Ubung 9 - Übungsblatt 9 PDF

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Übungsblatt 9...

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Prof. Dr. E. Cramer

RWTH Aachen, SS 2010

Dipl.-Math. K. Herle

Ausgabe: 01. Juli 2010

Einfu ¨ hrung in die angewandte Stochastik ¨ 9. Ubung Aufgabe 30 Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit gemeinsamer Riemanndichtefunktion

f wobei s ∈

X,Y

(x, y) =

(

y s e−(x+1)y (s−1)!

0

, falls x, y > 0 , , sonst ,

gelte.

(a) Bestimmen Sie die Randdichte f Y von Y und geben Sie die Verteilung von Y an. (b) Sei y > 0 gegeben. Bestimmen Sie die bedingte Dichte f X|Y =y von X unter (der Hypothese) Y = y. Um die Dichte welcher Verteilung handelt es sich? (c) Berechnen Sie f¨ur y > 0 die bedingte Erwartung E(X|Y = y) von X unter (der Hypothese) Y = y.

Aufgabe 31 Eine Bank betreibt in einer Region insgesamt 200 Geldautomaten, von denen jeder (unabh¨angig von den ¨ubrigen Automaten) mit Wahrscheinlichkeit 0,05 aufgrund einer St¨orung innerhalb einer Woche mindestens einmal ausf¨allt. Fu ¨ r die Einrichtung eines st¨andigen Wartungsdienstes sei die Wahrscheinlichkeit von Interesse, dass die Anzahl der Geldautomaten, die in einer Woche mindestens eine derartige St¨ orung aufweisen, mindestens 5 und h¨ochstens 15 betr¨agt. (a) Sch¨atzen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels der Tschebyscheff–Ungleichung nach unten ab. (b) F¨ur ein Folge (Xn )n∈N von iid Zufallsvariablen mit EX1 = µ und V arX1 = σ 2 < ∞ gilt: √ X −µ lim P ( n n ≤ t) = Φ(t) n→∞ σ wobei X n =

1 n

Pn

i=1 Xi und Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Diese √ Aussage ist bekannt als Zentraler Grenzwertsatz. Man sagt n X nσ−µ hat asymptotisch eine N (0, 1)-Verteilung. Berechnen Sie nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit approximativ mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes.

Hinweis: Sie k¨onnen Funktionswerte und Quantile der Standardnormalverteilung aus Tabellen in der Literatur entnehmen (siehe z.B. Formelsammlung Statistik griffbereit ).

Aufgabe 32 Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien stochastisch unabh¨angig und jeweils auf dem Intervall [0, b] Rechteck-verteilt mit unbekannter oberer Intervallgrenze b > 0. Um b aus zugeh¨origen Beobachtungen x1 , . . . , xn zu sch¨atzen, betrachtet man folgende Scha¨tzfunktion: n 2 X ˆ Xi . bn = 2 X n = n i=1

(a) Ist ˆbn ein erwartungstreuer Sch¨atzer fu¨r den Parameter b? (b) Berechnen Sie die Varianz von ˆbn ....