Trinomios por adición y sustracción factorización PDF

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trabajo para aprender la factorización de forma amena y divertida, encontrarás ejercicios resueltos paso a paso de forma sencilla...

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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y T. C. P. POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio es T.C.P, si cumple con las siguientes condiciones: ➢ Posee dos términos positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) ➢ El otro término es el doble (multiplicar por 2) producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. Si un trinomio cumple las dos condiciones anteriores, entonces se procede de la siguiente forma: ➢ Si el trinomio está desordenado, se ordena de mayor a menor exponente. ➢ Se dibuja paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado. ➢ Se saca la raíz cuadrada al primero y al último término. ➢ Se escriben estas raíces dentro del paréntesis, separadas por el signo del segundo término. Veamos este procedimiento paso a paso, factorizando 𝑥 2 – 2𝑥 + 1 Solución. ➢ El primer y último término de este trinomio son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, veamos: √𝑥 2 = 𝑥

√1 = 1

➢ El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos, entonces es un T. C. P. Veamos: 2 ∙ (𝑥) ∙ (1) = 2𝑥 ➢ Como el trinomio está ordenado descendentemente (de mayor a menor exponente), entonces se dibuja paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado. 𝑥 2 – 2𝑥 + 1 = (

)2

➢ Se saca la raíz cuadrada al primero y al último término. √𝑥 2 = 𝑥

√1 = 1

➢ Se escriben estas raíces dentro del paréntesis, separadas por el signo del segundo término. 𝑥 2 – 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2 La expresión anterior se puede escribir también así: 𝑥 2 – 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) Puesto que (𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) •

Factorizar −12𝑚+4𝑚2 + 9

Solución. Debemos ordenar el trinomio. −12𝑚+4𝑚2 + 9 = 4𝑚2 − 12𝑚 + 9 ➢ El primero y el último término son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, veamos: √4𝑚2 = 2𝑚

√9 = 3

➢ Realicemos el doble producto de estas dos raíces para ver si coincide con el otro término, es decir con 12𝑚: 2 ∙ (2𝑚) ∙ (3) = 12𝑚 Como podemos ver el trinomio es un T. C. P.

➢ Como el trinomio está ordenado descendentemente (de mayor a menor exponente), entonces se dibuja paréntesis que abre y paréntesis que cierra, elevado al cuadrado. 4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = ( )2 ➢ Como ya se sacó la raíz cuadrada al primero y al último término, entonces escribimos estas raíces dentro del paréntesis, separadas por el signo del término de la mitad; en este caso por un signo menos (−). 4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = (2𝑚 − 3)2 La expresión anterior se puede escribir también así: 4𝑚2 − 12𝑚 + 9 = (2𝑚 − 3)(2𝑚 − 3) •

Factorizar 9𝑝4 𝑞 6 + 30𝑚𝑝 2 𝑞 3 + 25𝑚2

Solución. ➢ Como el trinomio está ordenado con respecto a 𝑝, entonces saquemos las raíces del primero y del último término: √9𝑝4 𝑞 6 = 3𝑝 2 𝑞 3 √25𝑚2 = 5𝑚 ➢ Verifiquemos el doble producto de estas dos raíces: 2. (3𝑝2 𝑞 3 ) ∙ (5𝑚) = 30𝑚𝑝 2 𝑞 3 El trinomio es un T. C. P. entonces: 9𝑝4 𝑞 6 + 30𝑚𝑝 2 𝑞 3 + 25𝑚2 = (3𝑝 2 𝑞 3 + 5𝑚)2

