i du treillis ∑∫ ∑   Application du théorème de Ménabréa Pour un treillis hyperstatique de degré N nous aurons à écrire

Exemple A

B

 ℓ     

∑

D'après ce qui précède

où les

sont des fonctions de

Analyse 3 Barres ==> 3 inconnues internes CL ==> 6 inconnues efforts de liaison Soit 9 inconnues pour 8 équations le problème est hyperstatique de degré 1    Équilibre du nœud chargé ==>   

C

Choisissons

 comme inconnue hyperstatique ==>  

Le théorème de Ménabréa   D'où   

C

soit

==>

 ==>  

La barre 2 ne sert à rien ! (pour ce chargement) On connait les efforts dans les barres, on donc passer au post-traitement.

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RDM : calculs en statique des treillis

Utilisation des résultats - post-traitement Vérification à la limite élastique Pour que la structure reste dans le domaine élastique, il faudra satisfaire un critère de dimensionnement du type : limite élastique conventionnelle du matériau de la barre i

Nous utilisons ce type de critère pour illustrer nos calculs dans les exercices, MAIS ...

En pratique, une structure doit satisfaire durant toute sa durée d'exploitation des conditions de fiabilité et durabilité appropriées. Pour cela des coefficients de sécurité partiels, définis par des normes (Eurocodes), seront appliqués d'une part sur les caractéristiques des matériaux et d'autre part sur les sollicitations. De plus il faut considérer différentes combinaisons d'un grand nombre de cas de chargement (avec leurs coefficients), dont les effets se combinent entre eux. Ce n'est plus aussi simple!

Si l'on atteint la limite élastique dans une barre celle ci plastifie sur toute sa section et sur toute sa longueur (l'état de contrainte est uniforme dans les barres), et si l'on considère que l'écoulement plastique se fait sans écrouissage il y aura ruine plastique de la barre. Si la structure est isostatique, elle deviendra hypostatique, il y aura ruine plastique du treillis. Si la structure treillis est fortement hyperstatique nous aurons une réserve de sécurité plastique par rapport au chargement maximal élastique (il faudra plastifier n barres, n étant le degré d'hyperstaticité). Sachant que l'énergie de déformation absorbée dans les déformations plastiques est beaucoup plus importante que l'énergie de déformation élastique, la réserve de sécurité passive d'un treillis hyperstatique peut être très importante. Vérification au flambement Le flambement élastique est une instabilité beaucoup plus sévère car une barre qui flambe n'absorbe plus d'énergie (instabilité). Le flambement est un phénomène brutal qui se produit sous de forte charge de compression. Les aspects théoriques sur le flambement sont présentés dans le chapitre sur les poutres en flexion. Le critère d'instabilité par flambement élastique d'un treillis est relatif à la charge critique d'Euler définie par est le moment quadratique de la section droite, c'est une donnée géométrique caractéristique de la section.

ℓ Pour les structures treillis la longueur de flambement ℓ est la longueur des barres entre les nœuds.

Le critère d'instabilité est de la forme. En pratique on cherchera à avoir Soit pour une barre donnée

≪

pour avoir une réserve de sécurité plastique.

≪

ℓ Regroupons les caractéristiques matériaux et les caractéristiques mécaniques entre elles. ℓ

≪

est un coefficient adimensionnel caractéristique ℓ de l'élancement de la barre.

Plus la barre est élancée plus le risque de flambement élastique est important.

Introduisons le rapport

qui est le rayon de giration de la section droite. Plus le rayon de giration est élevé plus la matière est éloignée du centre de la section droite

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RDM : calculs en statique des treillis R

Barre de section circulaire R

==> R>>e

Tube creux d'épaisseur e

caractérise l'élancement de la barre.

Avec ces notations, la condition pour éviter le flambement élastique

conduit à

Cette relation donne par exemple la longueur maximale de la barre en fonction du matériau et de la section, pour que le flambement n'ait pas lieu dans le domaine élastique.

Calcul de la déformée Pour chaque barre du treillis nous pouvons calculer son allongement à partir de l'effort normal en utilisant la loi de comportement du matériau. 

 ℓ  ℓ   

Pour une barre AB :

  

   ==> 



  



Direction unitaire

ℓ  

de la barre de A vers B

Nous disposons donc de relations entre les déplacements nodaux ( avons aussi les conditions aux limites. Si la structure est isostatique si la structure est hyperstatique

inconnues), or nous

==> Nombre d'équations supérieur ou égale au nombre d'inco...