Ejercicio Factorice, si es posible. 1. 81 + 36𝑝 + 4𝑝 2 = 2. −60𝑘 2 𝑙𝑚3 + 25𝑘 4 𝑙 2 + 36𝑚6 = 3. 49𝑞 8 + 16 𝑏 4 − 56𝑏 2 𝑞 4 = 4. 70𝑥𝑦 + 49𝑥 2 + 25𝑦 2 = 5. 100𝑚6 𝑛4 𝑥 2 − 60 𝑏𝑐 4 𝑚3 𝑛2 𝑥 + 9𝑏 2 𝑐 8 = 6. −24𝑘 2 𝑚 + 9𝑚2 + 16𝑘 4 = 7. −20𝑝5 𝑞 3 + 25𝑝10 + 4𝑞 6 8. −14𝑥 3 + 1 + 49𝑥 6 = 9. 𝑦 8 + 2𝑦 4 − 1 = 10. −12𝑚2 𝑛3 + 9𝑛6 + 4𝑚4 = 11. 25𝑞 8 + 16𝑝4 − 40 𝑝2 𝑞 4 = 12. 1 + 12𝑏 2 + 36𝑏 4 = 13. 4𝑐𝑚2 + 4𝑚4 + 𝑐 2 =

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Denominado también Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto. Hay trinomios, que aparentemente son T. C. P. ya que poseen dos términos positivos y cuadrados perfectos, pero el tercer término no corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. En estos casos se puede sumar y restar, al trinomio, el término que hace que el trinomio dado se convierta en un T. C. P. con lo que se obtiene una expresión, en la cual se deben practicar dos casos de factorización (trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados). Veamos este caso paso a paso con un ejemplo. •

Factorizar 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 Solución.

➢ Verifiquemos si el trinomio dado cumple las condiciones para ser un T. C. P. √4𝑚4 = 2𝑚2

;

√9 = 3

Como 8𝑚2 no tiene raíz cuadrada exacta, por eso tomamos los otros dos términos.

Calculemos el doble producto de las raíces cuadradas obtenidas: 2 ∙ (2𝑚2 ) ∙ (3) = 12𝑚2 ➢ Como podemos ver el término 8𝑚2 , no es el doble producto de las raíces cuadradas, entonces averigüemos cuánto le falta para convertirse en el doble producto: 12𝑚2 − 8𝑚2 = 4𝑚2 ➢ Ahora sumemos al trinomio inicial 4𝑚2 , que lo convierte en un T. C. P, pero como sumamos 4𝑚2 , entonces debemos restar 4𝑚2 para que el trinomio no cambie, ya que en realidad sumamos CERO, puesto que 4𝑚2 − 4𝑚2 = 0. 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = 4𝑚4 + 8𝑚2 + 4𝑚2 + 9 − 4𝑚2 ➢ Sumemos 8𝑚2 con 4𝑚2

4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = 4𝑚4 + 12𝑚2 + 9 − 4𝑚2

➢ Agrupemos en un paréntesis 4𝑚4 + 12𝑚2 + 9, que es un T. C. P, para factorizarlo: 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (4𝑚4 + 12𝑚2 + 9) − 4𝑚2 ➢ Factoricemos el T. C. P del paréntesis: 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3)2 − 4𝑚2 Ahora tenemos una expresión idéntica a una diferencia de cuadrados, la cual debemos factorizar empleando el método correspondiente, que se estudió con anterioridad: 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3)2 − 4𝑚2 ➢ Sacamos la raíz cuadrada a ambos términos de la igualdad: √(2𝑚2 + 3) 2 = 2𝑚2 + 3

;

√4𝑚2 = 2𝑚

➢ Factorizamos la expresión del segundo miembro de la igualdad: 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 + 3 − 2𝑚)(2𝑚2 + 3 + 2𝑚) ➢ Ordenamos los trinomios del segundo miembro: 4𝑚4 + 8𝑚2 + 9 = (2𝑚2 − 2𝑚 + 3)(2𝑚2 + 2𝑚 + 3) La expresión ha quedado factorizada. • Factorizar 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2

Solución. ➢ Verifiquemos el trinomio para ver si es un T. C. P, para ello saquemos las raíces cuadradas a los dos términos positivos: √𝑝2 = 𝑝

;

√𝑞 2 = 𝑞

➢ Realicemos el doble producto de estas raíces: 2 ∙ (𝑝) ∙ (𝑞) = 2𝑝𝑞 Observe que este doble producto no coincide con 5𝑝𝑞 que es el otro término del trinomio dado. ➢ Averigüemos qué término hay que sumar al trinomio para convertirlo en T. C. P: 5𝑝𝑞 − 2𝑝𝑞 = 3𝑝𝑞 Se debe sumar 3𝑝𝑞 para convertir el trinomio dado en un T. C. P. ➢ Sumemos y restemos 3𝑝𝑞 , para que el trinomio inicial no cambie: 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 3𝑝𝑞 + 𝑞 2 − 3𝑝𝑞 = 𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞 2 − 3𝑝𝑞 = (𝑝2 − 2𝑝𝑞 + 𝑞 2 ) − 3𝑝𝑞 = (𝑝 − 𝑞)2 − 3𝑝𝑞 ➢ Como en el paso anterior obtuvimos una diferencia de cuadrados, entonces procedemos a su factorización: 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = (𝑝 − 𝑞) 2 − 3𝑝𝑞 Expresión obtenida en el paso anterior. = (𝑝 − 𝑞 − √3𝑝𝑞 )(𝑝 − 𝑞 + √3𝑝𝑞 ) 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = (𝑝 − 𝑞 − √3𝑝𝑞)(𝑝 − 𝑞 + √3𝑝𝑞) Otra posibilidad de factorización para el trinomio dado: Para averiguar el término que hay que sumar y restar a este trinomio tenemos otra posibilidad. El secundo término del trinomio dado debe ser 2𝑝𝑞 ; pero tenemos −5𝑝𝑞 , entonces: 2𝑝𝑞 − (−5𝑝𝑞) = 2𝑝𝑞 + 5𝑝𝑞

2𝑝𝑞 − (−5𝑝𝑞) = 7𝑝𝑞 Si al trinomio dado le sumamos y restamos 7𝑝𝑞 obtendremos en el segundo término 2𝑝𝑞, lo que nos convierte dicho trinomio en un T.C.P. Veamos la factorización con esta posibilidad: 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 7𝑝𝑞 + 𝑞 2 − 7𝑝𝑞 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞 2 − 7𝑝𝑞 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = (𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞2 ) − 7𝑝𝑞 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 7𝑝𝑞 𝑝2 − 5𝑝𝑞 + 𝑞 2 = (𝑝 + 𝑞 − √7𝑝𝑞 )(𝑝 + 𝑞 + √7𝑝𝑞 ) Si comparamos los dos resultados podemos darnos cuenta que en este caso hay dos factorizaciones diferentes. • Factorizar 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 Solución. √𝑥 4

=𝑥

2

2 ∙ (𝑥 2 ) ∙ (1) = 2𝑥 2

;

√1 = 1

2𝑥 2 no coincide con el otro término, por tanto, el trinomio no es un T.C.P, veamos si es posible convertirlo a Trinomio Cuadrado Perfecto sumándole un término: 2𝑥 2 − 1𝑥 2 = 𝑥 2 Si al trinomio 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 le sumamos 𝑥 2 , se obtendría 𝑥 4 + 1, es decir, no obtenemos un T.C.P, por lo tanto debemos pensar en la posibilidad de sumar otro término que nos convierta este trinomio en un T.C.P, entonces hagamos lo siguiente: 2𝑥 2 − (−𝑥 2 ) = 3𝑥 2 Si al trinomio 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 le sumamos 3𝑥 2 , se obtiene 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 que si es un T.C.P, entonces debemos sumar y restar al trinomio el término 3𝑥 2 : 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 = 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 + 3𝑥 2 − 3𝑥 2 = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 − 3𝑥 2 = (𝑥4 + 2𝑥2 + 1) − 3𝑥2

Se redujo términos semejantes.

= (𝑥 2 + 1)2 − 3𝑥 2

Ahora Factoricemos la diferencia de cuadrados.

= (𝑥 2 + 1 − √3 ∙ 𝑥)(𝑥 2 + 1 + √3 ∙ 𝑥)

• Factorizar −2𝑚2 𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 √9𝑛2

Solución. ;

= 3𝑛

√4𝑚4 = 2𝑚2

2 ∙ (3𝑛)( 2𝑚2 ) = 12𝑚2 𝑛 Como podemos ver el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos no coincide con el término que no es cuadrado perfecto, por lo tanto, el trinomio no es un T.C.P. Averigüemos qué término debemos sumar para convertirlo en un T.C.P: 12𝑚2 𝑛 − 2𝑚2 𝑛 = 10𝑚2 𝑛 Si al trinomio −2𝑚2 𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 le sumamos 10𝑚2 𝑛 , se obtiene 8𝑚2 𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 que no es un T.C.P, para que sea T.C.P en lugar de 8𝑚2 𝑛, debería tener 12𝑚2 𝑛. Pensemos ¿qué término le sumamos al trinomio para que cumpla con esta condición? Veamos: 12𝑚2 𝑛— (−2𝑚2 𝑛) = 14𝑚2 𝑛 Es decir que si le sumamos 14𝑚2 𝑛 el trinomio dado se convierte en un T.C.P, pero para que el trinomio inicial no cambie le restamos este mismo término: −2𝑚2 𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 = −2𝑚2 𝑛 + 9𝑛2 + 4𝑚4 + 14𝑚2 𝑛 − 14𝑚2 𝑛 Ahora reduzcamos términos semejantes y agrupemos el T.C.P

= (12𝑚2 𝑛 + 9𝑛 2 + 4𝑚4 ) − 14𝑚2 𝑛 = (3𝑛 + 2𝑚2 )2 − 14𝑚2 𝑛

Se redujo y se agrupó el T.C.P.

Se factorizó el T.C.P.

= (3𝑛 + 2𝑚2 − √14𝑛 ∙ 𝑚)(3𝑛 + 2𝑚2 + √14𝑛 ∙ 𝑚) • Factorice 36 − 8𝑦 + 𝑦 2 Solución. √36 = 6

;

√𝑦 2 = 𝑦

2 ∙ (6) ∙ (𝑦) = 12𝑦 Para que el trinomio dado sea T.C.P. se requiere que en lugar de −8𝑦 tuviese −12𝑦 o 12𝑦, entonces averigüemos cuál es el término que debemos sumar y restar: 12𝑦 − (−8𝑦) = 20𝑦 Si al trinomio inicial le sumamos y le restamos 20𝑦, obtenemos un T.C.P. 36 − 8𝑦 + 𝑦 2 = 36 − 8𝑦 + 𝑦 2 + 20𝑦 − 20𝑦 = (36 + 12𝑦 + 𝑦 2 ) − 20𝑦

= (6 + 𝑦)2 − 20𝑦 = (6 + 𝑦 − √20𝑦)(6 + 𝑦 + √20𝑦)

Ejercicio Factorice, si es posible. 9𝑥 8 − 20 𝑥 4 𝑦 2 + 16𝑦 4 = 4𝑞 4 − 36𝑏 2 𝑞 2 + 25𝑏 4 = 𝑚4 𝑛 8 𝑝 4 − 𝑚 2 𝑛 4 𝑝 2 𝑞 4 𝑥 2 + 𝑞 8 𝑥 4 = 36 − 8𝑑 4 + 𝑑 8 = 𝑘 2 − 11𝑘𝑚 + 𝑚2 = −11𝑘 + 1 + 𝑘2 = 7. 16𝑝4 + 20𝑚2 𝑝2 + 9𝑚4 = 8. −21𝑏 + 36𝑏 2 + 1 = 9. −5𝑚2 𝑛3 𝑤 4 + 𝑤8 + 4𝑚4 𝑛6 = 10. 100𝑘 8 + 81𝑓 4 + 80𝑓 2 𝑘 4 =

1. 2. 3. 4. 5. 6.

11. 12.

𝑞4

+ 25𝑛8 − 6𝑛 4 𝑞 2 =

4 25𝑥 4 16

− 2𝑥 2 𝑦 2 +

4𝑦 4 25

=...